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COLLÈGE — 3ÈME
Fiche N° 05 Chapitre 5 — Théorème de Thalès
Rapports, calculs, réciproque

Chapitre 5 — Théorème de Thalès

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Brevet
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Reconnaître la configuration de Thalès ★ 3 pts
A B C M N (MN) // (BC) Sur une figure, on a : B, M, A alignés et C, N, A alignés, avec MN ∥ BC.
  1. Citer les deux triangles en jeu.
  2. Écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès.
Réponse  
Ex.2 Calculer une longueur — Thalès direct ★ 4 pts
A B C M N AM=6 AB=9 AN=4 AC=? (MN) // (BC) Dans le triangle ABC, MN est parallèle à BC avec AM = 6 cm, AB = 9 cm, AN = 4 cm.
  1. Vérifier que la configuration est correcte.
  2. Calculer AC.
Réponse  
Ex.3 Calculer une longueur — tableau de Thalès ★ 4 pts
A B C M N AM=5 AB=15 AN=x AC=12 (MN) // (BC) Compléter le tableau et trouver x :
AMABANAC
5 cm15 cmx12 cm
Réponse  
mathsotop.frCh5 — Théorème de Thalès1 / 4
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Théorème de Thalès
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Vérifier le parallélisme — réciproque ★ 4 pts
A B C M N AM=4 AB=10 AN=3 AC=7,5 (MN) // (BC) Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC] avec AM = 4, AB = 10, AN = 3, AC = 7,5.
  1. Calculer AMAB et ANAC.
  2. Les droites MN et BC sont-elles parallèles ? Justifier.
Réponse  
Ex.5 Thalès — figure en papillon ★★ 4 pts
O A C B D OA=6,OB=4 OC=9,OD=6 (AC) // (BD) Deux droites sécantes en O. OA = 6 cm, OB = 4 cm, OC = 9 cm, OD = 6 cm.
  1. Montrer que AB ∥ CD.
  2. Sachant que AB = 8 cm, calculer CD.
Réponse  
Ex.6 Calculer plusieurs longueurs ★★ 5 pts
A M N P Q AP=4 PM=6 AQ=5 MN=15 (PQ) // (MN) Triangle AMN avec P ∈ [AM], Q ∈ [AN], PQ ∥ MN. AP = 4 cm, PM = 6 cm, AQ = 5 cm, MN = 15 cm.
  1. Calculer AM.
  2. Calculer AN.
  3. Calculer PQ.
Réponse  
mathsotop.frCh5 — Théorème de Thalès2 / 4
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Théorème de Thalès
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Réciproque — démonstration ★★ 4 pts
D E F G H DG=3 DE=12 DH=4 DF=16 (GH) // (EF) Dans le triangle DEF, on pose G ∈ [DE] et H ∈ [DF] avec DG = 3, DE = 12, DH = 4, DF = 16.
  1. Calculer DGDE et DHDF.
  2. Les rapports sont-ils égaux ?
  3. Conclure sur GH et EF.
Réponse  
Ex.8 Problème — ombre portée ★★ 4 pts
Un arbre de hauteur h projette une ombre de 8 m. Au même instant, un poteau de 2 m projette une ombre de 3,2 m. Utiliser Thalès pour calculer h.
Réponse  
Ex.9 Thalès — trouver une inconnue algébrique ★★★ 5 pts
A B C M N AM=x AB=3x AN=x+1 AC=9 (MN) // (BC) Dans un triangle, AM = x, AB = 3x, AN = x + 1, AC = 9. MN ∥ BC.
  1. Écrire l'égalité de Thalès.
  2. Résoudre l'équation obtenue.
Réponse  
mathsotop.frCh5 — Théorème de Thalès3 / 4
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Théorème de Thalès
Fiche N° 05
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Thalès et distances réelles ★★★ 4 pts
Sur une carte à l'échelle 150 000, deux villes sont à 6 cm. Quelle est la distance réelle en km ?
  1. Utiliser une proportion (Thalès).
  2. Donner le résultat en kilomètres.
Réponse  
Ex.11 Réciproque — contre-exemple ★★★ 4 pts
P Q R S T PS=5 PQ=8 PT=6 PR=10 (ST) // (QR) Dans un triangle PQR, S ∈ [PQ] et T ∈ [PR] avec PS = 5, PQ = 8, PT = 6, PR = 10.
  1. Calculer PSPQ et PTPR.
  2. Les droites ST et QR sont-elles parallèles ? Justifier précisément.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi Brevet — Thalès emboîté ★★★ 6 pts
A B C M N AM=6 AB=10 BC=15 (MN) // (BC) Triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC] avec MN ∥ BC. AM = 6, AB = 10, BC = 15.
