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Fiche N° 01Chapitre 1 — Nombres complexes : algèbre
Ensemble ℂ, conjugué, binôme
Chapitre 1 — Nombres complexes : algèbre
12 EXERCICES
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3Ex.1Forme algébrique★4 pts
Écrire sous forme a+ib.
- (3+2i)+(1−5i)
- (2+i)(3−2i)
- (1+i)²
Réponse
Ex.2Partie réelle et imaginaire★3 pts
Pour z = (2+3i)(1−i), calculer Re(z) et Im(z) sans développer en fraction.
Réponse
Ex.3Conjugué — propriétés★4 pts
z̄+z'=z+z' · z̄×z'=z×z' · |z|²=z×z̄
z=3+4i. Calculer z̄, |z|² et z×z̄.
Réponse
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Fiche N° 01Chapitre 1 — Nombres complexes : algèbre
Fiche N° 01
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6Ex.4Division dans ℂ★4 pts
Calculer sous forme a+ib en multipliant par le conjugué.
- 1+i2−i
- 3+2i1+i
Réponse
Ex.5Module★★4 pts
|z| = √a²+b² · |z×z'|=|z|×|z'| · |zz'|=|z|/|z'|
Calculer |z| pour :
- z = 3+4i
- z = 2+i1−2i
- z = (1+i)³
Réponse
Ex.6Équations dans ℂ★★4 pts
Résoudre dans ℂ.
- z²+4=0
- z²+2z+5=0
- z̄=2z+1 (trouver Re et Im)
Réponse
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Fiche N° 01Chapitre 1 — Nombres complexes : algèbre
Fiche N° 01
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9Ex.7Racines carrées dans ℂ★★4 pts
Trouver les racines carrées de z = 3+4i.
- Poser √z = a+ib.
- Écrire les équations sur a et b.
- Résoudre : a²−b²=3 et 2ab=4.
Réponse
Ex.8Propriétés algébriques★★4 pts
Montrer que pour tout z∈ℂ :
- z+z̄ = 2Re(z) (réel)
- z−z̄ = 2i·Im(z) (imaginaire pur)
- Si z+z̄=0 alors z est imaginaire pur.
Réponse
Ex.9Forme algébrique — expression★★★4 pts
Simplifier et écrire sous forme a+ib.
- (1+i)8 [utiliser (1+i)²=2i]
- i2025
- (√3+i)4
Réponse
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Fiche N° 01Chapitre 1 — Nombres complexes : algèbre
Fiche N° 01
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12Ex.10Polynôme à coefficients réels★★★4 pts
P(z)=z³−3z²+4z−2. On sait que z₁=1+i est racine.
- Vérifier (calculer P(1+i)).
- Donner l'autre racine complexe.
- Factoriser P(z) dans ℂ puis dans ℝ.
Réponse
Ex.11Équation biquadratique★★★4 pts
Résoudre z⁴+8z²+25=0 dans ℂ.
- Poser Z=z².
- Résoudre Z²+8Z+25=0.
- Trouver les 4 racines de l'équation.
Réponse
Ex.12★ Défi BAC Expertes★★★5 pts
Soit P(z)=z⁴+4. Montrer que P(z) se factorise en deux trinômes à coefficients réels en utilisant les racines complexes de −4.
- Trouver les racines de z⁴=−4.
- Regrouper les racines conjuguées.
- Écrire P(z)=(z²+az+b)(z²+cz+d).
