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TERMINALE — MATHS EXPERTES
Fiche N° 09Chapitre 9 — Matrices
Opérations matricielles, inverse, suites

Chapitre 9 — Matrices

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC Expertes
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1Opérations sur les matrices★4 pts
A=[[1,2],[3,4]], B=[[0,1],[−1,2]], C=[[2],[1]].
  1. Calculer A+B, 2A−B.
  2. Calculer A×C.
Réponse  
Ex.2Produit matriciel★4 pts
A=[[1,2],[3,4]], B=[[2,0],[1,3]].
  1. Calculer AB.
  2. Calculer BA.
  3. AB = BA ?
Réponse  
Ex.3Matrice identité et propriétés★3 pts
I₂=[[1,0],[0,1]] · AI=IA=A
  1. Vérifier AI=A pour A=[[2,3],[1,−1]].
  2. A²=A×A. Calculer A² pour A=[[1,1],[0,1]].
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Matrices
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4Déterminant et inverse★4 pts
det([[a,b],[c,d]])=ad−bc · A⁻¹=1/det×[[d,−b],[−c,a]]
A=[[3,2],[1,4]]. Calculer det(A) et A⁻¹.
Réponse  
Ex.5Système linéaire — méthode matricielle★★4 pts
Résoudre AX=B avec A=[[2,1],[3,−1]] et B=[[5],[4]].
  1. Calculer A⁻¹.
  2. Calculer X=A⁻¹×B.
Réponse  
Ex.6Puissances de matrices★★4 pts
M=[[1,1],[0,1]].
  1. Calculer M², M³, M⁴.
  2. Conjecturer Mn.
  3. Démontrer par récurrence.
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Matrices
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7Suites définies par matrices★★4 pts
(uₙ₊₁, vₙ₊₁) = M×(uₙ,vₙ) avec M=[[2,1],[0,3]], u₀=1, v₀=0.
  1. Calculer (u₁,v₁), (u₂,v₂).
  2. Exprimer (uₙ,vₙ) = Mn×(u₀,v₀) — calculer M2 et M3.
Réponse  
Ex.8Valeurs propres — introduction★★4 pts
Un vecteur v est vecteur propre de valeur propre λ si Mv=λv.
  1. M=[[3,1],[0,2]]. Vérifier que [1,0] est VP de valeur propre 3.
  2. Vérifier que [1,−1] est VP de valeur propre 2.
Réponse  
Ex.9Diagonalisation★★★4 pts
M=[[3,1],[0,2]], valeurs propres 3 et 2, vecteurs propres [1,0] et [1,−1].
  1. Former P=[[1,1],[0,−1]] et D=[[3,0],[0,2]].
  2. Vérifier que M=PDP⁻¹.
  3. En déduire Mn.
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Matrices
Fiche N° 09
★★★
Niveau 3 — Type BAC ExpertesEx. 10 à 12
Ex.10Matrices de transition — Markov★★★4 pts
T=[[0.7,0.3],[0.4,0.6]] : proba de transition (chaîne de Markov).
  1. État initial v₀=(1,0). Calculer v₁=Tt×v₀ et v₂.
  2. L'état stationnaire vérifie Tv=v. Le trouver.
Réponse  
Ex.11Matrices et géométrie★★★4 pts
La rotation d'angle θ est représentée par R=[[cosθ,−sinθ],[sinθ,cosθ]].
  1. Calculer R(π2) et R(π).
  2. Montrer que R(θ)×R(φ)=R(θ+φ).
  3. Que vaut R(θ)n ?
Réponse  
Ex.12★ Défi BAC Expertes★★★5 pts
Soit M=[[a,b],[c,d]] avec tr(M)=a+d=λ₁+λ₂ et det(M)=λ₁λ₂.
  1. Montrer que M satisfait M²−tr(M)M+det(M)I=0 (Cayley-Hamilton).
  2. En déduire M²=tr(M)M−det(M)I.
  3. Exprimer Mn pour n≥2 en fonction de M et I.
Réponse  
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch9 — Matrices
✦ Corrigé — Ch9 — Matrices
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Addition de matrices ★
(A+B)ᵢⱼ=Aᵢⱼ+Bᵢⱼ
→ Même taille obligatoire
→ Additionner terme à terme
= Ex: [[1,2],[3,4]]+[[5,6],[7,8]]=[[6,8],[10,12]]
Ex.2 Multiplication scalaire ★
(λA)ᵢⱼ=λ×Aᵢⱼ
→ Multiplier chaque terme par λ
= Ex: 3×[[1,2],[3,4]]=[[3,6],[9,12]]
Ex.3 Produit matriciel ★
(AB)ᵢⱼ = Σₖ AᵢₖBₖⱼ
→ Ligne de A × colonne de B
→ [[1,2],[3,4]]×[[5,6],[7,8]]
→ = [[1×5+2×7, 1×6+2×8],[3×5+4×7, 3×6+4×8]]
= = [[19,22],[43,50]]
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Matrice inverse ★★
A⁻¹ si det(A)≠0
→ det([[a,b],[c,d]])=ad−bc
→ A⁻¹=1/det × [[d,−b],[−c,a]]
= Ex: det=ad−bc · A⁻¹=(1/(ad−bc))[[d,−b],[−c,a]]
Ex.5 Système linéaire — méthode matricielle ★★
AX=B → X=A⁻¹B
→ Écrire sous forme matricielle
→ Calculer A⁻¹
→ X=A⁻¹×B
= Solution du système
Ex.6 Suites et matrices ★★
Matrice de transition
→ Vₙ₊₁=M×Vₙ
→ Vₙ=Mⁿ×V₀
→ Calculer Mⁿ par diagonalisation ou récurrence
= Vₙ = Mⁿ × V₀
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✦ CORRIGÉ Ch9 — Matrices
✦ Corrigé — Ch9 — Matrices
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
🔒 Correction disponible en version Premium — mathsotop.netlify.app
Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
🔒 Correction disponible en version Premium — mathsotop.netlify.app
★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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