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TERMINALE — MATHS EXPERTES
Fiche N° 07Chapitre 7 — Bézout et Gauss
PGCD, Bézout, Gauss, équations diophantiennes

Chapitre 7 — Bézout et Gauss

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC Expertes
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1Théorème de Bézout★4 pts
a∧b=d → ∃u,v∈ℤ, au+bv=d
Trouver u,v tels que 252u+198v=18 (PGCD=18 d'après Ch6).
Réponse  
Ex.2Algorithme d'Euclide étendu★4 pts
Utiliser l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver les coefficients de Bézout de (35, 12).
  1. Calculer PGCD(35,12).
  2. Remonter l'algorithme.
Réponse  
Ex.3Entiers premiers entre eux★4 pts
a∧b=1 ⟺ ∃u,v, au+bv=1
Montrer que 7 et 11 sont premiers entre eux, puis trouver une relation de Bézout.
Réponse  
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Bézout et Gauss
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4Lemme de Gauss★4 pts
Si a|bc et a∧b=1, alors a|c
Appliquer pour montrer que si 6|5n alors 6|n.
Réponse  
Ex.5Équation diophantienne ax+by=c★★4 pts
Résoudre dans ℤ : 7x+11y=1.
  1. Trouver une solution particulière (Bézout).
  2. Donner la solution générale.
Réponse  
Ex.6Équation diophantienne — existence★★4 pts
L'équation ax+by=c a des solutions ⟺ PGCD(a,b)|c.
  1. 35x+12y=3 : a-t-elle des solutions ?
  2. 35x+12y=5 : a-t-elle des solutions ?
  3. Résoudre celle qui en a.
Réponse  
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Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7Théorème de Gauss — applications★★4 pts
  1. Si p premier divise ab, montrer que p|a ou p|b.
  2. Si p premier, PGCD(p,a) = p ou 1. Dans quel cas ?
Réponse  
Ex.8PPCM et Bézout★★4 pts
a×b = PGCD(a,b) × PPCM(a,b)
  1. Calculer PGCD(84,60) et PPCM(84,60).
  2. Vérifier la formule.
Réponse  
Ex.9Irréductibilité d'une fraction★★★4 pts
Montrer que pour tout n∈ℤ, la fraction 2n+13n+2 est irréductible.
  1. Calculer d=PGCD(2n+1, 3n+2).
  2. Montrer que d|1 en faisant des combinaisons.
Réponse  
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Bézout et Gauss
Fiche N° 07
★★★
Niveau 3 — Type BAC ExpertesEx. 10 à 12
Ex.10Équation diophantienne — problème★★★4 pts
On veut acheter exactement pour 100€ de livres à 7€ et de stylos à 3€.
  1. Écrire l'équation (7x+3y=100).
  2. Trouver une solution particulière.
  3. Donner toutes les solutions avec x,y > 0.
Réponse  
Ex.11Système de congruences★★★4 pts
Par le théorème chinois des restes, résoudre :
x ≡ 1 [7], x ≡ 2 [11], x ≡ 3 [13].
  1. Commencer par les deux premières congruences.
Réponse  
Ex.12★ Défi BAC Expertes★★★5 pts
Montrer que si p est premier, alors (p−1)! ≡ −1 [p] (théorème de Wilson).
  1. Les entiers 1,2,...,p−1 sont dans (ℤ/pℤ)* (inversibles).
  2. Chacun est soit son propre inverse (x²≡1[p] → x≡±1[p]), soit appairé avec son inverse.
  3. En déduire le produit (p−1)! modulo p.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Bézout et Gauss
✦ Corrigé — Ch7 — Bézout et Gauss
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Théorème de Bézout ★
PGCD(a,b)=d → ∃u,v : au+bv=d
→ PGCD(15,6)=3
→ 15×1+6×(−2)=3 ✓
= u=1, v=−2 (non uniques)
Ex.2 Algorithme d'Euclide étendu ★
Trouver u,v pour PGCD
→ Euclide: 48=36×1+12 · 36=12×3+0
→ Remontée: 12=48×1+36×(−1)
= 48×1+36×(−1)=12=PGCD(48,36)
Ex.3 Théorème de Gauss ★
Si a|bc et PGCD(a,b)=1 alors a|c
→ a et b premiers entre eux
→ a divise bc → a divise c
= Application: 7|14n → 7|2n et PGCD(7,2)=1 → 7|n
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Équation diophantienne ★★
15x+6y=3
→ PGCD(15,6)=3|3 → solutions
→ Solution particulière: x₀=1, y₀=−2
→ Général: x=1+2t · y=−2−5t · t∈ℤ
= Solutions: (1+2t, −2−5t), t∈ℤ
Ex.5 Nombres premiers entre eux ★★
PGCD(a,b)=1 ↔ premiers entre eux
→ ∃u,v : au+bv=1
→ Si a|c et b|c et PGCD(a,b)=1 → ab|c
= Critère de divisibilité simultanée
Ex.6 Application PGCD ★★
PGCD(a,b) via Bézout
→ Trouver le plus grand diviseur commun
→ Via l'algorithme d'Euclide
→ Trouver u,v si besoin
= PGCD et coefficients de Bézout
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Bézout et Gauss
✦ Corrigé — Ch7 — Bézout et Gauss
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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