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COLLÈGE — 6ÈME
Fiche N° 11 Chapitre 11 — Distances et cercles
Milieu, médiatrice, cercle, constructions

Chapitre 11 — Distances et cercles

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Collège
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Distance entre deux points ★ 4 pts
Dans un repère quadrillé, calculer la distance entre :
  1. A(0,0) et B(5,0)
  2. C(1,2) et D(1,6)
  3. E(−2,3) et F(3,3)
Réponse  
Ex.2 Milieu d'un segment ★ 4 pts
Calculer les coordonnées du milieu de chaque segment.
  1. [AB] avec A(2,6) et B(8,2)
  2. [CD] avec C(−1,4) et D(5,0)
  3. [EF] avec E(3,−1) et F(3,7)
Réponse  
Ex.3 Vocabulaire du cercle ★ 3 pts
Définir et représenter dans un dessin :
  1. Le centre, le rayon et le diamètre
  2. La corde, l'arc et le secteur
  3. La relation D = 2r
Réponse  
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Fiche N° 11 Chapitre 11 — Distances et cercles
Fiche N° 11
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Construire des cercles ★ 4 pts
Construire au compas :
  1. Un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
  2. Un cercle passant par A, de centre B(3cm de A).
  3. Deux cercles concentriques de rayons 2 cm et 5 cm.
Réponse  
Ex.5 Médiatrice d'un segment ★★ 4 pts
Construire la médiatrice de [AB] avec A(1,2) et B(7,2) à la règle et au compas.
  1. Trouver le milieu M de [AB].
  2. Tracer la médiatrice (perpendiculaire en M).
  3. Vérifier qu'un point P de la médiatrice est équidistant de A et B.
Réponse  
Ex.6 Propriété de la médiatrice ★★ 4 pts
M est sur la médiatrice de [AB] ⟺ MA = MB
  1. M est un point tel que MA = 7 cm et MB = 7 cm. M est-il sur la médiatrice de [AB] ? Justifie.
  2. N est un point tel que NA = 5 cm et NB = 6 cm. N est-il sur la médiatrice de [AB] ? Justifie.
Réponse  
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Fiche N° 11 Chapitre 11 — Distances et cercles
Fiche N° 11
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Cercle et distance ★★ 4 pts
Un cercle a pour centre O(2,3) et rayon 5 cm. Les points suivants appartiennent-ils au cercle, à l'intérieur ou à l'extérieur ?
  1. A(7,3)
  2. B(2,8)
  3. C(4,3)
Réponse  
Ex.8 Cercle circonscrit ★★ 4 pts
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est l'intersection des médiatrices des côtés.
  1. Construire le triangle A(0,0), B(6,0), C(3,4).
  2. Construire les médiatrices de [AB] et [BC].
  3. Repérer le centre O et mesurer son rayon.
Réponse  
Ex.9 Problème — gardien de but ★★★ 4 pts
Un terrain de foot a un arc de cercle de rayon 16,5 m devant le but. Le but mesure 7,32 m de large.
  1. Calculer la longueur de l'arc (demi-cercle).
  2. Calculer l'aire de la surface de réparation.
Réponse  
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Fiche N° 11 Chapitre 11 — Distances et cercles
Fiche N° 11
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Construire avec compas ★★★ 4 pts
Construire à la règle et au compas (sans rapporteur) :
  1. Un angle de 60° (en utilisant un triangle équilatéral).
  2. Un angle de 30° (en bisséquant l'angle de 60°).
Réponse  
Ex.11 Lieux géométriques ★★★ 4 pts
  1. Décrire l'ensemble des points équidistants de A et B (= ?)
  2. Décrire l'ensemble des points à distance r d'un point O (= ?)
  3. Quelle est l'intersection d'un cercle et de sa médiatrice d'une corde ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Tangente ★★★ 5 pts
Une droite est tangente à un cercle si elle touche le cercle en exactement un point et est perpendiculaire au rayon en ce point.
