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COLLÈGE — 4ÈME
Fiche N° 05 Chapitre 5 — Cosinus
Calcul d'angles & longueurs

Chapitre 5 — Cosinus

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Collège
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Définition — cosinus ★ 4 pts
Triangle rectangle en B. Calculer cos(A) :
cos(A) = côté adjacent / hypoténuse = ABAC
  1. AB=6, AC=10
  2. AB=5, AC=13
  3. AB=3, AC=5
Réponse  
Ex.2 Calculer AB (côté adjacent) ★ 4 pts
Calculer AB (arrondir au mm).
  1. AC=12 cm, angle A=35° [cos(35°)≈0,819]
  2. AC=8 cm, angle A=52° [cos(52°)≈0,616]
Réponse  
Ex.3 Calculer l'hypoténuse ★ 4 pts
Calculer AC (arrondir au mm).
  1. AB=7 cm, angle A=40°
  2. AB=5,5 cm, angle A=28°
Réponse  
mathsotop.frCh5 — Cosinus1 / 4
M
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COLLÈGE — 4ÈME
Fiche N° 05 Chapitre 5 — Cosinus
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Calculer un angle ★ 4 pts
Calculer l'angle A (cos⁻¹ sur la calculatrice).
  1. AB=8 cm, AC=10 cm
  2. AB=7 cm, AC=11 cm
Réponse  
Ex.5 Cosinus — calculer un angle (2) ★★ 4 pts
cos(A) = côté adjacent / hypoténuse = ABAC
Calculer cos(A) puis l'angle A :
  1. AB=8, AC=10
  2. AB=12, AC=13
Réponse  
Ex.6 Cosinus — calculer un angle (3) ★★ 3 pts
cos(A) = côté adjacent / hypoténuse = ABAC
Calculer cos(A) puis l'angle A :
  1. AB=3, AC=5
  2. AB=12, AC=15
Réponse  
mathsotop.frCh5 — Cosinus2 / 4
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COLLÈGE — 4ÈME
Fiche N° 05 Chapitre 5 — Cosinus
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Problème — hauteur d'un bâtiment ★★ 5 pts
Depuis un point situé à 25 m du pied d'un bâtiment, la ligne de visée vers le sommet fait un angle de 42° avec le sol.
  1. Faire un schéma légendé.
  2. Calculer la longueur de la ligne de visée à l'aide du cosinus.
  3. En déduire la hauteur du bâtiment à l'aide du théorème de Pythagore.
Réponse  
Ex.8 Vocabulaire du triangle rectangle ★★ 4 pts
Pour chaque triangle rectangle, indiquer quel côté est l'hypoténuse et, par rapport à l'angle marqué, quel côté est le côté adjacent et quel côté est le côté opposé :
  1. Triangle rectangle en B, angle marqué en A ; côtés [AB], [AC], [BC].
  2. Triangle rectangle en R, angle marqué en S ; côtés [RS], [RT], [ST].
  3. Triangle rectangle en M, angle marqué en N ; côtés [MN], [MP], [NP].
Réponse  
Ex.9 Combiné — Pythagore + trigonométrie ★★★ 5 pts
Triangle ABC rectangle en B, angle A=53°, AC=10 cm (hypoténuse).
  1. Calculer AB (adjacent à A) avec le cosinus.
  2. Calculer BC avec le théorème de Pythagore.
  3. Vérifier avec les valeurs 6, 8, 10.
Réponse  
mathsotop.frCh5 — Cosinus3 / 4
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COLLÈGE — 4ÈME
Fiche N° 05 Chapitre 5 — Cosinus
Fiche N° 05
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Triangle isocèle et trigonométrie ★★★ 4 pts
Triangle isocèle ABC avec AB=AC=10 cm et BC=12 cm.
  1. Calculer la hauteur issue de A.
  2. Calculer l'angle en B à l'aide du cosinus.
  3. En déduire l'angle en A (somme des angles d'un triangle = 180°).
Réponse  
Ex.11 Navigation ★★★ 4 pts
Un bateau parcourt 15 km. Sa trajectoire fait un angle de 40° avec la direction du Nord, et donc un angle de 50° avec la direction de l'Est (40°+50°=90°).
  1. Calculer sa position vers le Nord à l'aide du cosinus (angle de 40°).
  2. Calculer sa position vers l'Est à l'aide du cosinus (angle de 50°).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Toiture ★★★ 5 pts
Toit en triangle isocèle : demi-largeur 4 m, pente à 35° avec l'horizontale.
