Statistiques

I. Vocabulaire et séries statistiques

Définitions clés

Population : ensemble d'individus étudiés.

Individu : chaque élément de la population.

Caractère qualitatif : sport, couleur, transport…

Caractère quantitatif : taille, note, masse…

Effectif n_i : nombre d'individus par valeur.

Effectif total N : somme de tous les n_i.

Fréquence : f = n_i ÷ N | Fréquence % : f × 100

📋 Exemple — Notes d'une classe de 28 élèves

Note	Effectif n_i	n_i × note	Fréquence (%)
6	3	18	10,7 %
8	5	40	17,9 %
10	7	70	25,0 %
12	6	72	21,4 %
14	4	56	14,3 %
16	3	48	10,7 %
Total	28	304	100 %

II. Indicateurs de position

A. La moyenne x̄

x̄ = Σ(x_i × n_i) ÷ N

Application :

x̄ = 304 ÷ 28 ≈ 10,86 → Note moyenne ≈ 10,8620

B. La médiane M

La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés égales.
• N impair : M est la valeur au rang N+12
• N pair : M = moyenne des rangs N2 et N2+1

Série A (N=7) : 3–5–7–9–11–14–17 → M = 9
Série B (N=8) : 4–6–8–10–13–15–17–20 → M = (10+13)÷2 = 11,5

C. Quartiles et étendue

Q₁ : 25 % des valeurs sont ≤ Q₁ (1^er quartile)

Q₃ : 75 % des valeurs sont ≤ Q₃ (3^e quartile)

Étendue = max − min

Écart interquartile = Q₃ − Q₁

Exemple — 12 valeurs : 3 5 7 8 9 10 11 13 14 16 18 20

M = 10+112 = 10,5 | Q₁ = 7+82 = 7,5 | Q₃ = 14+162 = 15 | Étendue = 17

Moyenne — quand l'utiliser ?

Idéale pour une série régulière, sans valeurs aberrantes.

Médiane — quand l'utiliser ?

Préférable quand des valeurs extrêmes faussent la moyenne (ex : salaires).

III. Représentations graphiques

📊 Diagramme en barres

Pour caractère qualitatif ou discret.
Hauteur = effectif ou fréquence.
Les barres sont séparées les unes des autres.

🥧 Diagramme circulaire

Angle = fréquence × 360°

Somme des angles = 360°.
Chaque secteur est proportionnel à la fréquence.

📦 Boîte à moustaches — 5 valeurs clés

Min ──[══ Q₁ ══|══ Médiane ══|══ Q₃ ══]── Max

La boîte contient les 50 % centraux des données.
Les moustaches s'étendent jusqu'aux valeurs extrêmes (min et max).

IV. Séries groupées en classes

Définitions

Classe [a ; b[ : intervalle de valeurs (a inclus, b exclu)

Centre de classe : (a + b) ÷ 2

Moyenne estimée : x̄ = Σ(centre × effectif) ÷ N

📋 Exemple — Tailles de 30 élèves (en cm)

Classe	Centre	Effectif n_i	Centre × n_i
[145 ; 155[	150	4	600
[155 ; 160[	157,5	8	1 260
[160 ; 165[	162,5	10	1 625
[165 ; 170[	167,5	6	1 005
[170 ; 180[	175	2	350
Total	—	30	4 840

x̄ = 4 840 ÷ 30 ≈ 161,3 cm

📌 À RETENIR — Formules essentielles

x̄ = Σ(x_i × n_i) ÷ N

Médiane : rang N+12

Étendue = max − min

Écart interquartile = Q₃ − Q₁

Angle secteur = f × 360°

Centre classe = (a + b) ÷ 2

★ Exercice 1 — Fondamental

Activité physique

Durées hebdomadaires d'activité physique (en h) de 15 élèves :

2 — 3 — 3 — 4 — 4 — 4 — 5 — 5 — 5 — 6 — 6 — 7 — 8 — 9 — 12

Calculer la durée moyenne.

Déterminer la médiane.

Calculer Q₁, Q₃ et l'écart interquartile.

La valeur 12 h semble-t-elle aberrante ? Quel indicateur en est le moins affecté ? Justifier.

★★ Exercice 2 — Intermédiaire

Notes de contrôle

Tableau des notes d'une classe de 4ème :

Note	8	9	10	11	12	13	14	15	16	18
Effectif	2	3	5	4	5	3	4	2	1	1

Quel est l'effectif total N ?

Calculer la note moyenne (poser le détail).

Construire la colonne « Effectifs cumulés croissants » et déduire la médiane.

Calculer Q₁ et Q₃.

« Plus de la moitié de la classe a eu ≥ 12. » Vrai ou faux ? Justifier avec les effectifs cumulés.

★★ Exercice 3 — Intermédiaire

Diagramme circulaire

Mode de transport de 60 élèves :

Transport	À pied	Vélo	Bus	Voiture	Autre
Effectif	18	9	21	10	2

Calculer la fréquence (%) et l'angle (°) de chaque mode de transport.

Transport	À pied	Vélo	Bus	Voiture	Autre
Fréquence (%)
Angle (°)

Construire le diagramme circulaire dans le cadre ci-dessous (au compas et rapporteur).

Construire le diagramme ici

Quel transport est le plus fréquent ? Représente-t-il plus du tiers des élèves ?

