Fiche N° 01Chapitre 1 — Nombres complexes : algèbre
Ensemble ℂ, conjugué, binôme

★

Écrire sous forme a+ib.

1. (3+2i)+(1−5i)
2. (2+i)(3−2i)
3. (1+i)²

Pour z = (2+3i)(1−i), calculer Re(z) et Im(z) sans développer en fraction.

z=3+4i. Calculer z̄, |z|² et z×z̄.

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Fiche N° 01

★★

Calculer sous forme a+ib en multipliant par le conjugué.

1. 1+i2−i
2. 3+2i1+i

Calculer |z| pour :

1. z = 3+4i
2. z = 2+i1−2i
3. z = (1+i)³

Résoudre dans ℂ.

1. z²+4=0
2. z²+2z+5=0
3. z̄=2z+1 (trouver Re et Im)

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★★

Trouver les racines carrées de z = 3+4i.

1. Poser √z = a+ib.
2. Écrire les équations sur a et b.
3. Résoudre : a²−b²=3 et 2ab=4.

Montrer que pour tout z∈ℂ :

1. z+z̄ = 2Re(z) (réel)
2. z−z̄ = 2i·Im(z) (imaginaire pur)
3. Si z+z̄=0 alors z est imaginaire pur.

Simplifier et écrire sous forme a+ib.

1. (1+i)⁸ [utiliser (1+i)²=2i]
2. i²⁰²⁵
3. (√3+i)⁴

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★★★

P(z)=z³−3z²+4z−2. On sait que z₁=1+i est racine.

1. Vérifier (calculer P(1+i)).
2. Donner l'autre racine complexe.
3. Factoriser P(z) dans ℂ puis dans ℝ.

Résoudre z⁴+8z²+25=0 dans ℂ.

1. Poser Z=z².
2. Résoudre Z²+8Z+25=0.
3. Trouver les 4 racines de l'équation.

Soit P(z)=z⁴+4. Montrer que P(z) se factorise en deux trinômes à coefficients réels en utilisant les racines complexes de −4.

1. Trouver les racines de z⁴=−4.
2. Regrouper les racines conjuguées.
3. Écrire P(z)=(z²+az+b)(z²+cz+d).

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