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COLLÈGE — 3ÈME
Fiche N° 10 Chapitre 10 — Théorème de Pythagore
Réciproque, calcul d'hypoténuse, distances

Chapitre 10 — Théorème de Pythagore

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Brevet
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Identifier l'hypoténuse ★ 3 pts
Dans un triangle rectangle :
  1. Définir l'hypoténuse.
  2. Dans le triangle ABC rectangle en B, nommer l'hypoténuse.
  3. Quel côté est le plus long ? Pourquoi ?
Réponse  
Ex.2 Calculer l'hypoténuse ★ 4 pts
A B C68Calculer l'hypoténuse de chaque triangle rectangle (arrondir au mm).
  1. Côtés de l'angle droit : 6 cm et 8 cm.
  2. Côtés de l'angle droit : 5 cm et 12 cm.
Réponse  
Ex.3 Calculer un côté de l'angle droit ★ 4 pts
A B C915Calculer le côté manquant (arrondir au mm).
  1. Hypoténuse = 15 cm, un côté = 9 cm.
  2. Hypoténuse = 10 cm, un côté = 6 cm.
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Théorème de Pythagore
Fiche N° 10
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Réciproque — vérifier l'angle droit ★ 4 pts
A B C91215Montrer si chaque triangle est rectangle.
  1. Côtés : 9 cm, 12 cm, 15 cm.
  2. Côtés : 7 cm, 10 cm, 12 cm.
Réponse  
Ex.5 Calculer une diagonale ★★ 4 pts
A B C815Un rectangle mesure 8 cm × 15 cm.
  1. Calculer la longueur de la diagonale.
  2. Vérifier par une autre méthode.
Réponse  
Ex.6 Distance entre deux points ★★ 4 pts
Dans un repère, A(1, 2) et B(5, 5).
  1. Faire un schéma et identifier le triangle rectangle.
  2. Calculer AB (arrondir au cm).
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Théorème de Pythagore
Fiche N° 10
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Problème d'escalier ★★ 5 pts
Sol Pied Haut4,5m3,2mUn escalier monte de 3,2 m et avance de 4,5 m horizontalement.
  1. Schématiser la situation.
  2. Calculer la longueur de la rampe d'escalier.
Réponse  
Ex.8 Réciproque — Démonstration complète ★★ 4 pts
Triangle ABC avec AB = 7 cm, BC = 24 cm, AC = 25 cm.
  1. Calculer AB² + BC².
  2. Calculer AC².
  3. Conclure en citant la réciproque du théorème.
Réponse  
Ex.9 Pythagore et équation ★★★ 5 pts
Dans un triangle rectangle, un côté vaut x, l'autre vaut x + 4, et l'hypoténuse vaut 20.
  1. Écrire l'équation donnée par Pythagore.
  2. Développer et résoudre (x² + 4x − 192 = 0 ?).
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Théorème de Pythagore
Fiche N° 10
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Cercle et angle inscrit ★★★ 4 pts
Un triangle ABC est inscrit dans un cercle de rayon 5 cm, avec [AB] un diamètre. AC = 6 cm.
  1. Quelle est la longueur AB ? Justifie.
  2. D'après la propriété de l'angle inscrit dans un demi-cercle, le triangle ABC est rectangle en C. Calcule BC.
Réponse  
Ex.11 Pythagore dans un solide ★★★ 4 pts
4cm4cm4cmUn cube a un côté de 4 cm.
  1. Calculer la diagonale d'une face.
  2. Calculer la grande diagonale du cube (en utilisant 2 fois Pythagore).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi Brevet ★★★ 6 pts
Un bateau part du port O. Il navigue 12 km vers l'est jusqu'au point A, puis 5 km vers le nord jusqu'au point B.