  1. Calculer la longueur d'un pan à l'aide du cosinus.
  2. En déduire la hauteur du toit à l'aide du théorème de Pythagore.
  3. Surface d'un pan (longueur × 6 m de profondeur).
Réponse  
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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mathsotop.frCh5 — Cosinus4 / 4
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COLLÈGE — 4ÈME
✦ CORRIGÉ Ch5 — Cosinus
✦ Corrigé — Ch5 — Cosinus
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Définition — cosinus ★
cos(A) = adjacenthypoténuse
→ AB=6,AC=10 : cos(A)=610=0,6
→ AB=5,AC=13 : cos(A)=513≈0,385
= AB=3,AC=5 : cos(A)=35=0,6
Ex.2 Calculer AB (côté adjacent) ★
AB = AC×cos(A)
→ AC=12, A=35° : AB=12×0,819≈9,8 cm
= AC=8, A=52° : AB=8×0,616≈4,9 cm
Ex.3 Calculer l'hypoténuse ★
AC = ABcos(A)
→ AB=7, A=40° (cos40°≈0,766) : AC=70,766≈9,1 cm
= AB=5,5, A=28° (cos28°≈0,883) : AC=5,50,883≈6,2 cm
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Calculer un angle ★★
A = cos⁻¹(ABAC)
→ AB=8,AC=10 : cos(A)=0,8 → A=cos⁻¹(0,8)≈36,9°
= AB=7,AC=11 : cos(A)=711≈0,636 → A≈50,5°
Ex.5 Cosinus — calculer un angle (2) ★★
cos(A)=ABAC
→ AB=8,AC=10 : cos(A)=0,8 → A≈36,9°
= AB=12,AC=13 : cos(A)=1213≈0,923 → A≈22,6°
Ex.6 Cosinus — calculer un angle (3) ★★
cos(A)=ABAC
→ AB=3,AC=5 : cos(A)=0,6 → A≈53,1°
= AB=12,AC=15 : cos(A)=0,8 → A≈36,9°
mathsotop.frCorrigé — Ch5 — Cosinus 5 / 6
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✦ CORRIGÉ Ch5 — Cosinus
✦ Corrigé — Ch5 — Cosinus
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Problème — hauteur d'un bâtiment ★★
→ Schéma : triangle rectangle, côté adjacent = 25 m (distance au pied du bâtiment), angle = 42°, hypoténuse = ligne de visée, côté opposé = hauteur cherchée
→ L'angle et l'adjacent sont connus, on cherche l'hypoténuse : cos(42°) = 25 / ligne de visée ⟹ ligne de visée = 25 / cos(42°) ≈ 250,7431 ≈ 33,6 m
→ Pythagore : hauteur² = 33,6² − 25² ≈ 1129 − 625 ≈ 504 ⟹ hauteur ≈ 22,5
= Hauteur ≈ 22,5 m
Ex.8 Vocabulaire du triangle rectangle ★★
→ Cas 1 : l'angle droit est en B, donc l'hypoténuse est [AC] (côté opposé à l'angle droit). Par rapport à l'angle en A : [AB] est le côté adjacent (il touche A et n'est pas l'hypoténuse), [BC] est le côté opposé (il ne touche pas A)
→ Cas 2 : l'angle droit est en R, donc l'hypoténuse est [ST]. Par rapport à l'angle en S : [RS] est le côté adjacent, [RT] est le côté opposé
→ Cas 3 : l'angle droit est en M, donc l'hypoténuse est [NP]. Par rapport à l'angle en N : [MN] est le côté adjacent, [MP] est le côté opposé
= Cas 1 : hyp [AC], adj [AB], opp [BC] — Cas 2 : hyp [ST], adj [RS], opp [RT] — Cas 3 : hyp [NP], adj [MN], opp [MP]
Ex.9 Combiné — Pythagore + trigonométrie ★★★
→ AB adjacent à l'angle A, AC hypoténuse : cos(53°) = ABAC ⟹ AB = 10 × cos(53°) ≈ 10 × 0,6018 ≈ 6,0
→ Pythagore : BC² = AC² − AB² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 ⟹ BC = 8
→ On retrouve le triplet pythagoricien (6 ; 8 ; 10) : 6²+8² = 36+64 = 100 = 10² ✓
= AB ≈ 6 cm ; BC = 8 cm
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Triangle isocèle et trigonométrie ★★★
→ La hauteur issue de A, dans un triangle isocèle, coupe [BC] en son milieu H : BC2 = 6 cm
→ Pythagore dans le triangle rectangle AHB : h² = AB² − 6² = 100 − 36 = 64 ⟹ h = 8 cm
→ Angle en B : dans le triangle rectangle AHB, [BH] est adjacent à l'angle B et [AB] est l'hypoténuse : cos(B) = BHAB = 610 = 0,6 ⟹ B = arccos(0,6) ≈ 53,13°
→ Le triangle ABC étant isocèle, l'angle en C = l'angle en B ≈ 53,13°. Somme des angles : A = 180 − 2×53,13 ≈ 73,7°
= Hauteur = 8 cm ; angle en B ≈ 53,1° ; angle en A ≈ 73,7°
Ex.11 Navigation ★★★
→ Position vers le Nord : 15 × cos(40°) ≈ 15 × 0,7660
→ Position vers l'Est : 15 × cos(50°) ≈ 15 × 0,6428
= ≈ 11,5 km vers le Nord et ≈ 9,6 km vers l'Est
Ex.12 ★ Défi — Toiture ★★★
→ Demi-largeur = 4 m (adjacent à l'angle 35°). Un pan est l'hypoténuse : cos(35°) = 4/longueur ⟹ longueur = 4cos(35°) ≈ 40,8192 ≈ 4,88 m
→ Pythagore : hauteur² = 4,88² − 4² ≈ 23,8 − 16 ≈ 7,8 ⟹ hauteur ≈ 2,80 m
→ Surface d'un pan ≈ 4,88 × 6
= Longueur d'un pan ≈ 4,88 m ; hauteur ≈ 2,80 m ; surface ≈ 29,3 m²
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