★★★ Exercice 4 — Approfondissement

Séries groupées en classes

Masses (en kg) de 40 élèves regroupées en classes :

Classe	[35 ; 45[	[45 ; 50[	[50 ; 55[	[55 ; 60[	[60 ; 75[
Effectif	4	10	14	8	4

Calculer l'amplitude et le centre de chaque classe.

Estimer la masse moyenne des 40 élèves (poser le tableau de calcul).

Dresser les effectifs cumulés croissants. Dans quelle classe se situe la médiane ?

Plus de 60 % des élèves pèsent-ils entre 45 et 60 kg ? Justifier par le calcul.

Exercice 1 — Activité physique

★ Fondamental

→ Moyenne : somme des 15 durées = 2+3+3+4+4+4+5+5+5+6+6+7+8+9+12 = 83 ; moyenne = 83 ÷ 15 ≈ 5,53 h
→ Série déjà ordonnée (15 valeurs, nombre impair) : la médiane est la 8^e valeur → médiane = 5 h
→ Q₁ = médiane des 7 premières valeurs (2, 3, 3, 4, 4, 4, 5) = 4^e valeur = Q₁ = 4
→ Q₃ = médiane des 7 dernières valeurs (5, 6, 6, 7, 8, 9, 12) = 4^e valeur = Q₃ = 7 ; écart interquartile = Q₃ − Q₁ = 7 − 4 = 3
→ Seuil usuel de valeur aberrante : Q₃ + 1,5 × écart interquartile = 7 + 1,5×3 = 11,5. Comme 12 > 11,5, la valeur 12 h est bien une valeur aberrante.
→ La médiane (ainsi que les quartiles) ne dépend que du rang des valeurs et n'est presque pas modifiée si on retire 12 ; la moyenne, elle, est tirée vers le haut par cette valeur extrême. La médiane est donc l'indicateur le moins affecté.

Exercice 2 — Notes de contrôle

★★ Intermédiaire

→ Effectif total N = 2+3+5+4+5+3+4+2+1+1 = N = 30
→ Somme des notes pondérées = 8×2+9×3+10×5+11×4+12×5+13×3+14×4+15×2+16×1+18×1 = 16+27+50+44+60+39+56+30+16+18 = 356 ; moyenne = 356 ÷ 30 ≈ 11,87
→ Effectifs cumulés croissants : 2, 5, 10, 14, 19, 22, 26, 28, 29, 30 (pour les notes 8 à 18). N = 30 est pair : la médiane est la moyenne des 15^e et 16^e valeurs ; les deux tombent dans la classe cumulée qui atteint 19 (note 12) → médiane = 12
→ Q₁ : 1^er quart = N/4 = 7,5 → 1^re valeur dont l'effectif cumulé atteint 7,5 : effectif cumulé 10 à la note 10 → Q₁ = 10. Q₃ : 3N/4 = 22,5 → 1^re valeur dont l'effectif cumulé atteint 22,5 : effectif cumulé 26 à la note 14 → Q₃ = 14
→ Élèves ayant une note ≤ 11 : effectif cumulé = 14. Élèves ayant une note ≥ 12 : 30 − 14 = 16, soit 1630 ≈ 53,3 % > 50 %. L'affirmation est donc VRAIE (16 élèves sur 30 ont eu au moins 12).

Exercice 3 — Diagramme circulaire

★★ Intermédiaire

→ Fréquence = effectif ÷ 60 × 100 ; Angle = effectif ÷ 60 × 360°

Transport	À pied	Vélo	Bus	Voiture	Autre
Fréquence (%)	30 %	15 %	35 %	≈16,7 %	≈3,3 %
Angle (°)	108°	54°	126°	60°	12°

→ Vérification : 30+15+35+16,7+3,3 = 100 % et 108+54+126+60+12 = 360° ✓
→ Le transport le plus fréquent est le bus (21 élèves, 35 %). Un tiers représente environ 33,3 % ; comme 35 % > 33,3 %, le bus représente plus du tiers des élèves.

Exercice 4 — Séries groupées en classes

★★★ Approfondissement

→ Amplitudes (b−a) et centres ((a+b)÷2) :

Classe	[35;45[	[45;50[	[50;55[	[55;60[	[60;75[
Amplitude	10	5	5	5	15
Centre	40	47,5	52,5	57,5	67,5

→ Moyenne estimée = Σ(centre×effectif) ÷ N = (40×4 + 47,5×10 + 52,5×14 + 57,5×8 + 67,5×4) ÷ 40 = (160+475+735+460+270) ÷ 40 = 2 100 ÷ 40 = 52,5 kg
→ Effectifs cumulés croissants : 4, 14, 28, 36, 40 (bornes 45, 50, 55, 60, 75). N = 40 pair, la médiane (entre les 20^e et 21^e valeurs) se situe dans la classe où l'effectif cumulé passe de 14 à 28 → médiane dans la classe [50 ; 55[
→ Élèves entre 45 et 60 kg : 10+14+8 = 32 sur 40, soit 3240 = 80 % > 60 %. Réponse : oui, 80 % des élèves pèsent entre 45 et 60 kg, ce qui dépasse largement 60 %.

Statistiques — Suite du cours

Exercices d'application

Exercices d'application — suite

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