Fiche N° 08Chapitre 8 — Nombres premiers
Primalité, décomposition, théorème de Fermat

★

Déterminer si ces nombres sont premiers.

1. 97
2. 143
3. 289

Décomposer en produit de facteurs premiers.

1. 360
2. 1 764
3. 10 000

Preuve d'Euclide : supposer qu'il n'existe qu'un nombre fini de premiers p₁,...,pₙ.

1. Former N = p₁×p₂×...×pₙ + 1.
2. Montrer que N n'est divisible par aucun pᵢ.
3. Contradiction ?

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Fiche N° 08

★★

a=2³×3²×5 et b=2×3³×7.

1. Calculer PGCD(a,b) par les décompositions.
2. Calculer PPCM(a,b).
3. Vérifier a×b = PGCD×PPCM.

Trouver tous les nombres premiers jusqu'à 50 par le crible.

1. Lister 2 à 50, barrer les multiples de 2, 3, 5, 7.
2. Pourquoi s'arrêter à 7 ? (√50 ≈ 7,07)
3. Combien de premiers y a-t-il ?

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★★

Les nombres de Mersenne sont 2^p−1 (p premier).

1. Calculer M₂, M₃, M₅, M₇.
2. Lesquels sont premiers ?
3. M₁₁ = 2047 = 23×89. Est-il premier ?

En cryptographie RSA : choisir p=5, q=7, n=35, e=5, d=5 (ed≡1[24]).

1. Chiffrer m=2 : c=m^e [n].
2. Déchiffrer : m=c^d [n].
3. Vérifier qu'on retrouve m=2.

Calculer 17¹⁰⁰ [25].

1. Chercher la période de 17^k [25].
2. 17¹, 17², 17⁴ [25].
3. Décomposer 100 en puissances de 2.

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★★★

Si n = p₁^a₁×...×pₖ^aₖ, alors nb de diviseurs = (a₁+1)×...×(aₖ+1).

1. Combien de diviseurs a 360 ?
2. Trouver un entier ayant exactement 12 diviseurs.

Calculer 7¹⁰⁰ [49].

1. 7² = 49 ≡ 0 [49]. Conclusion ?
2. Exprimer 7¹⁰⁰ en fonction de 49.

Montrer que si 2ⁿ−1 est premier, alors n est premier.

1. Supposer n=ab avec 1a−1 divise 2ⁿ−1.
2. Conclure par l'absurde.

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