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Fiche N° 07Chapitre 7 — Bézout et Gauss
PGCD, Bézout, Gauss, équations diophantiennes

Chapitre 7 — Bézout et Gauss

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC Expertes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1Théorème de Bézout★4 pts
a∧b=d → ∃u,v∈ℤ, au+bv=d
Trouver u,v tels que 252u+198v=18 (PGCD=18 d'après Ch6).
Réponse  
Ex.2Algorithme d'Euclide étendu★4 pts
Utiliser l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver les coefficients de Bézout de (35, 12).
  1. Calculer PGCD(35,12).
  2. Remonter l'algorithme.
Réponse  
Ex.3Entiers premiers entre eux★4 pts
a∧b=1 ⟺ ∃u,v, au+bv=1
Montrer que 7 et 11 sont premiers entre eux, puis trouver une relation de Bézout.
Réponse  
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Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4Lemme de Gauss★4 pts
Si a|bc et a∧b=1, alors a|c
Appliquer pour montrer que si 6|5n alors 6|n.
Réponse  
Ex.5Équation diophantienne ax+by=c★★4 pts
Résoudre dans ℤ : 7x+11y=1.
  1. Trouver une solution particulière (Bézout).
  2. Donner la solution générale.
Réponse  
Ex.6Équation diophantienne — existence★★4 pts
L'équation ax+by=c a des solutions ⟺ PGCD(a,b)|c.
  1. 35x+12y=3 : a-t-elle des solutions ?
  2. 35x+12y=5 : a-t-elle des solutions ?
  3. Résoudre celle qui en a.
Réponse  
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Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7Théorème de Gauss — applications★★4 pts
  1. Si p premier divise ab, montrer que p|a ou p|b.
  2. Si p premier, PGCD(p,a) = p ou 1. Dans quel cas ?
Réponse  
Ex.8PPCM et Bézout★★4 pts
a×b = PGCD(a,b) × PPCM(a,b)
  1. Calculer PGCD(84,60) et PPCM(84,60).
  2. Vérifier la formule.
Réponse  
Ex.9Irréductibilité d'une fraction★★★4 pts
Montrer que pour tout n∈ℤ, la fraction 2n+13n+2 est irréductible.
  1. Calculer d=PGCD(2n+1, 3n+2).
  2. Montrer que d|1 en faisant des combinaisons.
Réponse  
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Fiche N° 07
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10Équation diophantienne — problème★★★4 pts
On veut acheter exactement pour 100€ de livres à 7€ et de stylos à 3€.
  1. Écrire l'équation (7x+3y=100).
  2. Trouver une solution particulière.
  3. Donner toutes les solutions avec x,y > 0.
Réponse  
Ex.11Système de congruences★★★4 pts
Par le théorème chinois des restes, résoudre :
x ≡ 1 [7], x ≡ 2 [11], x ≡ 3 [13].
  1. Commencer par les deux premières congruences.
Réponse  
Ex.12★ Défi BAC Expertes★★★5 pts
Montrer que si p est premier, alors (p−1)! ≡ −1 [p] (théorème de Wilson).
  1. Les entiers 1,2,...,p−1 sont dans (ℤ/pℤ)* (inversibles).
  2. Chacun est soit son propre inverse (x²≡1[p] → x≡±1[p]), soit appairé avec son inverse.
  3. En déduire le produit (p−1)! modulo p.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Bézout et Gauss
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Théorème de Bézout ★
a∧b=d → ∃u,v, au+bv=d
→ en remontant l'algorithme d'Euclide (252,198) : 18 = 4×252 − 5×198
→ u=4, v=−5 (vérification : 252×4−198×5=1008−990=18)
= u=4, v=−5
Ex.2 Algorithme d'Euclide étendu ★
PGCD de (35,12)
→ 1) 35=12×2+11 ; 12=11×1+1 ; 11=1×11+0 → PGCD(35,12)=1
→ 2) en remontant : 1=12−11=12−(35−12×2)=3×12−35 → u=−1, v=3
= PGCD=1 · 35×(−1)+12×3=1
Ex.3 Entiers premiers entre eux ★
a∧b=1 ⟺ ∃u,v, au+bv=1
→ PGCD(7,11)=1 (11=7×1+4 ; 7=4×1+3 ; 4=3×1+1 ; 3=1×3+0) → premiers entre eux
→ relation de Bézout : 1=4−3=2×4−7=2(11−7)−7=2×11−3×7 → 7×(−3)+11×2=1
= PGCD=1 · 7×(−3)+11×2=1
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Lemme de Gauss ★★
Si a|bc et a∧b=1, alors a|c
→ 6|5n avec 6∧5=1 → d'après le lemme de Gauss, 6|n
= 6|n (lemme de Gauss appliqué avec a=6, b=5)
Ex.5 Équation diophantienne ax+by=c ★★
7x+11y=1
→ 1) d'après Ex.3, 7×(−3)+11×2=1 → solution particulière x₀=−3, y₀=2
→ 2) solution générale : x=−3+11k, y=2−7k, k∈ℤ
= x₀=−3,y₀=2 · x=−3+11k, y=2−7k
Ex.6 Équation diophantienne — existence ★★
ax+by=c a des solutions ⟺ PGCD(a,b)|c
→ PGCD(35,12)=1, qui divise tout entier
→ 1) 35x+12y=3 : 1|3 → a des solutions
→ 2) 35x+12y=5 : 1|5 → a aussi des solutions
→ 3) en multipliant 35×(−1)+12×3=1 par 3 : x=−3,y=9 pour c=3 ; par 5 : x=−5,y=15 pour c=5
= les deux ont des solutions (PGCD=1) · x=−3,y=9 et x=−5,y=15
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Bézout et Gauss
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Théorème de Gauss — applications ★★
→ ① Si p|ab : ou bien p|a (c'est fini), ou bien p∤a. Dans ce second cas, les seuls diviseurs de p étant 1 et p, PGCD(p,a)=1.
