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COLLÈGE — 3ÈME
Fiche N° 06 Chapitre 6 — Trigonométrie
Sinus, cosinus, tangente — longueurs et angles

Chapitre 6 — Trigonométrie

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Brevet
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Vocabulaire du triangle rectangle ★ 3 pts
A B C35°Dans un triangle ABC rectangle en B, l'angle A = 35°.
  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Identifier le côté adjacent et le côté opposé à l'angle A.
  3. Que vaut l'angle C ?
Réponse  
Ex.2 Calculer cos, sin, tan ★ 4 pts
D F EDF=6EF=8DE=10Dans un triangle DEF rectangle en F, DE = 10 cm, DF = 6 cm, EF = 8 cm.
  1. Calculer cos(D).
  2. Calculer sin(D).
  3. Calculer tan(D).
Réponse  
Ex.3 Calculer un côté (cosinus) ★ 4 pts
A B C40°AC=12Triangle ABC rectangle en B, angle A = 40°, hypoténuse AC = 12 cm.
  1. Écrire la relation trigonométrique utilisant cos(A).
  2. Calculer AB (arrondir au mm).
Réponse  
mathsotop.frCh6 — Trigonométrie1 / 4
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Fiche N° 06 Chapitre 6 — Trigonométrie
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Calculer un côté (sinus) ★ 4 pts
P Q R28°PR=15Triangle PQR rectangle en Q, angle P = 28°, hypoténuse PR = 15 cm.
  1. Écrire la relation utilisant sin(P).
  2. Calculer QR (arrondir au mm).
Réponse  
Ex.5 Calculer un angle (cosinus inverse) ★★ 4 pts
M N PMN=7MP=11Triangle MNP rectangle en N, MN = 7 cm, MP = 11 cm.
  1. Écrire la relation cos(M) = ...
  2. Calculer l'angle M (arrondir au degré).
Réponse  
Ex.6 Calculer un angle (tangente inverse) ★★ 4 pts
R S TRS=9ST=12Triangle RST rectangle en S, RS = 9 cm, ST = 12 cm.
  1. Écrire la relation tan(R) = ...
  2. Calculer l'angle R (arrondir au degré).
Réponse  
mathsotop.frCh6 — Trigonométrie2 / 4
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COLLÈGE — 3ÈME
Fiche N° 06 Chapitre 6 — Trigonométrie
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Problème — hauteur d'un bâtiment ★★ 5 pts
De 30 m d'un bâtiment, on mesure un angle d'élévation de 52° jusqu'au sommet.
  1. Faire un schéma annoté.
  2. Identifier quelle relation trigonométrique utiliser.
  3. Calculer la hauteur (arrondir au dm).
Réponse  
Ex.8 Vérification — Pythagore + trigonométrie ★★ 4 pts
A B CAB=5BC=12Triangle ABC rectangle en B, AB = 5 cm, BC = 12 cm.
  1. Calculer AC par Pythagore.
  2. Calculer cos(A) puis l'angle A.
Réponse  
Ex.9 Problème — pente de route ★★★ 5 pts
Une route monte de 80 m sur une distance de 650 m (distance réelle, pas la projection).
  1. Calculer sin(α) où α est l'angle d'inclinaison.
  2. Calculer l'angle α.
  3. Exprimer la pente en pourcentage (côté opposé / côté adjacent × 100).
Réponse  
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COLLÈGE — 3ÈME
Fiche N° 06 Chapitre 6 — Trigonométrie
Fiche N° 06
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Problème — vue du dessus ★★★ 4 pts
Un radar détecte un avion à une distance de 12 km. L'avion est à 4 km d'altitude.
  1. Calculer l'angle d'élévation.
  2. Calculer la distance au sol (projection).
Réponse  
Ex.11 Combiner Pythagore et trigonométrie ★★★ 4 pts
C B A32°BC=14Dans un triangle ABC rectangle en B, angle C = 32°, BC = 14 cm.
  1. Calculer AB.
  2. Calculer AC.
  3. Vérifier avec Pythagore.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi Brevet ★★★ 6 pts
Un voilier part d'un point S et navigue 8 km plein nord jusqu'en T, puis change de cap : sa nouvelle route fait un angle de 65° avec la direction du nord (vers l'est) et il parcourt 5 km jusqu'en E.
  1. Faire un schéma en traçant le pied H de la perpendiculaire à (ST) passant par E (H est sur la droite (ST)).
  2. En décomposant dans les triangles rectangles THE puis SHE, calculer la distance à vol d'oiseau SE entre la position finale et le point de départ.
