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TERMINALE — MATHS EXPERTES
Fiche N° 06Chapitre 6 — Divisibilité et congruences
Divisibilité dans ℤ, division euclidienne, congruences

Chapitre 6 — Divisibilité et congruences

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC Expertes
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1Divisibilité — définition et propriétés★4 pts
a|b si ∃k∈ℤ, b=ka · a|b et a|c → a|(b+c)
  1. Montrer que 6|42 et 6|18, en déduire 6|60.
  2. Si 7|a, montrer que 7|(3a²+14a).
Réponse  
Ex.2Division euclidienne★4 pts
Effectuer la division euclidienne de a par b et vérifier.
  1. a=347, b=12
  2. a=−50, b=7
  3. a=1001, b=37
Réponse  
Ex.3PGCD — algorithme d'Euclide★4 pts
Calculer le PGCD par l'algorithme d'Euclide.
  1. PGCD(252, 198)
  2. PGCD(1071, 462)
Réponse  
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Fiche N° 06Chapitre 6 — Divisibilité et congruences
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4Congruences — définition★4 pts
a ≡ b [n] si n|(a−b)
  1. Vérifier : 37 ≡ 7 [10]
  2. Calculer 2025 [7]
  3. Calculer 3100 [4]
Réponse  
Ex.5Propriétés des congruences★★4 pts
a≡b et c≡d [n] → a+c≡b+d et ac≡bd [n]
  1. Montrer que 112n ≡ 1 [10] pour tout n.
  2. Calculer 7100 [5].
Réponse  
Ex.6Critères de divisibilité★★4 pts
Utiliser les congruences pour montrer :
  1. Un entier est divisible par 9 ssi la somme de ses chiffres l'est.
  2. Un entier est divisible par 11 ssi la somme alternée de ses chiffres l'est.
Réponse  
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Fiche N° 06Chapitre 6 — Divisibilité et congruences
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7Équations de congruence★★4 pts
Résoudre dans ℤ.
  1. 3x ≡ 1 [7]
  2. 5x ≡ 3 [11]
  3. 4x ≡ 2 [6]
Réponse  
Ex.8Reste de la division★★4 pts
Quel est le reste de 21000 dans la division par 3 ?
  1. Calculer 21 [3], 22 [3], 23 [3], 24 [3].
  2. Trouver la période.
  3. Conclure sur 21000 [3].
Réponse  
Ex.9Démonstration par congruences★★★4 pts
Montrer que n³−n est divisible par 6 pour tout entier n.
  1. Factoriser n³−n = n(n−1)(n+1).
  2. Montrer la divisibilité par 2 puis par 3.
Réponse  
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Fiche N° 06
★★★
Niveau 3 — Type BAC ExpertesEx. 10 à 12
Ex.10Théorème chinois des restes★★★4 pts
Résoudre le système de congruences :
x ≡ 2 [3] et x ≡ 3 [5].
  1. Chercher x=3k+2.
  2. Substituer dans la deuxième congruence.
  3. Donner la solution générale.
Réponse  
Ex.11Représentation décimale★★★4 pts
Un entier N s'écrit aₙaₙ₋₁...a₁a₀ en base 10.
  1. Exprimer N en termes de ses chiffres.
  2. Calculer N [9] en utilisant 10 ≡ 1 [9].
  3. Montrer que N≡0[9] ⟺ somme des chiffres ≡0[9].
Réponse  
Ex.12★ Défi BAC Expertes★★★5 pts
Montrer que pour tout entier n, 72n+1+1 est divisible par 8.
  1. Calculer 71 [8], 72 [8], 73 [8]. Trouver la période.
  2. Calculer 72n+1 [8] selon la parité de 2n+1.
  3. Conclure.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch6 — Divisibilité et congruences
✦ Corrigé — Ch6 — Divisibilité et congruences
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Congruences — définition ★
a≡b [n] ↔ n | (a−b)
→ 17≡2 [5] car 5|(17−2)=15 ✓
→ Restes identiques dans la division par n
= 17 ≡ 2 (mod 5)
Ex.2 Propriétés des congruences ★
a≡b et c≡d → a+c≡b+d et ac≡bd [n]
→ Ajouter et multiplier les congruences
= Les congruences se somment et se multiplient
Ex.3 Petit théorème de Fermat ★
Si p premier et p∤a : aᵖ⁻¹≡1 [p]
→ a=2, p=7 · 2⁶=64≡1 [7]
→ 64=9×7+1 ✓
= 2⁶ ≡ 1 (mod 7) ✓
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Résoudre a×x≡b [n] ★★
Condition: PGCD(a,n)|b
→ 3x≡6 [9] · PGCD(3,9)=3|6 ✓
→ Simplifier: x≡2 [3]
= x ≡ 2 (mod 3)
Ex.5 Critères de divisibilité ★★
Par 3: somme des chiffres ≡ 0 [3]
→ N≡ somme des chiffres [9]
→ Car 10≡1 [9] donc 10ᵏ≡1 [9]
= Preuve par congruences modulo 9
Ex.6 Application cryptographie ★★
Chiffrement par décalage
→ Lettre → nombre (A=0,...,Z=25)
→ Chiffré = (nombre + clé) mod 26
= Déchiffrer = (chiffré − clé) mod 26
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✦ CORRIGÉ Ch6 — Divisibilité et congruences
✦ Corrigé — Ch6 — Divisibilité et congruences
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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