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COLLÈGE — 3ÈME
Fiche N° 03 Chapitre 3 — Calcul littéral & Identités remarqu
Développer, factoriser, identités remarquables

Chapitre 3 — Calcul littéral & Identités remarquables

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Brevet
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Développer — distributivité simple ★ 4 pts
Développer et réduire.
  1. 3(2x + 5)
  2. −2(4x − 3)
  3. x(x + 7)
  4. −5(2 − 3x)
Réponse  
Ex.2 Développer — double distributivité ★ 4 pts
Développer et réduire.
  1. (x + 3)(x + 5)
  2. (2x − 1)(x + 4)
Réponse  
Ex.3 Identités remarquables — Reconnaître ★ 3 pts
Indiquer l'identité utilisée, puis développer.
  1. (x + 4)²
  2. (x − 3)²
  3. (x + 5)(x − 5)
Réponse  
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Fiche N° 03 Chapitre 3 — Calcul littéral & Identités remarqu
Fiche N° 03
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Calcul astucieux ★ 4 pts
Calculer grâce aux identités remarquables.
  1. 101² = (100 + 1)²
  2. 99² = (100 − 1)²
  3. 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1)
Réponse  
Ex.5 Factoriser — facteur commun ★★ 4 pts
Factoriser en mettant en évidence le facteur commun.
  1. 6x² + 9x
  2. 4x − 12
  3. 3x² − 6x + 9
Réponse  
Ex.6 Factoriser — identités remarquables ★★ 4 pts
Factoriser grâce à une identité remarquable.
  1. x² − 16
  2. x² + 6x + 9
  3. 4x² − 25
Réponse  
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Fiche N° 03 Chapitre 3 — Calcul littéral & Identités remarqu
Fiche N° 03
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Développer et réduire — expressions complexes ★★ 4 pts
Développer, réduire et ordonner.
  1. (x + 2)² − (x − 1)²
  2. (3x − 2)(3x + 2) − 9x²
Réponse  
Ex.8 Prouver une égalité ★★ 3 pts
Montrer que pour tout x réel :
(x + 3)² − (x − 3)² = 12x
Réponse  
Ex.9 Factoriser complètement ★★★ 5 pts
Factoriser complètement (facteur commun + identité).
  1. 2x² − 18
  2. 3x² + 6x + 3
Réponse  
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Fiche N° 03 Chapitre 3 — Calcul littéral & Identités remarqu
Fiche N° 03
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Problème de géométrie algébrique ★★★ 4 pts
Un carré a un côté (x + 3) et un rectangle a des dimensions (x + 7) et (x − 1).
  1. Exprimer l'aire du carré A₁ en développant.
  2. Exprimer l'aire du rectangle A₂.
  3. Calculer A₁ − A₂.
Réponse  
Ex.11 Équation produit nul ★★★ 4 pts
Résoudre en factorisant.
  1. (x − 5)(x + 3) = 0
  2. x² − 9 = 0
Réponse  
Ex.12 ★ Défi Brevet ★★★ 5 pts
Soit E = (x + 4)² − (x + 1)(x − 1) − 8.
