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COLLÈGE — 4ÈME
Fiche N° 04 Chapitre 4 — Théorème de Pythagore
Racines carrées & triangle rectangle

Chapitre 4 — Théorème de Pythagore

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Collège
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Racines carrées ★ 4 pts
Calculer sans calculatrice.
a) √144
b) √0,25
c) √916
d) √2 × √8
Réponse
Ex.2 Calculer l'hypoténuse ★ 4 pts
Calculer (arrondir au mm).
  1. Triangle rect. en B : AB=6, BC=8. AC=?
  2. Triangle rect. en A : AB=5, AC=12. BC=?
Réponse  
Ex.3 Calculer un côté de l'angle droit ★ 4 pts
Calculer le côté manquant.
  1. Hyp.=15 cm, un côté=9 cm → ?
  2. Hyp.=10 cm, un côté=6 cm → ?
Réponse  
mathsotop.frCh4 — Théorème de Pythagore1 / 4
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Théorème de Pythagore
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Réciproque — vérifier ★ 3 pts
Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.
  1. Côtés : 5 cm, 12 cm, 13 cm
  2. Côtés : 7 cm, 10 cm, 12 cm
Réponse  
Ex.5 Diagonale et distance ★★ 4 pts
  1. Rectangle 9×12 cm : longueur de la diagonale ?
  2. Distance entre A(0,0) et B(3,4).
  3. Distance entre C(1,2) et D(5,5).
Réponse  
Ex.6 Problème — échelle ★★ 4 pts
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Son pied est à 1,5 m du mur.
  1. Schématiser la situation.
  2. À quelle hauteur atteint-elle le mur ?
Réponse  
mathsotop.frCh4 — Théorème de Pythagore2 / 4
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Théorème de Pythagore
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Pythagore et cercle ★★ 4 pts
Triangle ABC inscrit dans un cercle de diamètre BC = 10 cm. AB = 6 cm.
  1. Montrer que l'angle BAC = 90°.
  2. Calculer AC.
Réponse  
Ex.8 Réciproque — démonstration ★★ 4 pts
Montrer que A(0,0), B(4,0) et C(4,3) forment un triangle rectangle.
  1. Calculer AB, BC et AC.
  2. Vérifier la relation de Pythagore.
Réponse  
Ex.9 Pythagore dans un solide ★★★ 5 pts
Un cube a un côté de 6 cm.
  1. Calculer la diagonale d'une face.
  2. Calculer la grande diagonale du cube.
Réponse  
mathsotop.frCh4 — Théorème de Pythagore3 / 4
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Théorème de Pythagore
Fiche N° 04
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Pythagore et équation ★★★ 4 pts
Hypoténuse = x+2, un côté = x, l'autre côté mesure 10 cm (fixe).
  1. Écrire l'équation de Pythagore.
  2. Développer et simplifier.
  3. Résoudre pour x > 0.
Réponse  
Ex.11 Triangle rectangle — démonstration ★★★ 4 pts
Triangle avec les sommets A(1,1), B(5,1) et C(5,4).
  1. Calculer les longueurs des 3 côtés.
  2. Vérifier avec Pythagore.
  3. Quel angle est droit ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Médiane ★★★ 5 pts
Triangle ABC rectangle en B avec AB=8, BC=6.
  1. Calculer AC.
  2. M est le milieu de AC. Calculer BM.
  3. Que remarque-t-on ? Énoncer la propriété.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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mathsotop.frCh4 — Théorème de Pythagore4 / 4
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COLLÈGE — 4ÈME
✦ CORRIGÉ Ch4 — Théorème de Pythagore
✦ Corrigé — Ch4 — Théorème de Pythagore
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Racines carrées ★
√ de carrés parfaits
→ a) √144=12 · b) √0,25=0,5
= c) √(916)=34 · d) √2×√8=√16=4
Ex.2 Calculer l'hypoténuse ★
Théorème de Pythagore
→ Triangle rect. en B : AC=√(6²+8²)=√100=10 cm
= Triangle rect. en A : BC=√(12²−5²)=√119≈10,9 cm
Ex.3 Calculer un côté de l'angle droit ★
c²=hyp²−côté²
→ Hyp.=15, côté=9 : autre côté=√(225−81)=√144=12 cm
= Hyp.=10, côté=6 : autre côté=√(100−36)=√64=8 cm
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Réciproque — vérifier ★★
Réciproque de Pythagore
→ 5;12;13 : 5²+12²=169=13² → triangle RECTANGLE
= 7;10;12 : 7²+10²=149≠144=12² → PAS rectangle
Ex.5 Diagonale et distance ★★
Diagonale, distance dans un repère
→ Diagonale du rectangle 9×12 = √(81+144)=√225=15 cm
→ AB=√(3²+4²)=√25=5
= CD=√(4²+3²)=√25=5
Ex.6 Problème — échelle ★★
Pythagore appliqué
→ Hauteur = √(5²−1,5²) = √(25−2,25) = √22,75
= Hauteur ≈ 4,77 m
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✦ CORRIGÉ Ch4 — Théorème de Pythagore
✦ Corrigé — Ch4 — Théorème de Pythagore
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Pythagore et cercle ★★
→ BC est un diamètre du cercle, donc A appartient au cercle de diamètre [BC] : d'après la propriété de l'angle inscrit dans un demi-cercle, l'angle BAC est droit
→ Pythagore dans ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC² ⟹ 10² = 6² + AC²
→ AC² = 100 − 36 = 64 ⟹ AC = √64
= Angle BAC = 90° ; AC = 8 cm
Ex.8 Réciproque — démonstration ★★
→ AB = √[(4−0)²+(0−0)²] = 4 ; BC = √[(4−4)²+(3−0)²] = 3 ; AC = √[(4−0)²+(3−0)²] = √25 = 5
→ Le plus grand côté est AC : AB² + BC² = 16 + 9 = 25 = AC²
→ La relation de Pythagore est vérifiée
= ABC est rectangle en B
Ex.9 Pythagore dans un solide ★★★
→ Diagonale d'une face : d = √(6²+6²) = √72 = 6√2
→ Grande diagonale du cube : D = √(d²+6²) = √(72+36) = √108 = 6√3
= Diagonale de face = 6√2 cm ; grande diagonale = 6√3 cm
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Pythagore et équation ★★★
→ Équation de Pythagore : (x+2)² = x² + 10²
→ Développement : x²+4x+4 = x² + 100
→ Les termes en x² s'éliminent : 4x+4 = 100 ⟹ 4x = 96 ⟹ x = 24
→ Vérification : côtés 24 et 10, hypoténuse 26 ; 24²+10² = 576+100 = 676 = 26² ✓
= x = 24 cm
Ex.11 Triangle rectangle — démonstration ★★★
→ AB = √[(5−1)²+(1−1)²] = 4 ; BC = √[(5−5)²+(4−1)²] = 3 ; AC = √[(5−1)²+(4−1)²] = √25 = 5
→ AB² + BC² = 16+9 = 25 = AC², la relation de Pythagore est vérifiée
= Angle droit en B
Ex.12 ★ Défi — Médiane ★★★
→ AC² = AB²+BC² = 8²+6² = 64+36 = 100 ⟹ AC = 10
→ M milieu de l'hypoténuse [AC] : d'après la propriété de la médiane dans un triangle rectangle, BM = AC2 = 102 = 5
→ On remarque que M est équidistant de A, B et C (AM=BM=CM=5) : M est le centre du cercle circonscrit à ABC
= AC = 10 cm ; BM = 5 cm — dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse
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