  1. Cercle de centre O(0,0) et rayon 5. Le point T(5,0) est-il sur le cercle ?
  2. Quelle est la direction du rayon [OT] ?
  3. Construire la tangente au cercle en T.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Distance entre deux points ★
Sur un repère quadrillé
→ AB : A et B sont sur la même ligne horizontale (y=0) ; de x=0 à x=5, on compte 5 carreaux → AB=5
→ CD : C et D sont sur la même colonne verticale (x=1) ; de y=2 à y=6, on compte 4 carreaux → CD=4
= EF : E et F sont sur la même ligne horizontale (y=3) ; de x=−2 à x=3, on compte 5 carreaux → EF=5
Ex.2 Milieu d'un segment ★
Moyenne des coordonnées
→ Milieu de [AB] = (2+82 ; 6+22) = (5 ; 4)
→ Milieu de [CD] = (−1+52 ; 4+02) = (2 ; 2)
= Milieu de [EF] = (3+32 ; −1+72) = (3 ; 3)
Ex.3 Vocabulaire du cercle ★
Centre, rayon, diamètre, corde, arc
→ Centre, rayon, diamètre : le centre est équidistant de tous les points ; le rayon relie le centre à un point du cercle ; le diamètre est une corde passant par le centre
= Corde = segment reliant deux points du cercle ; Arc = portion du cercle ; Secteur = portion du disque ; relation D=2r
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Construire des cercles ★★
Au compas
→ Cercle de centre O, rayon 3 cm : pointe du compas en O, écartement 3 cm
= Cercles concentriques : même centre, écartements 2 cm et 5 cm
Ex.5 Médiatrice d'un segment ★★
Perpendiculaire au milieu
→ Milieu M de [AB] = (1+72 ; 2+22) = (4 ; 2)
= Médiatrice : droite verticale x=4 passant par M, perpendiculaire à [AB] — tout point P dessus vérifie PA=PB
Ex.6 Propriété de la médiatrice ★★
M sur la médiatrice ⟺ MA=MB
→ M : MA=7cm=MB=7cm → MA=MB → M EST sur la médiatrice de [AB]
= N : NA=5cm≠NB=6cm → N N'EST PAS sur la médiatrice de [AB]
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Cercle et distance ★★
→ A(7,3) : A est sur la même ligne horizontale que O, à 5 carreaux à droite → OA=5=rayon → A est SUR le cercle
→ B(2,8) : B est sur la même colonne verticale que O, à 5 carreaux au-dessus → OB=5=rayon → B est SUR le cercle
= C(4,3) : C est sur la même ligne horizontale que O, à 2 carreaux à droite → OC=2 < 5 → C est à l'INTÉRIEUR du cercle
Ex.8 Cercle circonscrit ★★
→ Médiatrice de [AB] (A(0,0),B(6,0)) : la droite verticale x=3
→ Médiatrice de [BC] passe par le milieu de [BC], perpendiculaire à BC
= Le centre O est le point d'intersection des deux médiatrices ; en mesurant avec la règle la distance de O à A, B ou C, on trouve un rayon d'environ 3,1 cm
Ex.9 Problème — gardien de but ★★★
→ Longueur de l'arc (demi-cercle) = π×16,5 ≈ 3,14×16,5 ≈ 51,81 m
= Aire de la surface (demi-disque) = π×16,5²÷2 ≈ 3,14×272,25÷2 ≈ 427,43 m²
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Construire avec compas ★★★
→ Construire un triangle équilatéral (2 arcs de même rayon) : chaque angle vaut 60°
= Bissectrice de cet angle (2 arcs égaux depuis les côtés, joindre les intersections) : on obtient 30°
Ex.11 Lieux géométriques ★★★
→ Points équidistants de A et B : la médiatrice du segment [AB]
→ Points à distance r d'un point O : le cercle de centre O et de rayon r
= La médiatrice d'une corde passe toujours par le centre du cercle : elle coupe le cercle aux 2 extrémités du diamètre perpendiculaire à la corde
Ex.12 ★ Défi — Tangente ★★★
→ T(5,0) est sur l'axe horizontal, à 5 carreaux de O → OT=5=rayon → T est bien sur le cercle
= Le rayon [OT] est horizontal ; la tangente en T est donc une droite verticale passant par T (perpendiculaire à [OT])
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