  1. Développer et réduire E.
  2. Factoriser E.
  3. Calculer E pour x = −4.
  4. Pour quelle valeur de x a-t-on E = 0 ?
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Développer — distributivité simple ★
3(2x+5) · −2(4x−3) · x(x+7) · −5(2−3x)
→ 3(2x+5) = 6x+15
→ −2(4x−3) = −8x+6
→ x(x+7) = x²+7x
→ −5(2−3x) = −10+15x = 15x−10
= 6x+15 · −8x+6 · x²+7x · 15x−10
Ex.2 Développer — double distributivité ★
(x+3)(x+5) · (2x−1)(x+4)
→ (x+3)(x+5) = x²+5x+3x+15 = x²+8x+15
→ (2x−1)(x+4) = 2x²+8x−x−4 = 2x²+7x−4
= x²+8x+15 · 2x²+7x−4
Ex.3 Identités remarquables — Reconnaître ★
(x+4)² · (x−3)² · (x+5)(x−5)
→ (x+4)² = x²+8x+16 (identité (a+b)²)
→ (x−3)² = x²−6x+9 (identité (a−b)²)
→ (x+5)(x−5) = x²−25 (identité (a+b)(a−b))
= x²+8x+16 · x²−6x+9 · x²−25
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Calcul astucieux ★★
101² · 99² · 51×49
→ 101² = (100+1)² = 10000+200+1 = 10201
→ 99² = (100−1)² = 10000−200+1 = 9801
→ 51×49 = (50+1)(50−1) = 2500−1 = 2499
= 10201 · 9801 · 2499
Ex.5 Factoriser — facteur commun ★★
6x²+9x · 4x−12 · 3x²−6x+9
→ 6x²+9x = 3x(2x+3)
→ 4x−12 = 4(x−3)
→ 3x²−6x+9 = 3(x²−2x+3)
= 3x(2x+3) · 4(x−3) · 3(x²−2x+3)
Ex.6 Factoriser — identités remarquables ★★
x²−16 · x²+6x+9 · 4x²−25
→ x²−16 = (x−4)(x+4)
→ x²+6x+9 = (x+3)²
→ 4x²−25 = (2x−5)(2x+5)
= (x−4)(x+4) · (x+3)² · (2x−5)(2x+5)
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✦ CORRIGÉ Ch3 — Calcul littéral & Identités remarqu
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Développer et réduire — expressions complexes ★★
→ (x+2)²−(x−1)² : identité a²−b²=(a−b)(a+b) avec a=x+2, b=x−1 ⟹ (a−b)=3, (a+b)=2x+1, produit = 3(2x+1) = 6x+3
→ (3x−2)(3x+2)−9x² = (9x²−4)−9x² = −4 [identité (a−b)(a+b)=a²−b² avec a=3x, b=2]
= 6x + 3 et −4
Ex.8 Prouver une égalité ★★
→ (x+3)²−(x−3)² : identité a²−b²=(a−b)(a+b) avec a=x+3, b=x−3
→ (a−b) = 6 et (a+b) = 2x, donc le produit vaut 6×2x = 12x
= (x+3)² − (x−3)² = 12x, pour tout x réel
Ex.9 Factoriser complètement ★★★
→ 2x² − 18 = 2(x²−9) = 2(x−3)(x+3) [facteur commun puis identité a²−b²]
→ 3x² + 6x + 3 = 3(x²+2x+1) = 3(x+1)² [facteur commun puis identité (a+b)²]
= 2(x−3)(x+3) et 3(x+1)²
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Problème de géométrie algébrique ★★★
→ A₁ = (x+3)² = x²+6x+9
→ A₂ = (x+7)(x−1) = x²+6x−7
→ A₁ − A₂ = (x²+6x+9) − (x²+6x−7) = 16
= A₁ − A₂ = 16 (indépendant de x)
Ex.11 Équation produit nul ★★★
→ (x−5)(x+3) = 0 ⟺ x−5=0 ou x+3=0 ⟹ x=5 ou x=−3
→ x²−9 = 0 ⟺ (x−3)(x+3) = 0 ⟹ x=3 ou x=−3
= x = 5 ou x = −3 ; x = 3 ou x = −3
Ex.12 ★ Défi Brevet ★★★
→ E = (x+4)² − (x+1)(x−1) − 8 = (x²+8x+16) − (x²−1) − 8 = 8x + (16+1−8)
→ Après réduction, E est une expression du 1ᵉʳ degré : 8 et 9 n'ont aucun facteur commun, donc E ne se factorise pas davantage
→ Pour x = −4 : E = 8×(−4)+9 = −32+9 = −23
→ E = 0 ⟺ 8x+9 = 0 ⟺ x = −98
= E = 8x + 9 ; E(−4) = −23 ; E = 0 pour x = −98
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