  1. Calculer la distance OB (retour direct au port).
  2. Un détecteur indique que l'écueil C est à 8 km de O et 6 km de A. C est-il entre O et A ? Justifier par la réciproque.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch10 — Théorème de Pythagore
✦ Corrigé — Ch10 — Théorème de Pythagore
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Identifier l'hypoténuse ★
Triangle rectangle ABC en B
→ L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit
→ Dans ABC rectangle en B, l'hypoténuse est [AC]
→ C'est le côté le plus long, car opposé au plus grand angle (90°)
= Hypoténuse = AC (le plus long côté)
Ex.2 Calculer l'hypoténuse ★
Côtés 6 et 8 · Côtés 5 et 12
→ √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 cm
→ √(5²+12²) = √(25+144) = √169 = 13 cm
= 10 cm · 13 cm
Ex.3 Calculer un côté de l'angle droit ★
Hyp=15, côté=9 · Hyp=10, côté=6
→ √(15²−9²) = √(225−81) = √144 = 12 cm
→ √(10²−6²) = √(100−36) = √64 = 8 cm
= 12 cm · 8 cm
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Réciproque — vérifier l'angle droit ★★
9,12,15 · 7,10,12
→ 9²+12² = 81+144 = 225 = 15² → triangle rectangle
→ 7²+10² = 49+100 = 149 ≠ 12² = 144 → pas rectangle
= 9-12-15 : rectangle · 7-10-12 : non rectangle
Ex.5 Calculer une diagonale ★★
Rectangle 8 cm × 15 cm
→ diagonale = √(8²+15²) = √(64+225) = √289
= diagonale = 17 cm
Ex.6 Distance entre deux points ★★
A(1,2) et B(5,5)
→ Triangle rectangle avec côtés Δx=5−1=4 et Δy=5−2=3
→ AB = √(4²+3²) = √(16+9) = √25
= AB = 5 cm
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✦ CORRIGÉ Ch10 — Théorème de Pythagore
✦ Corrigé — Ch10 — Théorème de Pythagore
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Problème d'escalier ★★
→ Triangle rectangle : côtés de l'angle droit 3,2 m (montée) et 4,5 m (avancée), rampe = hypoténuse
→ Pythagore : rampe² = 3,2² + 4,5² = 10,24 + 20,25 = 30,49
→ rampe = √30,49
= Longueur de la rampe ≈ 5,52 m
Ex.8 Réciproque — Démonstration complète ★★
→ AB² + BC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
→ AC² = 25² = 625
→ AB²+BC² = AC² : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B
= Le triangle ABC est rectangle en B
Ex.9 Pythagore et équation ★★★
→ Pythagore : x² + (x+4)² = 20²
→ x² + x²+8x+16 = 400 ⟹ 2x²+8x−384 = 0, soit (en divisant par 2) x²+4x−192 = 0
→ On cherche deux nombres entiers dont le produit vaut −192 et la somme vaut 4 : en testant les couples de diviseurs de 192 (1×192, 2×96, 3×64, 4×48, 6×32, 8×24, 12×16...), on trouve 16 et −12 car 16×(−12) = −192 et 16+(−12) = 4
→ Donc x²+4x−192 = (x−12)(x+16). Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul : x−12=0 ou x+16=0 ⟹ x = 12 ou x = −16 (rejeté, longueur négative)
= x = 12 cm (l'autre côté vaut 16 cm) — on retrouve le triplet (12,16,20)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Cercle et angle inscrit ★★★
→ [AB] est un diamètre de rayon 5 cm, donc AB = 2×5 = 10 cm
→ D'après la propriété de l'angle inscrit dans un demi-cercle, l'angle en C est droit
→ Pythagore : BC² = AB² − AC² = 10²−6² = 100−36 = 64 ⟹ BC = √64
= AB = 10 cm ; BC = 8 cm
Ex.11 Pythagore dans un solide ★★★
→ Diagonale d'une face : d = √(4²+4²) = √32 = 4√2
→ Grande diagonale : D = √(d²+4²) = √(32+16) = √48 = 4√3
= Diagonale de face = 4√2 cm ; grande diagonale = 4√3 cm
Ex.12 ★ Défi Brevet ★★★
→ Triangle rectangle en A : OB² = OA²+AB² = 12²+5² = 144+25 = 169 ⟹ OB = √169
→ Si C était situé entre O et A, on aurait l'égalité OC+CA=OA. Or OC+CA = 8+6 = 14, alors que OA = 12
→ 14 ≠ 12 : l'égalité n'est pas vérifiée
= OB = 13 km ; C n'est PAS entre O et A (14 ≠ 12), le triangle OAC est un vrai triangle, pas une ligne droite
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