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LA PLATEFORME DE MATHS
Fiche d'exercices N° 01 3ème — Chapitre 1
Arithmétique
PGCD · Décomposition · Fractions

Chapitre 1 — Arithmétique

3ème · 12 exercices
Niveau →
Brevet
★
Niveau 1 — Facile Exercices 1 à 4 · Maîtriser les bases de l'arithmétique
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex. 1 Décomposition en facteurs premiers 4 pts
Décompose chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers.
  1. Décomposer 60 en produit de facteurs premiers.
  2. Décomposer 84 en produit de facteurs premiers.
  3. Décomposer 126 en produit de facteurs premiers.
  4. Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
Réponses (montrer les divisions successives)
Ex. 2 Diviseurs d'un nombre 3 pts
  1. Lister tous les diviseurs de 24.
  2. Lister tous les diviseurs de 36.
  3. Quels sont les diviseurs communs à 24 et 36 ?
Réponses
Ex. 3 PGCD — Algorithme d'Euclide 4 pts
🔑 Méthode — Algorithme d'Euclide
Pour trouver PGCD(a, b) avec a > b : divise a par b, prends le reste r, puis recommence avec b et r jusqu'à reste = 0. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.
Calculer le PGCD des couples de nombres suivants en utilisant l'algorithme d'Euclide.
a) PGCD(48, 36)
b) PGCD(72, 45)
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Chapitre 1 — Arithmétique

3ème · 12 exercices
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex. 4 Fractions irréductibles 4 pts
Réduire chaque fraction en fraction irréductible (utilise le PGCD).
a) 1824
b) 3556
Ex. 5 PGCD par décomposition 4 pts
  1. Décomposer 120 et 180 en produit de facteurs premiers.
  2. En déduire PGCD(120, 180).
  3. Calculer aussi PPCM(120, 180) en utilisant la relation :
    PPCM(a,b) = (a × b) ÷ PGCD(a,b)
Réponses
Ex. 6 Problème de partage équitable 5 pts
Un professeur dispose de 48 stylos rouges et 60 stylos bleus. Il veut constituer des trousses identiques, en utilisant tous les stylos, sans qu'il en reste.
  1. Calculer PGCD(48, 60).
  2. Combien de trousses peut-il constituer au maximum ?
  3. Combien y aura-t-il de stylos rouges et de stylos bleus dans chaque trousse ?
Réponses
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Chapitre 1 — Arithmétique

3ème · 12 exercices
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex. 7 Nombres premiers entre eux 4 pts
🔑 Rappel
Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1. Une fraction ab est irréductible si et seulement si PGCD(a, b) = 1.
  1. Vérifier que 35 et 48 sont premiers entre eux.
  2. La fraction 3548 est-elle irréductible ? Justifier.
  3. Réduire la fraction 9178 en fraction irréductible.
Réponses
Ex. 8 Critères de divisibilité 4 pts
NombreDivisible par 2 ?Par 3 ?Par 5 ?Par 9 ?
2 025
1 386
4 590
Justifie chaque réponse en une phrase.
Justifications
Ex. 9 Problème de carrelage 5 pts
On souhaite carreler un couloir rectangulaire de 252 cm de longueur et 168 cm de largeur avec des carreaux carrés identiques, sans les couper, et en utilisant le moins de carreaux possible.
  1. Quel doit être le côté des carreaux ? (Justifier en calculant un PGCD.)
  2. Combien de carreaux faudra-t-il au total ?
Réponses
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Chapitre 1 — Arithmétique

