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TERMINALE — MATHS EXPERTES

Fiche N° 05Chapitre 5 — Complexes en géométrie
Transformations, droites, cercles, polygones

Chapitre 5 — Complexes en géométrie

12 EXERCICES

Nom — Prénom

Classe

Date

Niveau →

BAC Expertes

★

Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3

Ex.1Translation★4 pts

La translation de vecteur w transforme z en z+w.

Trouver l'image de z=2+i par la translation de vecteur 1−3i.
Trouver la translation qui envoie 1+i sur 3−i.

Réponse  

Ex.2Rotation★4 pts

La rotation de centre Ω et angle θ : z ↦ e^iθ(z−zΩ)+zΩ.

Rotation de centre O, angle π2 de z=3+2i.
Rotation de centre 1+i, angle π de z=2+3i.

Réponse  

Ex.3Homothétie★4 pts

Homothétie de centre Ω, rapport k : z ↦ k(z−zΩ)+zΩ.

Homothétie de centre O, rapport 2 de z=1+i.
Centre 1, rapport −3 de z=2+i.

Réponse  

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Fiche N° 05Chapitre 5 — Complexes en géométrie
Fiche N° 05

★★

Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6

Ex.4Similitude directe★4 pts

z ↦ az+b (a≠0 complexe) est une similitude directe.

z ↦ iz+1. Rapport, angle, point fixe.
Trouver la similitude envoyant 0→i et 1→1+i.

Réponse  

Ex.5Alignement, colinéarité★★4 pts

A, B, C sont alignés ⟺ z_C−z_Az_B−z_A ∈ ℝ.
zA=1+2i, zB=3+i, zC=5. Vérifier si A, B, C sont alignés.

Réponse  

Ex.6Angle géométrique★★4 pts

L'angle BAC (orienté) = arg(z_C−z_Az_B−z_A).
zA=i, zB=2, zC=1+2i.

Calculer z_C−z_Az_B−z_A.
Déterminer l'angle BAC.

Réponse  

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Fiche N° 05Chapitre 5 — Complexes en géométrie
Fiche N° 05

★★

Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9

Ex.7Équation d'un cercle★★4 pts

Décrire l'ensemble des z vérifiant :

|z−2| = |z+2| → droite
|z−1|/|z+1| = 2 → cercle d'Apollonius

Réponse  

Ex.8Triangle équilatéral★★4 pts

ABC équilatéral direct ⟺ z_A+jz_B+j²z_C=0 (j=e^2iπ3).
zA=0, zB=2. Trouver zC.

Réponse  

Ex.9Points fixes d'une transformation★★★4 pts

f(z) = (1+i)z − i.

Trouver le(s) point(s) fixe(s).
Identifier la transformation (similitude directe).
Calculer le rapport et l'angle.

Réponse  

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Fiche N° 05Chapitre 5 — Complexes en géométrie
Fiche N° 05

★★★

Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12

Ex.10Composition de transformations★★★4 pts

r₁ : rotation de centre O, angle π2. r₂ : rotation de centre 1, angle π2.

Calculer r₁(z) et r₂(z).
Calculer r₂∘r₁(z).
Identifier la transformation composée.

Réponse  

Ex.11Polygone régulier★★★4 pts

Les sommets d'un n-gone régulier centré en Ω, de sommet initial A.

Exprimer les affixes z_k des sommets.
Pour n=6, zA=1 et zΩ=0. Donner les 6 sommets.

Réponse  

Ex.12★ Défi BAC Expertes★★★5 pts

Soit f(z)=e^iπ3z+1−e^iπ3.

Trouver le point fixe Ω.
Montrer que f est la rotation de centre Ω et angle π3.
Calculer f³(z) et f⁶(z).

Réponse  

✦ Auto-évaluation

✅ Maîtrisé

⚠️ À retravailler

❓ Non acquis

Mon score : _____ / 49 pts

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      ✦ CORRIGÉ
      Ch5 — Complexes en géométrie
    

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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6

★

Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3

Ex.1 Translation ★

z ↦ z+w

→ 1) w=1−3i, z=2+i → image = z+w = 3−2i

→ 2) translation envoyant 1+i sur 3−i : w = (3−i)−(1+i) = 2−2i

= 3−2i · w=2−2i

Ex.2 Rotation ★

z ↦ eiθ(z−zΩ)+zΩ

→ 1) centre O, angle π2, z=3+2i : image = i×(3+2i) = −2+3i

→ 2) centre 1+i, angle π, z=2+3i : image = −(z−(1+i))+(1+i) = −i

= −2+3i · −i

Ex.3 Homothétie ★

z ↦ k(z−zΩ)+zΩ

→ 1) centre O, rapport 2, z=1+i : image = 2(1+i) = 2+2i

→ 2) centre 1, rapport −3, z=2+i : image = −3((2+i)−1)+1 = −2−3i

= 2+2i · −2−3i

★★

Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6

Ex.4 Similitude directe ★★

z ↦ az+b (a≠0)