Réponse
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✦ CORRIGÉ
Ch1 — Nombres complexes : algèbre
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile
Ex. 1 à 3
Ex.1
Forme algébrique
★
Écrire sous forme a+ib
→ (3+2i)+(1−5i) = 4−3i
→ (2+i)(3−2i) = 6−4i+3i−2i² = 6−i+2 = 8−i
→ (1+i)² = 1+2i+i² = 2i
= 4−3i · 8−i · 2i
Ex.2
Partie réelle et imaginaire
★
z=(2+3i)(1−i)
→ z = 2−2i+3i−3i² = 2+i+3 = 5+i
= Re(z)=5, Im(z)=1
Ex.3
Conjugué — propriétés
★
z=3+4i
→ z̄ = 3−4i
→ |z|² = 3²+4² = 25
→ z×z̄ = |z|² = 25
= z̄=3−4i · |z|²=25 · z×z̄=25
★★
Niveau 2 — Intermédiaire
Ex. 4 à 6
Ex.4
Division dans ℂ
★★
Multiplier par le conjugué
→ 1) 1+i2−i = (1+i)(2+i)5 = 1+3i5 = 15+35i
→ 2) 3+2i1+i = (3+2i)(1−i)2 = 5−i2 = 52−12i
= 15+3i/5 · 52−i2
Ex.5
Module
★★
|z|=√(a²+b²)
→ 1) |3+4i| = √(9+16) = 5
→ 2) z=2+i1−2i : |z|=√5√5 = 1
→ 3) |(1+i)³| = |1+i|³ = (√2)³ = 2√2
= 5 · 1 · 2√2
Ex.6
Équations dans ℂ
★★
Résoudre dans ℂ
→ 1) z²+4=0 → z²=−4 → z=±2i
→ 2) z²+2z+5=0 : Δ=4−20=−16 → z=−2±4i2 = −1±2i
→ 3) z̄=2z+1 : poser z=x+iy → x−iy=(2x+1)+2iy → x=2x+1 et −y=2y → x=−1, y=0 → z=−1
= z=±2i · z=−1±2i · z=−1
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite)
Ex. 7 à 9
Ex.7
Racines carrées dans ℂ
★★
→ (a+ib)²=a²−b²+2abi=3+4i, donc a²−b²=3 et 2ab=4 (ab=2)
→ b=2a ⟹ a²−4/a²=3 ⟹ a⁴−3a²−4=0. Avec X=a² : X²−3X−4=0 ⟹ (X−4)(X+1)=0 ⟹ X=4 (X=−1 rejeté)
→ a=±2, donc b=±1 (même signe que a pour respecter ab=2) : a=2,b=1 ou a=−2,b=−1
= Les racines carrées de 3+4i sont 2+i et −2−i (vérification : (2+i)²=3+4i)
Ex.8
Propriétés algébriques
★★
→ z=x+iy ⟹ z̄=x−iy. z+z̄ = (x+iy)+(x−iy) = 2x = 2Re(z), un nombre réel
→ z−z̄ = (x+iy)−(x−iy) = 2iy = 2i·Im(z), un imaginaire pur
→ Si z+z̄=0, alors 2Re(z)=0, donc Re(z)=0 : z=iy est bien imaginaire pur
= Les trois propriétés sont démontrées directement à partir de z=x+iy
Ex.9
Forme algébrique — expression
★★★
→ (1+i)⁸ = [(1+i)²]⁴ = (2i)⁴ = 16×i⁴ = 16×1
→ 2025 = 4×506+1, donc i2025 = i¹ = i
→ √3+i a pour module 2 et argument π6 : (√3+i)⁴ = 2⁴(cos(4π/6)+isin(4π/6)) = 16(cos(2π/3)+isin(2π/3)) = 16(−12+i√32)
= (1+i)⁸ = 16 ; i2025 = i ; (√3+i)⁴ = −8+8i√3
★★★
Niveau 3 — Difficile
Ex. 10 à 12
Ex.10
Polynôme à coefficients réels
★★★
→ (1+i)³=−2+2i ; P(1+i)=(−2+2i)−3(2i)+4(1+i)−2 = −2+2i−6i+4+4i−2 = 0 : z₁=1+i est bien racine
→ Les coefficients de P sont réels, donc z̄₁=1−i est aussi racine
→ Somme des racines = 3 (opposé du coefficient de z²) : (1+i)+(1−i)+z₃=3 ⟹ z₃=1
= Dans ℂ : P(z)=(z−1)(z−(1+i))(z−(1−i)) ; dans ℝ : P(z)=(z−1)(z²−2z+2)
Ex.11
Équation biquadratique
★★★
→ Z²+8Z+25=0 : Δ=64−100=−36=(6i)² ⟹ Z=−8±6i2 = −4±3i
→ Racines carrées de −4+3i : en posant z=a+ib, a²−b²=−4 et 2ab=3, on trouve a=±√22, b=±3√22
→ Les racines carrées de −4−3i sont les conjuguées de celles de −4+3i
= Les 4 racines sont z = ±(√22)(1+3i) et z = ±(√22)(1−3i)
Ex.12
★ Défi BAC Expertes
★★★
→ −4 = 4(cos π+i sin π) : les racines 4ᵉ sont z_k=√2(cos(π+2kπ4)+isin(π+2kπ4)) pour k=0,1,2,3, soit z=1+i, −1+i, −1−i, 1−i
→ Regroupement par paires conjuguées : (1+i,1−i) et (−1+i,−1−i)
→ (z−(1+i))(z−(1−i)) = (z−1)²+1 = z²−2z+2 ; (z−(−1+i))(z−(−1−i)) = (z+1)²+1 = z²+2z+2
= P(z) = z⁴+4 = (z²−2z+2)(z²+2z+2) (on vérifie : (z²+2)²−(2z)² = z⁴+4 ✓)
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