Fiche N° 02Chapitre 2 — Nombres complexes : géométrie
Plan complexe, module, argument

★

Placer dans le plan complexe et calculer le module.

1. z₁=3+4i
2. z₂=−2+i
3. z₃=−5i
4. z₄=1+i√3

Donner le module et l'argument.

1. z=1+i
2. z=−√3+i
3. z=−2
4. z=3i

Écrire sous forme r(cos θ + i sin θ).

1. z=2+2i√3
2. z=−1−i

Fiche N° 02Chapitre 2 — Nombres complexes : géométrie
Fiche N° 02

★★

z=2(cos π6 + i sin π6) et z'=3(cos π4 + i sin π4).

1. Calculer |z×z'| et arg(z×z').
2. Calculer |z/z'| et arg(z/z').

z_A = 1+2i, z_B = 3+i, z_C = 2+3i.

1. Calculer z_B − z_A et |z_B − z_A|.
2. Calculer z_C − z_Az_B − z_A.
3. En déduire la nature du triangle ABC.

Une rotation de centre O et angle θ transforme z en z×e^iθ.

1. Rotation d'angle π2 de z=2+i. Image ?
2. Rotation d'angle π de z=3+4i. Image ?

Fiche N° 02Chapitre 2 — Nombres complexes : géométrie
Fiche N° 02

★★

A(zA), B(zB), C(zC). Le triangle est équilatéral si z_C − z_Az_B − z_A = e^±iπ3.
zA=0, zB=2. Trouver zC tel que ABC soit équilatéral.

Décrire le lieu des z∈ℂ vérifiant :

1. |z−1| = |z+1| (médiatrice)
2. |z−2| = 3 (cercle)
3. |z−i| = |z+i| (droite)

A(z_A=2+i), B(z_B=4+3i), C(z_C=0+5i).

1. Calculer l'affixe du milieu M de [AB].
2. Calculer l'affixe du barycentre G de ABC.
3. Vérifier que G est à 13 de chaque médiane.

Fiche N° 02Chapitre 2 — Nombres complexes : géométrie
Fiche N° 02

★★★

La similitude directe de rapport k et angle θ est z ↦ kz×e^iθ+t.

1. Trouver la similitude qui envoie z=1 sur 1+i et z=2 sur 2+2i.
2. Quel est son rapport ? Son angle ?

Les racines nièmes de 1 sont z_k = e^2ikπ/n pour k=0,...,n−1.

1. Calculer les racines cubiques de 1.
2. Les placer dans le plan.
3. Calculer leur somme.

Soit P = z + z² + z³ + ... + zⁿ⁻¹ pour z racine primitive nième de l'unité (z≠1).

1. Montrer que P = zⁿ − 1z−1.
2. En déduire que P = 0.
3. Interprétation géométrique : que représente la somme des affixes des racines ?

✦ Auto-évaluation

Mon score : _____ / 49 pts