3ème · 12 exercices
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex. 10 Nombre premier — Démonstration 4 pts
  1. Donner la définition d'un nombre premier.
  2. Vérifier que 97 est un nombre premier. (Indication : tester la divisibilité par 2, 3, 5 et 7.)
  3. Décomposer 1 001 en produit de facteurs premiers. Conclure sur sa nature.
Réponses
Ex. 11 Problème de synchronisation 5 pts
Deux navettes de bus partent ensemble d'un terminus à 8h00. La navette A fait le trajet en 24 minutes. La navette B en 40 minutes.
  1. Calculer PPCM(24, 40).
  2. À quelle heure se retrouveront-elles ensemble au terminus pour la première fois ?
  3. Combien de fois la navette A sera-t-elle passée depuis 8h00 ? Et la navette B ?
Réponses
Ex. 12 ★ Défi — Niveau Brevet complet 6 pts
📌 Données
Dans un club de mathématiques, 91 filles et 77 garçons participent à des ateliers. On souhaite former des groupes de travail identiques (même nombre de filles, même nombre de garçons dans chaque groupe), en répartissant tous les élèves.
  1. Décomposer 91 et 77 en produit de facteurs premiers.
  2. En déduire le nombre maximum de groupes qu'on peut former.
  3. Combien y aura-t-il de filles et de garçons dans chaque groupe ?
  4. Vérifier que 91 ÷ 7 et 77 ÷ 7 donnent bien des entiers.
Réponses
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Chapitre
✦ Corrigé — Chapitre
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Décomposition en facteurs premiers ★
60, 84, 126, 360
→ 60 = 2×30 = 2×2×15 = 2²×3×5
→ 84 = 2×42 = 2²×21 = 2²×3×7
→ 126 = 2×63 = 2×9×7 = 2×3²×7
→ 360 = 2³×45 = 2³×9×5 = 2³×3²×5
= 60=2²×3×5 · 84=2²×3×7 · 126=2×3²×7 · 360=2³×3²×5
Ex.2 Diviseurs d'un nombre ★
Diviseurs de 24 et 36
→ Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
→ Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
→ Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12
= Diviseurs communs à 24 et 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Ex.3 PGCD — Algorithme d'Euclide ★
PGCD(48,36) et PGCD(72,45)
→ 48=1×36+12 · 36=3×12+0 → PGCD(48,36)=12
→ 72=1×45+27 · 45=1×27+18 · 27=1×18+9 · 18=2×9+0 → PGCD(72,45)=9
= PGCD(48,36) = 12 · PGCD(72,45) = 9
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Fractions irréductibles ★★
1824 et 3556
→ PGCD(18,24)=6 → 18÷6=3, 24÷6=4
→ PGCD(35,56)=7 → 35÷7=5, 56÷7=8
= 1824 = 34 · 3556 = 58
Ex.5 PGCD par décomposition ★★
120 et 180
→ 120 = 2³×3×5 · 180 = 2²×3²×5
→ PGCD(120,180) = 2²×3×5 = 60
→ PPCM(120,180) = (120×180)÷60 = 21600÷60
= PGCD = 60 · PPCM = 360
Ex.6 Problème de partage équitable ★★
48 stylos rouges, 60 stylos bleus
→ PGCD(48,60) : 48=2⁴×3 · 60=2²×3×5 → PGCD=2²×3=12
→ 12 trousses au maximum
→ Stylos rouges/trousse : 48÷12=4 · Stylos bleus/trousse : 60÷12=5
= 12 trousses, avec 4 stylos rouges et 5 stylos bleus chacune
mathsotop.frCorrigé — Chapitre 5 / 6
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Chapitre
✦ Corrigé — Chapitre
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Nombres premiers entre eux ★★
→ 35 = 5×7 et 48 = 2⁴×3 : aucun facteur premier commun, donc PGCD(35,48) = 1
→ Comme PGCD(35,48)=1, la fraction 3548 est irréductible
→ 91 = 7×13 et 78 = 2×3×13 : PGCD(91,78) = 13, donc 9178 = 91÷1378÷13 = 76
= 35 et 48 sont premiers entre eux ; 3548 irréductible ; 9178 = 76
Ex.8 Critères de divisibilité ★★
→ 2025 : impair (non div. par 2) ; somme des chiffres 2+0+2+5=9, divisible par 3 et par 9 ; se termine par 5, divisible par 5
→ 1386 : pair (div. par 2) ; somme des chiffres 1+3+8+6=18, divisible par 3 et par 9 ; ne se termine pas par 0 ou 5 (non div. par 5)
→ 4590 : pair (div. par 2) ; somme des chiffres 4+5+9+0=18, divisible par 3 et par 9 ; se termine par 0, divisible par 5
= 2025 : 3,5,9 ; 1386 : 2,3,9 ; 4590 : 2,3,5,9
Ex.9 Problème de carrelage ★★
→ 252 = 2²×3²×7 et 168 = 2³×3×7 ⟹ PGCD(252,168) = 2²×3×7 = 84
→ Le côté du carreau le plus grand possible (sans découpe) est donc 84 cm
→ Nombre de carreaux : (252÷84)×(168÷84) = 3×2 = 6
= Côté des carreaux : 84 cm ; il faut 6 carreaux
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Nombre premier — Démonstration ★★★
→ Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
→ 97 est impair (non div. par 2), somme des chiffres 16 (non div. par 3), ne se termine pas par 05 (non div. par 5), 97÷7≈13,86 (non div. par 7) — comme √97≈9,85, il suffisait de tester 2,3,5,7
→ 1001 = 7×11×13 : il possède d'autres diviseurs que 1 et lui-même, donc 1001 n'est pas premier
= 97 est premier ; 1001 = 7×11×13 n'est pas premier
Ex.11 Problème de synchronisation ★★★
→ 24 = 2³×3 et 40 = 2³×5 ⟹ PPCM(24,40) = 2³×3×5 = 120
→ Elles se retrouvent ensemble au terminus toutes les 120 minutes, soit 2 heures après 8h00
→ Navette A (tous les 24 min) : 120÷24 = 5 passages ; navette B (tous les 40 min) : 120÷40 = 3 passages
= Elles se retrouvent à 10h00 ; A sera passée 5 fois, B 3 fois
Ex.12 ★ Défi — Niveau Brevet complet ★★★
→ 91 = 7×13 et 77 = 7×11
→ PGCD(91,77) = 7 : on peut former au maximum 7 groupes identiques
→ Filles par groupe : 91÷7 = 13 ; garçons par groupe : 77÷7 = 11
→ Vérification : 91÷7 = 13 et 77÷7 = 11 sont bien des entiers
= 7 groupes de 13 filles et 11 garçons
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