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COLLÈGE — 5ÈME
Fiche N° 05 Chapitre 5 — Symétrie centrale
Centre, propriétés, construction

Chapitre 5 — Symétrie centrale

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Collège
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Définition — symétrique d'un point ★ 3 pts
O est le centre de symétrie. Trouver le symétrique A' de A par rapport à O.
  1. O est le milieu de [AA']. A(2,3) → A' = ?
  2. O(1,2), A(4,5). Trouver A'.
(Rappel : O milieu de [AA'] → xA' = 2xO − xA)
Réponse  
Ex.2 Construire un symétrique ★ 4 pts
Construire sur papier quadrillé le symétrique de la figure ABCD par rapport au point O.
A(1,4), B(3,4), C(3,2), D(1,2), O(0,0).
Donner les coordonnées des points symétriques.
Réponse  
Ex.3 Propriétés — longueurs ★ 3 pts
La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles.
  1. Si AB = 5 cm, quelle est la longueur de A'B' ?
  2. Si l'angle ABC = 40°, quel est l'angle A'B'C' ?
  3. Que dire des droites (AB) et (A'B') ?
Réponse  
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Symétrie centrale
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Centre de symétrie d'une figure ★ 4 pts
Parmi les figures suivantes, indiquer si elles admettent un centre de symétrie et le localiser si possible :
  1. Un carré
  2. Un rectangle
  3. Un triangle équilatéral
  4. Un cercle
Réponse  
Ex.5 Coordonnées du symétrique ★★ 4 pts
Calculer les coordonnées du point symétrique de chaque point par rapport à O(2, −1).
a) A(5, 3)
b) B(−1, 4)
c) C(2, −1)
d) D(0, 0)
Réponse
Ex.6 Problème — milieu ★★ 4 pts
On sait que O(3, 2) est le symétrique de A(5, −1) par rapport à un point M.
  1. Calculer les coordonnées de M.
  2. Vérifier que M est bien le milieu de [AO].
Réponse  
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Symétrie centrale
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Figure complète par symétrie ★★ 5 pts
Le triangle ABC a pour sommets A(1,2), B(4,2), C(4,5). On fait une symétrie de centre O(0,0).
  1. Calculer A', B', C'.
  2. Quelle est la nature du quadrilatère ABA'B' ? (Indice : que peux-tu dire des diagonales [AA'] et [BB'] ?)
  3. Construire la figure sur un repère et mesurer son périmètre à la règle.
Réponse  
Ex.8 Symétrie centrale et parallèles ★★ 3 pts
Si M' est le symétrique de M par rapport à O, et N' est le symétrique de N par rapport à O :
  1. Que dire des droites (MN) et (M'N') ?
  2. Que dire des longueurs MN et M'N' ?
Réponse  
Ex.9 Point central d'un polygone ★★★ 5 pts
ABCD est un parallélogramme de centre O.
  1. Montrer que O est le milieu de [AC] et de [BD].
  2. Si A(0,1), B(4,1), C(5,4), trouver D et O.
Réponse  
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Symétrie centrale
Fiche N° 05
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Construction — rosace ★★★ 4 pts
On part d'un L dessiné sur papier quadrillé et on fait des symétries successives de centres O₁ et O₂ pour créer un motif répété. Décrire la construction et ses propriétés.
Réponse  
Ex.11 Angles et symétrie ★★★ 4 pts
Dans un quadrilatère ABCD, les diagonales AC et BD se coupent en O. Si ABCD admet O comme centre de symétrie :
  1. Que peut-on dire de OA et OC ? OB et OD ?
  2. Quelle est la nature de ABCD ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Transformation ★★★ 5 pts
On compose deux symétries centrales successives : d'abord par rapport à O₁(1,0), puis par rapport à O₂(4,0).
