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TERMINALE — MATHS EXPERTES
Fiche N° 08Chapitre 8 — Nombres premiers
Primalité, décomposition, théorème de Fermat

Chapitre 8 — Nombres premiers

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC Expertes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1Tester la primalité★4 pts
n est premier si aucun entier ≤ √n ne le divise
Déterminer si ces nombres sont premiers.
  1. 97
  2. 143
  3. 289
Réponse  
Ex.2Décomposition en facteurs premiers★4 pts
Décomposer en produit de facteurs premiers.
  1. 360
  2. 1 764
  3. 10 000
Réponse  
Ex.3Infinité des nombres premiers★4 pts
Preuve d'Euclide : supposer qu'il n'existe qu'un nombre fini de premiers p₁,...,pₙ.
  1. Former N = p₁×p₂×...×pₙ + 1.
  2. Montrer que N n'est divisible par aucun pᵢ.
  3. Contradiction ?
Réponse  
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Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4PGCD et décomposition★4 pts
a=2³×3²×5 et b=2×3³×7.
  1. Calculer PGCD(a,b) par les décompositions.
  2. Calculer PPCM(a,b).
  3. Vérifier a×b = PGCD×PPCM.
Réponse  
Ex.5Théorème de Fermat★★4 pts
p premier et p∤a → ap−1 ≡ 1 [p]
  1. Vérifier 26 ≡ 1 [7].
  2. Calculer 3100 [7].
  3. Calculer 512 [13].
Réponse  
Ex.6Crible d'Ératosthène★★4 pts
Trouver tous les nombres premiers jusqu'à 50 par le crible.
  1. Lister 2 à 50, barrer les multiples de 2, 3, 5, 7.
  2. Pourquoi s'arrêter à 7 ? (√50 ≈ 7,07)
  3. Combien de premiers y a-t-il ?
Réponse  
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Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7Nombres de Mersenne★★4 pts
Les nombres de Mersenne sont 2p−1 (p premier).
  1. Calculer M₂, M₃, M₅, M₇.
  2. Lesquels sont premiers ?
  3. M₁₁ = 2047 = 23×89. Est-il premier ?
Réponse  
Ex.8RSA — principe★★4 pts
En cryptographie RSA : choisir p=5, q=7, n=35, e=5, d=5 (ed≡1[24]).
  1. Chiffrer m=2 : c=me [n].
  2. Déchiffrer : m=cd [n].
  3. Vérifier qu'on retrouve m=2.
Réponse  
Ex.9Puissances et congruences★★★4 pts
Calculer 17100 [25].
  1. Chercher la période de 17k [25].
  2. 171, 172, 174 [25].
  3. Décomposer 100 en puissances de 2.
Réponse  
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Fiche N° 08
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10Nombre de diviseurs★★★4 pts
Si n = p₁a₁×...×pₖaₖ, alors nb de diviseurs = (a₁+1)×...×(aₖ+1).
  1. Combien de diviseurs a 360 ?
  2. Trouver un entier ayant exactement 12 diviseurs.
Réponse  
Ex.11Congruence et modulo puissance de premier★★★4 pts
Calculer 7100 [49].
  1. 72 = 49 ≡ 0 [49]. Conclusion ?
  2. Exprimer 7100 en fonction de 49.
Réponse  
Ex.12★ Défi BAC Expertes★★★5 pts
Montrer que si 2n−1 est premier, alors n est premier.
