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TERMINALE — MATHS EXPERTES
Fiche N° 04Chapitre 4 — Équations polynomiales dans ℂ
Racines, factorisation, théorème fondamental

Chapitre 4 — Équations polynomiales dans ℂ

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC Expertes
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1Théorème fondamental de l'algèbre★3 pts
Tout polynôme de degré n ≥ 1 admet exactement n racines dans ℂ (comptées avec multiplicité).
Donner le nombre de racines (dans ℂ) de :
  1. P(z)=z²+1
  2. Q(z)=z⁴−16
  3. R(z)=z³−1
Réponse  
Ex.2Racines et factorisation★4 pts
P(z)=z²−4z+5.
  1. Calculer le discriminant.
  2. Trouver les deux racines dans ℂ.
  3. Factoriser P(z) dans ℂ.
Réponse  
Ex.3Conjugaison des racines★4 pts
Si P à coefficients réels admet z₀ comme racine, alors z̄₀ est aussi racine.
P(z) = z⁴−2z³+3z²−2z+2. z₁=i est racine.
  1. Donner une autre racine.
  2. Factoriser P dans ℝ (trouver les autres racines).
Réponse  
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Fiche N° 04Chapitre 4 — Équations polynomiales dans ℂ
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4Division euclidienne de polynômes★4 pts
Effectuer la division euclidienne de P(z)=z³−3z²+z+5 par D(z)=z−2.
  1. Calculer P(2) (reste).
  2. Effectuer la division.
  3. Factoriser si z=2 est racine.
Réponse  
Ex.5Polynômes à coefficients complexes★★4 pts
Résoudre dans ℂ :
  1. z²+iz−1=0
  2. z²−2(1+i)z+2i=0
Réponse  
Ex.6Multiplicité d'une racine★★4 pts
P(z)=z³−3z+2.
  1. Vérifier que z=1 est racine double.
  2. Factoriser P(z) complètement dans ℂ.
  3. Résoudre P(z)=0.
Réponse  
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Fiche N° 04Chapitre 4 — Équations polynomiales dans ℂ
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7Relations de Viète★★4 pts
z₁+z₂=−b/a · z₁z₂=c/a pour az²+bz+c
z²−5z+7=0. Sans résoudre :
  1. z₁+z₂ et z₁z₂.
  2. z₁²+z₂² (en termes de z₁+z₂ et z₁z₂).
  3. z₁³+z₂³.
Réponse  
Ex.8Factorisation dans ℂ et ℝ★★4 pts
P(z)=z⁴+4z²+4.
  1. Poser Z=z². Résoudre Z²+4Z+4=0.
  2. Factoriser P(z) dans ℂ.
  3. Factoriser dans ℝ (regrouper les racines conjuguées).
Réponse  
Ex.9Polynôme interpolation★★★4 pts
Trouver P(z) de degré 2 tel que P(0)=1, P(1)=2, P(i)=0.
  1. Écrire P(z)=az²+bz+c.
  2. Résoudre le système à 3 inconnues.
Réponse  
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Fiche N° 04Chapitre 4 — Équations polynomiales dans ℂ
Fiche N° 04
★★★
Niveau 3 — Type BAC ExpertesEx. 10 à 12
Ex.10Racines d'un polynôme et géométrie★★★4 pts
Les racines du polynôme z³−1=0 dans ℂ.
  1. Calculer les 3 racines (forme exponentielle).
  2. Montrer qu'elles forment un triangle équilatéral inscrit dans |z|=1.
Réponse  
Ex.11Décomposition en éléments simples★★★4 pts
Décomposer sur ℂ : (2z+1)/((z−1)(z+2)).
  1. Écrire = Az−1 + Bz+2.
  2. Calculer A et B par la méthode des résidus.
Réponse  
Ex.12★ Défi BAC Expertes★★★5 pts
Soit P(z)=zn − 1. On admet que ses n racines sont ωk pour k=0,...,n−1 avec ω=e2iπ/n.
  1. Écrire la factorisation de P(z) dans ℂ.
  2. En substituant z=1 dans la factorisation, retrouver le produit des (1−ωk).
  3. En déduire sin(π/n)×sin(2πn)×...×sin((n−1)π/n)=n2n−1.
Réponse  
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✦ CORRIGÉ Ch4 — Équations polynomiales dans ℂ
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Division euclidienne de polynômes ★
A(x)=B(x)×Q(x)+R(x)
→ degré R < degré B
→ Méthode de la division longue
= Quotient Q(x) et reste R(x)
Ex.2 Factorisation par une racine ★
Si P(a)=0 alors (x−a) divise P
→ Tester P(1)=0 ou P(−1)=0 etc.
→ Effectuer la division par (x−a)
= P(x)=(x−a)×Q(x)
Ex.3 Relations coefficients-racines ★
x²+bx+c=(x−r₁)(x−r₂)
→ r₁+r₂=−b
→ r₁×r₂=c
= Somme=−b · Produit=c
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Théorème de d'Alembert-Gauss ★★
Tout polynôme de degré n a n racines dans ℂ
→ Racines réelles ou complexes conjuguées
→ Polynôme réel : racines complexes par paires conjuguées
= Un polynôme de degré n se factorise en n facteurs
Ex.5 Polynôme à coefficients réels ★★
Racines complexes par paires
→ Si a+ib est racine alors a−ib aussi
→ Facteur réel correspondant: (x²−2ax+a²+b²)
= Factorisation en facteurs réels de degré ≤2
Ex.6 Résoudre P(z)=0 dans ℂ ★★
z³−1=0
→ z=1 est racine évidente
→ z³−1=(z−1)(z²+z+1)
→ Δ=1−4=−3 → z=−1±i√32
= 3 racines: 1, −1+i√32, −1−i√32
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🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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