Chapitre 3 — Complexes et trigonométrie

M

e^iθ=cosθ+isinθ

→ e^iπ = cos π+isin π = −1

→ e^iπ2 = cos(π2)+isin(π2) = i

→ e^iπ3 = cos(π3)+isin(π3) = 12+i√32 (formule d'Euler vérifiée dans chaque cas)

= −1 · i · 12+i√32

Écrire sous forme re^iθ

→ 1) z=1+i : r=√2, θ=π4 → √2e^iπ4

→ 2) z=−1−i√3 : r=2, θ=4π/3 → 2e^i4π3

→ 3) z=4i : r=4, θ=π2 → 4e^iπ2

= √2e^iπ4 · 2e^i4π3 · 4e^iπ2

Calculer et donner la forme algébrique

→ 1) (√2 e^iπ4)⁸ = (√2)⁸×e^i2π = 16×1 = 16

→ 2) (2e^iπ6)³ = 8×e^iπ2 = 8i

→ 3) (e^iπ3)¹² = e^i4π = 1

= 16 · 8i · 1

cosθ=(e^iθ+e^−iθ)2

→ cos²θ = 1+cos(2θ)2

→ sin²θ = 1−cos(2θ)2

= cos²θ=1+cos2θ2 · sin²θ=1−cos2θ2

e^i(a+b)=e^ia×e^ib

→ en développant (cos a+isin a)(cos b+isin b) et identifiant parties réelle/imaginaire :

→ cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b

→ sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b

= cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b · sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b

Linéariser

→ 1) cos³θ = 3cosθ+cos(3θ)4

→ 2) sin³θ = 3sinθ−sin(3θ)4

→ 3) cos²θ×sinθ = sinθ+sin(3θ)4

= 3cosθ+cos3θ4 · 3sinθ−sin3θ4 · sinθ+sin3θ4

M

→ Développer (cosθ+isinθ)³ = cos³θ + 3i cos²θ sinθ + 3i²cosθ sin²θ + i³sin³θ = (cos³θ − 3cosθ sin²θ) + i(3cos²θ sinθ − sin³θ).

→ Par identification avec cos(3θ)+i sin(3θ) : partie réelle = cos(3θ), partie imaginaire = sin(3θ).

→ En remplaçant sin²θ=1−cos²θ et cos²θ=1−sin²θ, on obtient des formules ne dépendant que de cosθ ou que de sinθ.

= cos(3θ) = 4cos³θ − 3cosθ ; sin(3θ) = 3sinθ − 4sin³θ.

→ ① e^2iθ=e^iπ3 ⟺ 2θ ≡ π3 (mod 2π) ⟺ θ ≡ π6 (mod π).

→ Dans [0;2π] : θ = π6 ou θ = π6+π = 7π/6.

→ ② e^iθ=e^−iπ4 ⟺ θ ≡ −π4 (mod 2π) ; en ramenant dans [0;2π] : θ = −π4+2π = 7π/4.

= ① S = {π6 ; 7π/6} ② S = {7π/4}.

→ Σ_{k=0}^{n−1} cos(kθ) = Re(Σ_{k=0}^{n−1} e^ikθ), somme géométrique de raison e^iθ≠1.

→ Formule classique (factorisation par l'angle moitié) : Σ_{k=0}^{n−1} cos(kθ) = [sin(nθ2)/sin(θ2)]·cos((n−1)θ2).

→ Pour n=4 : 1+cosθ+cos(2θ)+cos(3θ) = [sin2θsin(θ2)]·cos(3θ/2).

= Σ_{k=0}^{n−1} cos(kθ) = sin(nθ2)/sin(θ2) · cos((n−1)θ2) ; pour n=4 : sin2θsin(θ2) · cos(3θ/2).

→ On identifie R cos(θ+φ) = R cosφ·cosθ − R sinφ·sinθ avec cosθ+sinθ : R cosφ=1 et −R sinφ=1.

→ R = √(1²+1²) = √2 ; cosφ=1√2, sinφ=−1√2 ⟹ φ = −π4.

→ cosθ+sinθ = √2 cos(θ−π4). Équation : √2 cos(θ−π4)=1 ⟺ cos(θ−π4)=√22 ⟺ θ−π4=±π4 (mod 2π).

= cosθ+sinθ = √2 cos(θ−π4) ; solutions de cosθ+sinθ=1 : θ=0 ou θ=π2 (mod 2π).

→ ① p=π12, q=5π/12 : p+q2 = π4, p−q2 = −π6 ⟹ cos(π12)+cos(5π/12) = 2cos(π4)cos(−π6) = 2·(√22)·(√32) = √62.

→ ② p=3θ, q=θ : p+q2=2θ, p−q2=θ ⟹ cos(3θ)+cos(θ) = 2cos(2θ)cos(θ).

= cos(π12)+cos(5π/12) = √62 ; cos(3θ)+cos(θ) = 2cos(2θ)cos(θ).

→ S = Re(Σ_{k=0}^{n} z^k) avec z=e^iπn ; somme géométrique (z≠1 car πn≠0) : Σ = zⁿ⁺¹−1z−1.

→ Or zⁿ = e^iπ = −1, donc zⁿ⁺¹ = −z. La somme géométrique vaut −z−1z−1 = −z+1z−1.

→ En posant α=πn et en multipliant par le conjugué de (z−1), on trouve z+1z−1 = −i·sinα/(1−cosα), qui est un nombre purement imaginaire.

→ Sa partie réelle est donc nulle : Re[−z+1z−1] = 0.

= S = Σ_{k=0}^{n} cos(kπn) = 0 (vérifié aussi pour n=2 : 1+0−1=0, et n=3 : 1+0.5−0.5−1=0).