  1. Supposer n=ab avec 1a−1 divise 2n−1.
  2. Conclure par l'absurde.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Tester la primalité ★
n premier si aucun entier ≤√n ne le divise
→ 1) 97 : √97≈9,8, aucun de 2,3,5,7 ne divise 97 → premier
→ 2) 143 : 143=11×13 → non premier
→ 3) 289=17² → non premier
= 97 premier · 143 non premier (11×13) · 289 non premier (17²)
Ex.2 Décomposition en facteurs premiers ★
Décomposer
→ 1) 360 = 2³×3²×5
→ 2) 1 764 = 2²×3²×7²
→ 3) 10 000 = 2⁴×5⁴
= 2³×3²×5 · 2²×3²×7² · 2⁴×5⁴
Ex.3 Infinité des nombres premiers ★
Preuve d'Euclide par l'absurde
→ 1) N = p₁×p₂×...×pₙ + 1
→ 2) pour tout i, N ≡ 1 [pᵢ] (car pᵢ divise le produit) → aucun pᵢ ne divise N
→ 3) contradiction : N>1 admet un facteur premier qui n'est parmi les pᵢ → il existe une infinité de nombres premiers
= N=Πpᵢ+1 · aucun pᵢ ne divise N · contradiction, infinité de premiers
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 PGCD et décomposition ★★
a=2³×3²×5, b=2×3³×7
→ 1) PGCD(a,b) = 2¹×3² = 18 (puissances minimales)
→ 2) PPCM(a,b) = 2³×3³×5×7 = 7 560 (puissances maximales)
→ 3) a×b = 360×378 = 136 080 = PGCD×PPCM = 18×7 560 = 136 080 ✓
= PGCD=18 · PPCM=7 560 · vérifié
Ex.5 Théorème de Fermat ★★
p premier, p∤a → ap−1≡1[p]
→ 1) 2⁶=64=63+1=7×9+1 → 2⁶≡1 [7] vérifié
→ 2) 3⁶≡1[7] (Fermat) ; 100=6×16+4 → 3100≡3⁴=81≡4 [7]
→ 3) 5¹²≡1 [13] directement par le petit théorème de Fermat (13 premier, 13∤5)
= vérifié · 3100≡4[7] · 5¹²≡1[13]
Ex.6 Crible d'Ératosthène ★★
Nombres premiers jusqu'à 50
→ 1) premiers ≤50 : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
→ 2) √50≈7,07 : tout nombre composé ≤50 a un facteur premier ≤√50, donc tester jusqu'à 7 suffit
→ 3) il y a 15 nombres premiers inférieurs à 50
= liste des 15 premiers · car √50≈7,07 · 15 premiers
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Nombres de Mersenne ★★
→ M₂=2²−1=3 ; M₃=2³−1=7 ; M₅=2⁵−1=31 ; M₇=2⁷−1=127.
→ Les quatre nombres 3, 7, 31, 127 sont premiers.
→ M₁₁=2047=23×89 : bien que 11 soit premier, M₁₁ n'est PAS premier — cela montre que "p premier" ne suffit pas à garantir que 2p−1 soit premier.
= M₂=3, M₃=7, M₅=31, M₇=127 sont premiers ; M₁₁=2047=23×89 ne l'est pas (contre-exemple important).
Ex.8 RSA — principe ★★
→ φ(n)=(p−1)(q−1)=4×6=24, et ed=5×5=25≡1[24]. ✓
→ Chiffrement : c = me [n] = 2⁵ [35] = 32 [35].
→ Déchiffrement : m = cd [n] = 32⁵ [35]. Or 32≡−3[35], donc 32²≡9, 32⁴≡9²=81≡11, 32⁵≡11×(−3)=−33≡2 [35].
= c=32 ; en déchiffrant on retrouve bien m=32⁵ ≡ 2 [35] = m d'origine.
Ex.9 Puissances et congruences ★★★
→ 17¹≡17[25] ; 17²=289≡14[25] ; 17⁴=14²=196≡21[25] ; 17⁸=21²=441≡16[25] ; 17¹⁶=16²=256≡6[25] ; 17³²=6²=36≡11[25] ; 17⁶⁴=11²=121≡21[25].
→ 100 en base 2 : 100=64+32+4.
→ 17100 = 17⁶⁴×17³²×17⁴ ≡ 21×11×21 [25]. 21×11=231≡6[25], puis 6×21=126≡1[25].
= 17100 ≡ 1 [25].
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Nombre de diviseurs ★★★
→ 360 = 2³×3²×5¹, donc nombre de diviseurs = (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24.
→ Pour 12 diviseurs, on cherche (a₁+1)(a₂+1)...=12, par exemple 3×2×2=12 avec exposants (2,1,1).
→ n = 2²×3×5 = 60 convient : nombre de diviseurs = (2+1)(1+1)(1+1) = 3×2×2 = 12.
= 360 a 24 diviseurs ; 60 = 2²×3×5 est un exemple d'entier ayant exactement 12 diviseurs.
Ex.11 Congruence et modulo puissance de premier ★★★
→ 7²=49≡0[49]. Donc pour tout k≥2, 7k = 7²×7k−2 ≡ 0×7k−2 = 0 [49] (dès que la puissance contient un facteur 7²).
→ 7100 = (7²)50 = 4950, qui est un multiple de 49.
= 7100 ≡ 0 [49].
Ex.12 ★ Défi BAC Expertes ★★★
→ Raisonnement par contraposée/absurde : supposons n=ab avec 1
→ Identité algébrique : xab−1 = (xa−1)(xa(b−1)+xa(b−2)+...+xa+1), donc 2a−1 divise 2ab−1 = 2n−1.
→ Comme 1a−1<2n−1 : c'est un diviseur STRICT de 2n−1 (ni 1 ni lui-même), ce qui contredit l'hypothèse que 2n−1 est premier.
→ La supposition "n composé" est donc absurde : n doit être premier.
= Si 2n−1 est premier, alors n est nécessairement premier (contraposée : n composé ⟹ 2n−1 composé).
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