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COLLÈGE — 4ÈME
Fiche N° 09 Chapitre 9 — Théorème de Thalès
Droites parallèles & proportionnalité

Chapitre 9 — Théorème de Thalès

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Collège
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Reconnaître la configuration ★ 3 pts
A, B, M alignés et A, C, N alignés, MN ∥ BC.
  1. Identifier les deux triangles.
  2. Écrire l'égalité des rapports de Thalès.
Réponse  
Ex.2 Calculer une longueur ★ 4 pts
MN ∥ BC, M∈[AB], N∈[AC], AM=5, AB=8, AN=4.
  1. Calculer AC.
  2. Si MN=3, calculer BC.
Réponse  
Ex.3 Tableau de Thalès ★ 4 pts
Compléter et trouver x.
AMABANACMNBC
6104,5x3?
Réponse  
mathsotop.frCh9 — Théorème de Thalès1 / 4
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Fiche N° 09 Chapitre 9 — Théorème de Thalès
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Thalès — calculer une longueur ★ 4 pts
Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC], avec (MN) ∥ (BC). AM=4, AB=10, AN=6. Calculer AC à l'aide du théorème de Thalès. Justifier précisément.
Réponse  
Ex.5 Configuration en papillon ★★ 4 pts
Les droites (AC) et (BD) se coupent en O, avec (AB) ∥ (CD). OA=6, OC=9, OD=6.
  1. Calculer OB à l'aide du théorème de Thalès.
  2. Si AB=8, calculer CD.
Réponse  
Ex.6 Thalès avec algèbre ★★ 4 pts
AM=x, AB=x+6, AN=x−1, AC=x+2. MN ∥ BC.
  1. Écrire l'égalité de Thalès.
  2. Résoudre pour trouver x.
Réponse  
mathsotop.frCh9 — Théorème de Thalès2 / 4
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Fiche N° 09 Chapitre 9 — Théorème de Thalès
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Plusieurs longueurs ★★ 5 pts
Triangle ABC, MN ∥ BC, AM=4, MB=6, MN=3.
  1. Calculer AB.
  2. Calculer BC.
  3. Si AN=3,5, calculer AC et NC.
Réponse  
Ex.8 Ombre portée ★★ 4 pts
Piquet de 2m → ombre de 1,5m. Arbre → ombre de 4,5m.
  1. Schématiser et identifier Thalès.
  2. Calculer la hauteur de l'arbre.
Réponse  
Ex.9 Démonstration ★★★ 5 pts
Dans le triangle PQR, S ∈ [PQ] et T ∈ [PR], avec (ST) ∥ (QR). PS=3, PQ=9, PT=4.
  1. Calculer PR à l'aide du théorème de Thalès.
  2. Si QR=15, calculer ST.
Réponse  
mathsotop.frCh9 — Théorème de Thalès3 / 4
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Fiche N° 09 Chapitre 9 — Théorème de Thalès
Fiche N° 09
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Plan et agrandissement ★★★ 4 pts
Carte 15000. Deux points à 4 cm sur la carte.
  1. Distance réelle entre ces deux points.
  2. Un 3ème point situé à 2,4 cm du 1er sur le segment. Distance réelle ?
Réponse  
Ex.11 Thalès + Pythagore ★★★ 4 pts
Triangle rectangle en B, AB=6, BC=8. M∈[AB] avec AM=4, MN∥BC.
  1. Calculer AC par Pythagore.
  2. Calculer AN et MN par Thalès.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Thalès emboîté ★★★ 5 pts
Triangle ABC, D∈[AB], E∈[AC], DE∥BC. AD=3, AB=10, BC=15.