→ 1) z↦iz+1 : rapport=|i|=1, angle=arg(i)=π2 ; point fixe z=iz+1 → z=11−i=1+i2

→ 2) 0↦i donne b=i ; 1↦1+i donne a+b=1+i → a=1 : similitude z↦z+i

= rapport=1, angle=π2, fixe=1+i2 · z↦z+i

Ex.5 Alignement, colinéarité ★★

A,B,C alignés ⟺ z_C−z_Az_B−z_A ∈ ℝ

→ zA=1+2i, zB=3+i, zC=5

→ zC−zAzB−zA = 4−2i2−i = 2 (réel) → A, B, C sont alignés

= rapport = 2 (réel) → A,B,C alignés

Ex.6 Angle géométrique ★★

angle BAC = arg(z_C−z_Az_B−z_A)

→ zA=i, zB=2, zC=1+2i

→ 1) zC−zAzB−zA = 1+i2−i = 1+3i5

→ 2) angle BAC = arg(1+3i5) = arctan(3) ≈ 1,249 rad ≈ 71,6°

= 1+3i5 · angle ≈ 71,6°

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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12

★★

Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9

Ex.7 Équation d'un cercle ★★

→ ① |z−2|=|z+2| : points équidistants de 2 et −2 → médiatrice = axe des imaginaires purs, Re(z)=0.

→ ② |z−1|=2|z+1| : en posant z=x+iy, (x−1)²+y² = 4[(x+1)²+y²].

→ Développement : x²−2x+1+y² = 4x²+8x+4+4y² ⟹ 3x²+10x+3+3y² = 0 ⟹ (x+53)²+y² = 169.

= ① Droite Re(z)=0 ② Cercle d'Apollonius de centre −53 et de rayon 43.

Ex.8 Triangle équilatéral ★★

→ z_A+jz_B+j²z_C=0 avec z_A=0, z_B=2 : 2j + j²z_C = 0 ⟹ z_C = −2j/j².

→ Comme j³=1, on a 1/j = j², donc z_C = −2j² = −2e^4iπ/3 = −2(−12−i√32).

= z_C = 1 + i√3.

Ex.9 Points fixes d'une transformation ★★★

→ Point fixe : z=(1+i)z−i ⟺ z[1−(1+i)]=−i ⟺ −iz=−i ⟺ z=1. Point fixe Ω=1.

→ f(z)−1 = (1+i)z−i−1 = (1+i)z−(1+i) = (1+i)(z−1) = (1+i)(z−Ω).

→ C'est la forme f(z)−Ω = k·e^iθ(z−Ω) d'une similitude directe de centre Ω.

= Point fixe Ω=1 ; similitude directe de centre 1, rapport k=|1+i|=√2, angle θ=arg(1+i)=π4.

★★★

Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12

Ex.10 Composition de transformations ★★★

→ r_1(z) = iz (rotation de centre O, angle π2).

→ r_2(z)−1 = i(z−1) ⟹ r_2(z) = iz + (1−i) (rotation de centre 1, angle π2).

→ r_2∘r_1(z) = r_2(iz) = i(iz)+(1−i) = i²z+(1−i) = −z+(1−i).

→ Coefficient de z égal à −1 = e^iπ : rotation d'angle π. Point fixe : z=−z+1−i ⟹ z=1−i2.

= r_2∘r_1(z) = −z+(1−i) : rotation d'angle π (symétrie centrale) de centre 1−i2.

Ex.11 Polygone régulier ★★★

→ z_k = z_Ω + (z_A−z_Ω)·e^2ikπ/n pour k=0,...,n−1.

→ Pour n=6, z_Ω=0, z_A=1 : z_k = e^ikπ3.

→ z_0=1, z_1=12+i√32, z_2=−12+i√32, z_3=−1, z_4=−12−i√32, z_5=12−i√32.

= z_k = e^2ikπ/n (cas z_Ω=0, z_A=1) ; pour n=6, les 6 sommets sont 1, e^iπ3, e^2iπ/3, −1, e^4iπ/3, e^5iπ/3.

Ex.12 ★ Défi BAC Expertes ★★★

→ Point fixe : z = e^iπ3z+1−e^iπ3 ⟺ z(1−e^iπ3) = 1−e^iπ3 ⟺ z=1 (car 1−e^iπ3≠0). Ω=1.

→ f(z)−1 = e^iπ3z+1−e^iπ3−1 = e^iπ3(z−1) = e^iπ3(z−Ω) : rotation de centre Ω=1, angle π3.

→ f³ est la composée de 3 rotations d'angle π3 : f³(z)−1 = e^iπ(z−1) = −(z−1), soit f³(z) = 2−z.

→ f⁶ est la composée de 6 rotations d'angle π3, soit un angle total 2π : f⁶(z)−1 = e^2iπ(z−1) = z−1, soit f⁶(z) = z (identité).

= Ω=1 ; f est la rotation de centre 1 et d'angle π3 ; f³(z) = 2−z (demi-tour) ; f⁶(z) = z (retour à l'identité).

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