Fiche N° 03Chapitre 3 — Complexes et trigonométrie
Formule d'Euler, notation exponentielle

★

Calculer e^iπ, e^iπ2, e^iπ3. Vérifier la formule d'Euler pour chacun.

Écrire sous forme exponentielle re^iθ.

1. z=1+i
2. z=−1−i√3
3. z=4i

Calculer et donner la forme algébrique.

1. (√2 e^iπ4)⁸
2. (2e^iπ6)³
3. (e^iπ3)¹²

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Fiche N° 03

★★

Exprimer cos²θ et sin²θ en termes de cos(2θ).

Retrouver les formules en développant e^i(a+b) = e^ia×e^ib.

1. cos(a+b) = ?
2. sin(a+b) = ?

Linéariser (exprimer sans puissances de cos/sin).

1. cos³θ
2. sin³θ
3. cos²θ×sin θ

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★★

En utilisant (cosθ+isinθ)³=cos(3θ)+isin(3θ), développer le membre gauche et identifier parties réelle et imaginaire.

Résoudre dans [0;2π].

1. e^2iθ = e^iπ3
2. e^iθ = e^−iπ4

Calculer en utilisant la somme géométrique.

1. Σ cos(kθ) pour k=0 à n−1
2. 1 + cosθ + cos(2θ) + cos(3θ) [cas n=4]

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★★★

a cos θ + b sin θ = R cos(θ+φ).

1. Écrire cos θ + sin θ sous cette forme.
2. Résoudre cos θ + sin θ = 1.

Utiliser les formules : cos p + cos q = 2cos(p+q2)cos(p−q2).

1. Calculer cos(π/12)+cos(5π/12).
2. Factoriser cos(3θ)+cos(θ).

Calculer S = Σ cos(kπ/n) pour k=0 à n, en utilisant les parties réelles des puissances de e^iπ/n.

1. Identifier S comme partie réelle d'une somme géométrique.
2. Calculer la somme géométrique.
3. Extraire la partie réelle et simplifier.

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