Fiche N° 05Chapitre 5 — Complexes en géométrie
Transformations, droites, cercles, polygones

★

La translation de vecteur w transforme z en z+w.

1. Trouver l'image de z=2+i par la translation de vecteur 1−3i.
2. Trouver la translation qui envoie 1+i sur 3−i.

La rotation de centre Ω et angle θ : z ↦ e^iθ(z−zΩ)+zΩ.

1. Rotation de centre O, angle π2 de z=3+2i.
2. Rotation de centre 1+i, angle π de z=2+3i.

Homothétie de centre Ω, rapport k : z ↦ k(z−zΩ)+zΩ.

1. Homothétie de centre O, rapport 2 de z=1+i.
2. Centre 1, rapport −3 de z=2+i.

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Fiche N° 05

★★

z ↦ az+b (a≠0 complexe) est une similitude directe.

1. z ↦ iz+1. Rapport, angle, point fixe.
2. Trouver la similitude envoyant 0→i et 1→1+i.

A, B, C sont alignés ⟺ z_C−z_Az_B−z_A ∈ ℝ.
zA=1+2i, zB=3+i, zC=5. Vérifier si A, B, C sont alignés.

L'angle BAC (orienté) = arg(z_C−z_Az_B−z_A).
zA=i, zB=2, zC=1+2i.

1. Calculer z_C−z_Az_B−z_A.
2. Déterminer l'angle BAC.

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Fiche N° 05

★★

Décrire l'ensemble des z vérifiant :

1. |z−2| = |z+2| → droite
2. |z−1|/|z+1| = 2 → cercle d'Apollonius

ABC équilatéral direct ⟺ z_A+jz_B+j²z_C=0 (j=e^2iπ3).
zA=0, zB=2. Trouver zC.

f(z) = (1+i)z − i.

1. Trouver le(s) point(s) fixe(s).
2. Identifier la transformation (similitude directe).
3. Calculer le rapport et l'angle.

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Fiche N° 05

★★★

r₁ : rotation de centre O, angle π2. r₂ : rotation de centre 1, angle π2.

1. Calculer r₁(z) et r₂(z).
2. Calculer r₂∘r₁(z).
3. Identifier la transformation composée.

Les sommets d'un n-gone régulier centré en Ω, de sommet initial A.

1. Exprimer les affixes z_k des sommets.
2. Pour n=6, zA=1 et zΩ=0. Donner les 6 sommets.

Soit f(z)=e^iπ3z+1−e^iπ3.

1. Trouver le point fixe Ω.
2. Montrer que f est la rotation de centre Ω et angle π3.
3. Calculer f³(z) et f⁶(z).

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