Chapitre 9 — Matrices

M

A=[[1,2],[3,4]], B=[[0,1],[−1,2]], C=[[2],[1]]

→ 1) A+B = [[1,3],[2,6]] ; 2A−B = [[2,3],[7,6]]

→ 2) A×C = [[4],[10]]

= A+B=[[1,3],[2,6]], 2A−B=[[2,3],[7,6]] · A×C=[[4],[10]]

A=[[1,2],[3,4]], B=[[2,0],[1,3]]

→ 1) AB = [[4,6],[10,12]]

→ 2) BA = [[2,4],[10,14]]

→ 3) AB ≠ BA (le produit matriciel n'est pas commutatif)

= AB=[[4,6],[10,12]] · BA=[[2,4],[10,14]] · AB≠BA

I₂=[[1,0],[0,1]], AI=IA=A

→ 1) A=[[2,3],[1,−1]] : AI = [[2,3],[1,−1]] = A ✓

→ 2) A=[[1,1],[0,1]] : A² = [[1,2],[0,1]]

= AI=A vérifié · A²=[[1,2],[0,1]]

det=ad−bc, A⁻¹=1det×[[d,−b],[−c,a]]

→ A=[[3,2],[1,4]] : det(A) = 3×4−2×1 = 10

→ A⁻¹ = 110×[[4,−2],[−1,3]]

= det(A)=10 · A⁻¹=110×[[4,−2],[−1,3]]

AX=B, A=[[2,1],[3,−1]], B=[[5],[4]]

→ 1) det(A)=2×(−1)−1×3=−5 → A⁻¹ = −15×[[−1,−1],[−3,2]] = [[15,1/5],[35,−25]]

→ 2) X=A⁻¹B = [[15×5+15×4],[35×5−25×4]] = [[95],[75]]

= A⁻¹=[[15,1/5],[35,−25]] · X=[[95],[75]]

M=[[1,1],[0,1]]

→ 1) M²=[[1,2],[0,1]], M³=[[1,3],[0,1]], M⁴=[[1,4],[0,1]]

→ 2) conjecture : Mⁿ = [[1,n],[0,1]]

→ 3) récurrence : vrai au rang 1 ; si Mⁿ=[[1,n],[0,1]], alors Mⁿ⁺¹=Mⁿ×M=[[1,n+1],[0,1]] → hérédité vérifiée

= Mⁿ=[[1,n],[0,1]] (démontré par récurrence)

M

→ v₀=0 et la 2ᵉ ligne de M est [0,3], donc v_(n+1)=3v_n : comme v₀=0, on a v_n=0 pour tout n.

→ (u₁,v₁)=M(u₀,v₀)=(2×1+1×0, 3×0)=(2,0) ; (u₂,v₂)=M(u₁,v₁)=(2×2+1×0, 3×0)=(4,0).

→ M² = [[4,5],[0,9]] ; M³ = M²×M = [[8,19],[0,27]] (calculs matriciels directs).

= (u₁,v₁)=(2,0) ; (u₂,v₂)=(4,0) ; M²=[[4,5],[0,9]] ; M³=[[8,19],[0,27]] (et u_n=2ⁿ, v_n=0).

→ M[1,0]ᵀ = (3×1+1×0, 0×1+2×0) = (3,0) = 3×(1,0) : c'est bien un vecteur propre pour la valeur propre 3.

→ M[1,−1]ᵀ = (3×1+1×(−1), 0×1+2×(−1)) = (2,−2) = 2×(1,−1) : c'est bien un vecteur propre pour la valeur propre 2.

= [1,0] est vecteur propre de valeur propre 3 ; [1,−1] est vecteur propre de valeur propre 2 (vérifications directes).

→ P=[[1,1],[0,−1]] a pour déterminant −1, et on vérifie P²=I, donc P⁻¹=P (P est involutive).

→ PD = [[1,1],[0,−1]]×[[3,0],[0,2]] = [[3,2],[0,−2]] ; puis PDP = [[3,2],[0,−2]]×[[1,1],[0,−1]] = [[3,1],[0,2]] = M. ✓

→ Mⁿ = P Dⁿ P⁻¹ = P Dⁿ P (car P⁻¹=P) : P Dⁿ = [[3ⁿ, 2ⁿ],[0,−2ⁿ]], puis (P Dⁿ)P = [[3ⁿ, 3ⁿ−2ⁿ],[0, 2ⁿ]].

= M = P D P⁻¹ (vérifié) ; Mⁿ = [[3ⁿ, 3ⁿ−2ⁿ],[0, 2ⁿ]].

→ Tᵀ = [[0.7,0.4],[0.3,0.6]]. v₁ = Tᵀv₀ = (0.7×1+0.4×0, 0.3×1+0.6×0) = (0.7, 0.3).

→ v₂ = Tᵀv₁ = (0.7×0.7+0.4×0.3, 0.3×0.7+0.6×0.3) = (0.49+0.12, 0.21+0.18) = (0.61, 0.39).

→ État stationnaire : on résout Tᵀv=v (même convention qu'en 1), avec v=(x,y), x+y=1 : 0.7x+0.4y=x et 0.3x+0.6y=y ⟹ −0.3x+0.4y=0 ⟹ x/y=43.

→ En posant x=4k, y=3k : x+y=7k=1 ⟹ k=17, donc x=47, y=37.

= v₁=(0.7,0.3) ; v₂=(0.61,0.39) ; état stationnaire = (47, 37) ≈ (0.571, 0.429).

→ R(π2) = [[cos90°,−sin90°],[sin90°,cos90°]] = [[0,−1],[1,0]] ; R(π) = [[−1,0],[0,−1]] = −I.

→ R(θ)R(φ) : en développant le produit matriciel et en utilisant cos(θ+φ)=cosθcosφ−sinθsinφ et sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ, on retrouve exactement les coefficients de R(θ+φ).

→ Par récurrence immédiate à partir de R(θ)R(φ)=R(θ+φ) : R(θ)ⁿ = R(nθ).

= R(π2)=[[0,−1],[1,0]] ; R(π)=−I ; R(θ)R(φ)=R(θ+φ) ; R(θ)ⁿ = R(nθ).

→ M² = [[a²+bc, b(a+d)],[c(a+d), d²+bc]] ; tr(M)M = [[a²+ad, b(a+d)],[c(a+d), ad+d²]] ; det(M)I = (ad−bc)I.

→ M² − tr(M)M + det(M)I, coefficient par coefficient : (a²+bc)−(a²+ad)+(ad−bc)=0, et de même pour les 3 autres coefficients : la matrice différence est nulle.

→ On en déduit directement M² = tr(M)M − det(M)I.

→ Par récurrence, Mⁿ⁺¹=Mⁿ·M ; en écrivant Mⁿ=α_nM+β_nI, la relation M²=tr(M)M−det(M)I donne α_(n+1)=tr(M)α_n+β_n, β_(n+1)=−det(M)α_n : Mⁿ reste toujours une combinaison linéaire de M et de I.

= M² − tr(M)M + det(M)I = 0 (Cayley-Hamilton) ; M² = tr(M)M − det(M)I ; pour n≥2, Mⁿ = α_nM + β_nI où (α_n),(β_n) vérifient la récurrence ci-dessus (Mⁿ reste combinaison linéaire de M et I).