  3. Calculer l'angle entre la direction du nord et la route de retour directe (SE).
Réponse  
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✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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mathsotop.frCh6 — Trigonométrie4 / 4
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✦ CORRIGÉ Ch6 — Trigonométrie
✦ Corrigé — Ch6 — Trigonométrie
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Vocabulaire du triangle rectangle ★
ABC rectangle en B, angle A=35°
→ Hypoténuse = AC (côté opposé à l'angle droit B)
→ Côté adjacent à A = AB · Côté opposé à A = BC
→ Angle C = 90°−35° = 55°
= Hypoténuse AC · adjacent AB, opposé BC · angle C = 55°
Ex.2 Calculer cos, sin, tan ★
DEF rectangle en F, DE=10, DF=6, EF=8
→ cos(D) = adjacent÷hyp = DFDE = 610 = 0,6
→ sin(D) = opposé÷hyp = EFDE = 810 = 0,8
→ tan(D) = opposé÷adjacent = EFDF = 86 ≈ 1,33
= cos(D)=0,6 · sin(D)=0,8 · tan(D)≈1,33
Ex.3 Calculer un côté (cosinus) ★
ABC rectangle en B, angle A=40°, AC=12
→ cos(A) = ABAC → AB = AC×cos(40°)
= AB = 12×cos(40°) ≈ 9,2 cm
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Calculer un côté (sinus) ★★
PQR rectangle en Q, angle P=28°, PR=15
→ sin(P) = QRPR → QR = PR×sin(28°)
= QR = 15×sin(28°) ≈ 7,0 cm
Ex.5 Calculer un angle (cosinus inverse) ★★
MNP rectangle en N, MN=7, MP=11
→ cos(M) = MNMP = 711 ≈ 0,636
→ M = cos⁻¹(0,636)
= M ≈ 51°
Ex.6 Calculer un angle (tangente inverse) ★★
RST rectangle en S, RS=9, ST=12
→ tan(R) = STRS = 129 ≈ 1,33
→ R = tan⁻¹(1,33)
= R ≈ 53°
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✦ CORRIGÉ Ch6 — Trigonométrie
✦ Corrigé — Ch6 — Trigonométrie
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Problème — hauteur d'un bâtiment ★★
→ Schéma : triangle rectangle, côté adjacent = 30 m, angle d'élévation = 52°, côté opposé = hauteur cherchée
→ L'angle et le côté adjacent sont connus, l'opposé est cherché : on utilise la tangente
→ tan(52°) = h/30 ⟹ h = 30×tan(52°) ≈ 30×1,2799
= h ≈ 38,4 m
Ex.8 Vérification — Pythagore + trigonométrie ★★
→ Pythagore : AC² = AB²+BC² = 5²+12² = 25+144 = 169 ⟹ AC = 13
→ cos(A) = adjacenthyp = ABAC = 513 ≈ 0,3846
→ angle A = arccos(513) ≈ 67,4°
= AC = 13 cm ; angle A ≈ 67,4°
Ex.9 Problème — pente de route ★★★
→ sin(α) = opposéhyp = 80650 ≈ 0,1231
→ α = arcsin(0,1231) ≈ 7,1°
→ Côté adjacent (projection horizontale) = √(650²−80²) = √416100 ≈ 645,1 ; pente = 80645,1×100 ≈ 12,4 %
= α ≈ 7,1° ; pente ≈ 12,4 %
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Problème — vue du dessus ★★★
→ sin(angle) = altitudedistance = 412 = 13
→ angle = arcsin(13) ≈ 19,5°
→ Distance au sol = √(12²−4²) = √128 = 8√2 ≈ 11,3 km
= Angle d'élévation ≈ 19,5° ; distance au sol ≈ 11,3 km
Ex.11 Combiner Pythagore et trigonométrie ★★★
→ AB (opposé à l'angle C) : tan(32°) = ABBC ⟹ AB = 14×tan(32°) ≈ 14×0,6249 ≈ 8,75 cm
→ AC (hyp.) : cos(32°) = BCAC ⟹ AC = 14cos(32°) ≈ 140,8480 ≈ 16,51 cm
→ Vérification : AB²+BC² ≈ 8,75²+14² ≈ 272,5 ≈ AC² ≈ 16,51² ✓
= AB ≈ 8,75 cm ; AC ≈ 16,51 cm
Ex.12 ★ Défi Brevet ★★★
→ H est le pied de la perpendiculaire à (ST) issue de E. Dans le triangle THE, rectangle en H : l'angle en T entre (TE) et la droite (ST) (le nord) vaut 65°
→ cos(65°) = THTE ⟹ TH = 5×cos(65°) ≈ 5×0,4226 ≈ 2,11 km · sin(65°) = HETE ⟹ HE = 5×sin(65°) ≈ 5×0,9063 ≈ 4,53 km
→ SH = ST + TH = 8 + 2,11 = 10,11 km
→ Triangle SHE rectangle en H, Pythagore : SE² = SH²+HE² = 10,11²+4,53² ≈ 102,27+20,54 ≈ 122,8 ⟹ SE ≈ 11,08 km
→ Dans le triangle SHE rectangle en H : tan(HSE) = HESH = 4,5310,11 ≈ 0,448 ⟹ angle HSE ≈ 24,1°
= Distance au point de départ SE ≈ 11,08 km ; angle entre le nord et la route de retour directe ≈ 24,1°
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