  1. Calculer MB et le rapport AMAB.
  2. Calculer MN grâce à Thalès.
  3. Calculer le périmètre du triangle AMN sachant AN = 9 cm.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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mathsotop.frCh5 — Théorème de Thalès4 / 4
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✦ CORRIGÉ Ch5 — Théorème de Thalès
✦ Corrigé — Ch5 — Théorème de Thalès
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Reconnaître la configuration de Thalès ★
B,M,A alignés et C,N,A alignés, MN ∥ BC
→ Triangles ABC et AMN (mêmes sommet A)
→ AMAB = ANAC = MNBC
= AMAB = ANAC = MNBC
Ex.2 Calculer une longueur — Thalès direct ★
AM=6, AB=9, AN=4, AC=?
→ Configuration de Thalès correcte (M∈[AB], N∈[AC], MN∥BC)
→ AMAB = ANAC → 69 = 4AC → AC = 4×9÷6
= AC = 6 cm
Ex.3 Calculer une longueur — tableau de Thalès ★
AM=5, AB=15, AN=x, AC=12
→ AMAB = ANAC → 515 = x12
→ x = 12×5÷15
= x = AN = 4 cm
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Vérifier le parallélisme — réciproque ★★
AM=4, AB=10, AN=3, AC=7,5
→ AMAB = 410 = 0,4
→ ANAC = 37,5 = 0,4
= Les rapports sont égaux (0,4=0,4) donc (MN) ∥ (BC)
Ex.5 Thalès — figure en papillon ★★
OA=6, OB=4, OC=9, OD=6, AB=8
→ OAOC = 69 = 23 et OBOD = 46 = 23 → rapports égaux donc (AB) ∥ (CD)
→ OAOC = ABCD → 69 = 8CD → CD = 8×9÷6
= AB ∥ CD confirmé · CD = 12 cm
Ex.6 Calculer plusieurs longueurs ★★
AP=4, PM=6, AQ=5, MN=15, PQ∥MN
→ AM = AP+PM = 4+6 = 10
→ APAM = AQAN → 410 = 5AN → AN = 5×10÷4
→ PQMN = APAM → PQ15 = 410 → PQ = 15×4÷10
= AM=10 cm · AN=12,5 cm · PQ=6 cm
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✦ CORRIGÉ Ch5 — Théorème de Thalès
✦ Corrigé — Ch5 — Théorème de Thalès
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Réciproque — démonstration ★★
→ DGDE = 312 = 14
→ DHDF = 416 = 14
→ Les rapports DGDE et DHDF sont égaux
= D'après la réciproque de Thalès, (GH) ∥ (EF)
Ex.8 Problème — ombre portée ★★
→ Le poteau et l'arbre sont verticaux (parallèles), les ombres sont alignées avec le soleil : configuration de Thalès
→ h/hauteur_poteau = ombre_arbre/ombre_poteau ⟹ h/2 = 83,2
→ h = 2×83,2
= h = 5 m
Ex.9 Thalès — trouver une inconnue algébrique ★★★
→ (MN)∥(BC) donc Thalès : AMAB = ANAC ⟹ x3x = x+19
→ x3x = 13, donc 13 = x+19 ⟹ x+1 = 3
→ x = 2
= x = 2 (on vérifie : AMAB = 26 = 13 = ANAC = 39)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Thalès et distances réelles ★★★
→ Distance réelle = distance carte × échelle = 6 × 50000 = 300000 cm
→ 300000 cm = 3000 m
= Distance réelle = 3 km
Ex.11 Réciproque — contre-exemple ★★★
→ PSPQ = 58 = 0,625
→ PTPR = 610 = 0,6
→ 0,625 ≠ 0,6 : les rapports ne sont pas égaux
= (ST) n'est PAS parallèle à (QR) : si elle l'était, Thalès imposerait PSPQ = PTPR, ce qui n'est pas le cas
Ex.12 ★ Défi Brevet — Thalès emboîté ★★★
→ MB = AB − AM = 10 − 6 = 4 ; rapport AMAB = 610 = 35
→ (MN)∥(BC) donc Thalès : MNBC = AMAB = 35 ⟹ MN = 15×35 = 9
→ Périmètre de AMN = AM + AN + MN = 6 + 9 + 9
= MB = 4 ; MN = 9 cm ; périmètre du triangle AMN = 24 cm
mathsotop.frCorrigé — Ch5 — Théorème de Thalès 6 / 6