  1. Calculer DE par Thalès.
  2. Si F est le milieu de [DB], calculer FG où FG∥DE avec G∈[DC].
Réponse  
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch9 — Théorème de Thalès
✦ Corrigé — Ch9 — Théorème de Thalès
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Reconnaître la configuration ★
Identifier triangles et égalité
→ Les deux triangles sont AMN et ABC (triangles emboîtés)
= Égalité de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC
Ex.2 Calculer une longueur ★
AMAB = ANAC = MNBC
→ AMAB=ANAC → 58=4AC → AC=4×85=6,4
= MNBC=AMAB → 3BC=58 → BC=3×85=4,8
Ex.3 Tableau de Thalès ★
Produit en croix
→ AMAB=ANAC : 610=4,5x → x=4,5×106=7,5
= MNBC=AMAB : 3BC=610 → BC=3×106=5
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Thalès — calculer une longueur ★★
Théorème de Thalès
→ Dans le triangle ABC avec (MN) ∥ (BC) : AMAB = ANAC
→ 410 = 6AC ⟹ AC = 6×104 = 15
= AC = 15
Ex.5 Configuration en papillon ★★
Théorème de Thalès (configuration papillon)
→ Avec (AB) ∥ (CD) : OAOC = OBOD = ABCD
→ 69 = OB6 ⟹ OB = 6×69 = 4
→ 69 = 8CD ⟹ CD = 8×96 = 12
= OB = 4 ; CD = 12
Ex.6 Thalès avec algèbre ★★
Mise en équation et résolution
→ Égalité de Thalès : xx+6 = x−1x+2
→ x(x+2)=(x−1)(x+6) → x²+2x=x²+5x−6 → 2x=5x−6
= −3x=−6 → x=2
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✦ CORRIGÉ Ch9 — Théorème de Thalès
✦ Corrigé — Ch9 — Théorème de Thalès
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Plusieurs longueurs ★★
→ AB = AM + MB = 4 + 6 = 10
→ (MN)∥(BC) donc, d'après Thalès : AMAB = MNBC ⟹ 410 = 3BC ⟹ BC = 3×104 = 7,5
→ ANAC = AMAB ⟹ 3,5AC = 410 ⟹ AC = 3,5×104 = 8,75, puis NC = AC−AN = 8,75−3,5 = 5,25
= AB = 10 ; BC = 7,5 ; AC = 8,75 et NC = 5,25
Ex.8 Ombre portée ★★
→ Le piquet et l'arbre sont parallèles (verticaux), leurs ombres sont sur la même droite (les rayons du soleil) : on a une configuration de Thalès
→ hauteur_arbre/hauteur_piquet = ombre_arbre/ombre_piquet ⟹ hauteur_arbre = 2 × 4,51,5
= Hauteur de l'arbre = 6 m
Ex.9 Démonstration ★★★
→ Dans le triangle PQR avec (ST) ∥ (QR) : PSPQ = PTPR
→ 39 = 4PR ⟹ PR = 4×93 = 12
→ STQR = PSPQ = 13 ⟹ ST = 153 = 5
= PR = 12 ; ST = 5
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Plan et agrandissement ★★★
→ Échelle 15000 : distance réelle = distance carte × 5000. 4 cm × 5000 = 20000 cm
→ 3ᵉ point à 2,4 cm du 1er : distance réelle = 2,4 × 5000 = 12000 cm
= Distance réelle : 200 m ; distance au 3ᵉ point : 120 m
Ex.11 Thalès + Pythagore ★★★
→ Pythagore : AC² = AB²+BC² = 6²+8² = 36+64 = 100 ⟹ AC = 10
→ (MN)∥(BC) donc Thalès : AMAB = ANAC = MNBC, soit AMAB = 46 = 23
→ AN = 23 × AC = 23 × 10 = 203 ; MN = 23 × BC = 23 × 8 = 163
= AC = 10 ; AN = 203 ≈ 6,67 ; MN = 163 ≈ 5,33
Ex.12 ★ Défi — Thalès emboîté ★★★
→ (DE)∥(BC) donc Thalès dans le triangle ABC : DEBC = ADAB = 310 ⟹ DE = 15×310 = 4,5
→ F milieu de [DB] : dans le triangle DBC, la droite passant par F et parallèle à (BC) (donc à (DE)) coupe [DC] en son milieu G — c'est le théorème de la droite des milieux
→ FG, milieu du triangle DBC, mesure la moitié du 3ᵉ côté : FG = BC2 = 152
= DE = 4,5 ; FG = 7,5 (théorème de la droite des milieux dans le triangle DBC)
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