  1. Quel est l'image de A(0,2) par la symétrie de centre O₁ ?
  2. Puis par la symétrie de centre O₂ ?
  3. Quelle transformation unique envoie A sur son image finale ?
Réponse  
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✦ CORRIGÉ Ch5 — Symétrie centrale
✦ Corrigé — Ch5 — Symétrie centrale
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Définition — symétrique d'un point ★
xA'=2xO−xA, yA'=2yO−yA
→ Si O est l'origine (0;0) : A(2;3) → A' = (−2;−3) (opposé des coordonnées)
= O(1;2), A(4;5) : A' = (2×1−4 ; 2×2−5) = (−2 ; −1)
Ex.2 Construire un symétrique ★
Opposé des coordonnées si O=origine
→ Symétrique par rapport à O(0;0) : on prend l'opposé de chaque coordonnée
= A'(−1;−4), B'(−3;−4), C'(−3;−2), D'(−1;−2)
Ex.3 Propriétés — longueurs ★
Longueurs et angles
→ A'B' = AB = 5 cm (la symétrie centrale conserve les longueurs)
→ Angle A'B'C' = angle ABC = 40° (conservation des angles)
= Les droites (AB) et (A'B') sont parallèles
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Centre de symétrie d'une figure ★★
Intersection des diagonales
→ Carré : centre de symétrie = intersection des diagonales
→ Rectangle : centre de symétrie = intersection des diagonales
= Triangle équilatéral : PAS de centre de symétrie · Cercle : centre de symétrie = son centre
Ex.5 Coordonnées du symétrique ★★
xA'=2xO−xA
→ a) A(5;3) → A'=(2×2−5;2×(−1)−3)=(−1;−5)
→ b) B(−1;4) → B'=(2×2−(−1);2×(−1)−4)=(5;−6)
= c) C(2;−1)=O → C'=C=(2;−1) (point invariant) · d) D(0;0) → D'=(4;−2)
Ex.6 Problème — milieu ★★
M est le milieu de [AO]
→ M est le milieu de [AO] : M=(5+32 ; −1+22)
= M = (4 ; 0,5)
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✦ CORRIGÉ Ch5 — Symétrie centrale
✦ Corrigé — Ch5 — Symétrie centrale
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Figure complète par symétrie ★★
→ A'=(−1,−2), B'=(−4,−2), C'=(−4,−5) (symétrie de centre O : (x,y)→(−x,−y))
→ Les diagonales de ABA'B' sont [AA'] et [BB'] ; O est le milieu de chacune (A' est le symétrique de A, B' le symétrique de B) → les diagonales se coupent en leur milieu commun
= ABA'B' est un parallélogramme ; AB=A'B'=3 cm, et en mesurant à la règle : BA'≈6,4 cm et B'A≈6,4 cm → périmètre ≈ 3+6,4+3+6,4 ≈ 18,8 cm
Ex.8 Symétrie centrale et parallèles ★★
→ La symétrie centrale conserve les directions : (MN) et (M'N') sont parallèles
= Elle conserve aussi les longueurs : MN = M'N'
Ex.9 Point central d'un polygone ★★★
→ Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun : c'est la propriété qui définit O comme milieu de [AC] et [BD]
= AB=(4,0) donc D=C−AB=(5,4)−(4,0)=(1,4) ; O = milieu de [AC] = (2,5 ; 2,5)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Construction — rosace ★★★
→ On applique la symétrie de centre O₁ au L pour obtenir une 2ᵉ copie, puis celle de centre O₂ pour une 3ᵉ
= Chaque symétrie centrale conserve formes et longueurs (isométrie) : toutes les copies sont superposables à l'original, ce qui permet de paver le plan
Ex.11 Angles et symétrie ★★★
→ O centre de symétrie de ABCD → O milieu de [AC] : OA=OC
→ De même O milieu de [BD] : OB=OD
= Les diagonales se coupent en leur milieu : ABCD est un parallélogramme
Ex.12 ★ Défi — Transformation ★★★
→ Image de A(0,2) par symétrie centre O₁(1,0) : A₁=(2×1−0, 2×0−2)=(2,−2)
→ Image de A₁ par symétrie centre O₂(4,0) : A₂=(2×4−2, 2×0−(−2))=(6,2)
= La composition de 2 symétries centrales est une translation, de vecteur 2×(O₂−O₁)=(6,0) — on vérifie : A+(6,0)=(6,2)=A₂ ✓
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