→ Par le théorème de Gauss (p|ab et PGCD(p,a)=1 ⟹ p|b), on conclut p|b.
→ ② Les diviseurs de p sont exactement 1 et p, donc PGCD(p,a)∈{1,p} : PGCD(p,a)=p ⟺ p|a ; PGCD(p,a)=1 ⟺ p∤a.
= p premier et p|ab ⟹ p|a ou p|b ; PGCD(p,a)=p si p|a, sinon PGCD(p,a)=1.
Ex.8 PPCM et Bézout ★★
→ Algorithme d'Euclide : 84=1×60+24 ; 60=2×24+12 ; 24=2×12+0. PGCD(84,60)=12.
→ PPCM(84,60) = 84×60PGCD = 504012 = 420.
→ Vérification : PGCD×PPCM = 12×420 = 5040 = 84×60. ✓
= PGCD(84,60)=12 ; PPCM(84,60)=420.
Ex.9 Irréductibilité d'une fraction ★★★
→ d = PGCD(2n+1, 3n+2) : on cherche une combinaison linéaire entière des deux termes.
→ 3(2n+1) − 2(3n+2) = 6n+3−6n−4 = −1.
→ Donc d divise −1 (combinaison linéaire de 2n+1 et 3n+2), donc d=1 : les deux nombres sont toujours premiers entre eux, quel que soit n.
= PGCD(2n+1,3n+2)=1 pour tout n∈ℤ, donc la fraction 2n+13n+2 est toujours irréductible.
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Équation diophantienne — problème ★★★
→ 7x+3y=100 avec x,y entiers >0. Solution particulière : x=1 donne 3y=93, soit y=31 : (x₀,y₀)=(1,31).
→ Comme PGCD(7,3)=1, la solution générale est x=1+3k, y=31−7k, k∈ℤ.
→ x>0 ⟹ k≥0 ; y>0 ⟹ k≤4 (317≈4,43). Donc k∈{0,1,2,3,4}.
= 5 solutions : (1,31), (4,24), (7,17), (10,10), (13,3).
Ex.11 Système de congruences ★★★
→ x≡1[7] : x=7k+1. Report dans x≡2[11] : 7k+1≡2[11] ⟺ 7k≡1[11]. Inverse de 7 mod11 est 8 (7×8=56≡1[11]), donc k≡8[11].
→ k=11m+8, donc x=7(11m+8)+1=77m+57, soit x≡57[77].
→ Report dans x≡3[13] : 77m+57≡3[13]. Or 77≡−1[13] et 57≡5[13], donc −m+5≡3[13] ⟺ m≡2[13].
→ m=13p+2, donc x=77(13p+2)+57=1001p+211.
= x ≡ 211 [1001] (1001=7×11×13) — vérification : 211=7×30+1, 211=11×19+2, 211=13×16+3. ✓
Ex.12 ★ Défi BAC Expertes ★★★
→ Les entiers 1,2,...,p−1 forment le groupe (ℤ/pℤ)* : chacun possède un unique inverse pour la multiplication modulo p.
→ x est son propre inverse ⟺ x²≡1[p] ⟺ (x−1)(x+1)≡0[p] ⟺ p|(x−1) ou p|(x+1) (p premier) ⟺ x≡1[p] ou x≡−1[p] (=p−1).
→ Tous les autres éléments (de 2 à p−2) se regroupent par paires {a, a⁻¹} distinctes, chaque paire ayant pour produit 1 modulo p.
→ Le produit (p−1)! = 1 × (p−1) × (produit des paires, chacune ≡1[p]) ≡ 1×(−1)×1×...×1 ≡ −1 [p].
= (p−1)! ≡ −1 [p] pour tout nombre premier p (théorème de Wilson).
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