Chapitre 2 — Nombres complexes : géométrie

M

Module de chaque nombre

→ z₁=3+4i : |z₁|=√(9+16)=5

→ z₂=−2+i : |z₂|=√(4+1)=√5

→ z₃=−5i : |z₃|=5

→ z₄=1+i√3 : |z₄|=√(1+3)=2

= 5 · √5 · 5 · 2

arg(z)=θ tel que z=|z|(cosθ+isinθ)

→ 1) z=1+i : module=√2, arg=π4

→ 2) z=−√3+i : module=2, arg=5π/6

→ 3) z=−2 : module=2, arg=π

→ 4) z=3i : module=3, arg=π2

= √2,π4 · 2,5π/6 · 2,π · 3,π2

Écrire sous forme r(cosθ+isinθ)

→ 1) z=2+2i√3 : module=4, arg=π3 → 4(cos(π3)+isin(π3))

→ 2) z=−1−i : module=√2, arg=5π/4 → √2(cos(5π/4)+isin(5π/4))

= 4(cos π3+isin π3) · √2(cos 5π/4+isin 5π/4)

arg(z×z')=arg(z)+arg(z')

→ 1) |z×z'|=2×3=6, arg(z×z')=π6+π4=5π/12

→ 2) |zz'|=23, arg(zz')=π6−π4=−π12

= 6, arg=5π/12 · 23, arg=−π12

zA=1+2i, zB=3+i, zC=2+3i

→ 1) zB−zA=2−i, |zB−zA|=√5

→ 2) zC−zAzB−zA = 1+i2−i = 1+3i5

→ 3) le rapport n'est ni réel ni imaginaire pur → triangle ABC quelconque (ni aligné, ni rectangle isocèle en A)

= 2−i, √5 · 1+3i5 · triangle quelconque

rotation : z ↦ z×e^iθ

→ 1) rotation π2 de z=2+i : image = i(2+i) = −1+2i

→ 2) rotation π de z=3+4i : image = −(3+4i) = −3−4i

= −1+2i · −3−4i

M

→ On cherche C tel que ABC soit équilatéral : rotation de centre A, angle ±π3 envoyant B sur C.

→ z_C − z_A = (z_B − z_A)·e^±iπ3, avec z_A=0, z_B=2 : z_C = 2·e^±iπ3 = 2(cos60° ± i sin60°).

= z_C = 1 + i√3 ou z_C = 1 − i√3 (deux triangles équilatéraux possibles, symétriques par rapport à (AB)).

→ ① |z−1|=|z+1| : points équidistants de 1 et −1 → médiatrice du segment [−1;1] = axe des imaginaires purs (Re(z)=0).

→ ② |z−2|=3 : cercle de centre le point d'affixe 2, de rayon 3.

→ ③ |z−i|=|z+i| : points équidistants de i et −i → médiatrice de [−i;i] = axe des réels (Im(z)=0).

= Droite Re(z)=0 ; cercle de centre 2 et rayon 3 ; droite Im(z)=0.

→ Milieu M de [AB] : z_M = z_A+z_B2 = 2+i+4+3i2 = 6+4i2 = 3+2i.

→ Barycentre (centre de gravité) G de ABC : z_G = z_A+z_B+z_C3 = 2+i+4+3i+5i3 = 6+9i3 = 2+3i.

→ Médiane issue de C : z_M − z_C = (3+2i)−5i = 3−3i, et z_G − z_C = (2+3i)−5i = 2−2i = (23)(3−3i). ✓

→ Médiane issue de A : milieu de [BC] = 4+3i+5i2 = 2+4i ; z_G−z_A = 2i = (23)(3i) = (23)((2+4i)−(2+i)). ✓

= M = 3+2i ; G = 2+3i ; G est situé aux 23 de chaque sommet (donc à 13 à partir du milieu du côté opposé), propriété classique du centre de gravité.

→ Similitude directe : z ↦ az+t avec a = k·e^iθ. Deux équations : a·1+t = 1+i et a·2+t = 2+2i.

→ Soustraction : a·(2−1) = (2+2i)−(1+i) = 1+i, donc a = 1+i.

→ t = (1+i) − a·1 = (1+i) − (1+i) = 0.

= Similitude : z ↦ (1+i)z ; rapport k = |1+i| = √2 ; angle θ = arg(1+i) = π4.

→ Racines cubiques de 1 : z_k = e^2ikπ/3 pour k=0,1,2.

→ z_0 = 1 ; z_1 = e^2iπ/3 = −12 + i√32 ; z_2 = e^4iπ/3 = −12 − i√32.

→ Dans le plan : trois points formant un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité, sommets espacés de 120°.

→ Somme : 1 + (−12+i√32) + (−12−i√32) = 1 − 1 + 0i = 0 (résultat classique : la somme des racines nièmes de l'unité est nulle dès que n≥2).

= z_0=1, z_1=−12+i√32, z_2=−12−i√32 ; somme = 0.

→ ① Somme géométrique de raison z≠1 : P = 1+z+...+zⁿ⁻¹ = zⁿ−1z−1.

→ ② Comme z est une racine nième de l'unité, zⁿ=1, donc P = 1−1z−1 = 0.

→ ③ z_0=1, z_1,...,z_{n−1} sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité ; P=0 signifie que l'isobarycentre (centre de gravité) de ces sommets est le centre O du cercle — cohérent avec la symétrie du polygone régulier.

= P = zⁿ−1z−1 = 0 ; interprétation : le centre de gravité des racines nièmes de l'unité est l'origine O.