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1ÈRE SPÉ MATHS

Fiche N° 10Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles
Loi, espérance, variance, écart-type

Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles

12 EXERCICES

Nom — Prénom

Classe

Date

Niveau →

Type BAC

★

Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3

Ex.1 Loi de probabilité — tableau ★ 4 pts

X est le nb de piles en 2 lancers d'une pièce équilibrée.

Dresser le tableau de la loi de X.
Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.

Réponse  

Ex.2 Espérance ★ 4 pts

E(X) = Σ xᵢP(X=xᵢ)

x	−2	0	1	3
P	0,1	0,3	0,4	0,2

Calculer E(X).

Réponse  

Ex.3 Variance et écart-type ★ 4 pts

V(X)=E(X²)−[E(X)]² · σ(X)=√V(X)

Pour la loi ci-dessus (Ex.2), calculer V(X) et σ(X).

Réponse  

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Fiche N° 10Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles
Fiche N° 10

★★

Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6

Ex.4 Loi binomiale — reconnaissance ★ 3 pts

X∼B(n,p) : n répétitions indép., P(succès)=p

Reconnaître si X suit une loi binomiale.

20 lancers d'un dé, X = nb de '6'.
Tirage de 5 cartes sans remise, X = nb de cœurs.

Réponse  

Ex.5 Loi binomiale — calculs ★★ 4 pts

P(X=k)=(nk)×pᵏ×(1−p)ⁿ⁻ᵏ

X∼B(10 ; 0,3).

Calculer P(X=3).
Calculer P(X≤1).
Calculer E(X) et σ(X).

Réponse  

Ex.6 Propriétés de E et V ★★ 4 pts

E(aX+b)=aE(X)+b · V(aX+b)=a²V(X) · E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(X)=3, V(X)=4. Calculer :

E(2X+1)
V(2X+1)
E(X−E(X))

Réponse  

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Fiche N° 10Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles
Fiche N° 10

★★

Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9

Ex.7 Espérance et jeu ★★ 4 pts

Jeu : on lance un dé. Si 6 : on gagne 5€. Sinon : on perd 1€.

Définir la variable X (gain algébrique).
Dresser la loi de X.
Calculer E(X). Le jeu est-il équitable ?

Réponse  

Ex.8 Loi binomiale — problème ★★ 4 pts

Dans une usine, 8% des pièces sont défectueuses. On contrôle 20 pièces.

Modéliser par une loi binomiale.
Calculer P(X=0) et P(X≥2).
Calculer E(X).

Réponse  

Ex.9 Concentration — inégalité de Markov ★★★ 4 pts

P(X≥a) ≤ EXa pour X≥0

X∼B(100,0,05). E(X)=5.

Majorer P(X≥20) avec Markov.
Comparer à la vraie valeur (très petite).

Réponse  

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Fiche N° 10Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles
Fiche N° 10

★★★

Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12

Ex.10 Somme de variables aléatoires ★★★ 4 pts

X et Y indépendants avec X∼B(5,0,3) et Y∼B(5,0,3).

Calculer E(X+Y) et V(X+Y).
Quelle est la loi de X+Y ?

Réponse  

Ex.11 Loi géométrique (approche) ★★★ 4 pts

On lance un dé jusqu'au premier 6. Soit X le nb de lancers.

Calculer P(X=1), P(X=2), P(X=3).
P(X=k) en général ?
E(X) = 6. Vérifier pour les premières valeurs.

Réponse  

Ex.12 ★ Défi — Bienaymé-Tchebychev ★★★ 5 pts

P(|X−E(X)| ≥ k×σ) ≤ 1/k²

X∼B(100,0,5). E(X)=50, σ=5.

Majorer P(|X−50|≥15) avec l'inégalité (k=3).
Interpréter : quelle est la probabilité que X soit à plus de 3σ de sa moyenne ?

Réponse  

✦ Auto-évaluation

✅ Maîtrisé

⚠️ À retravailler

❓ Non acquis

Mon score : _____ / 48 pts

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      Ch10 — Variables aléatoires réelles
    

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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6

★

Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3

Ex.1 Loi de probabilité — tableau ★

X = nb de piles en 2 lancers

→ 1) P(X=0)=14, P(X=1)=12, P(X=2)=14

→ 2) somme = 14+12+14 = 1 ✓

= 14, 12, 14 · somme=1

Ex.2 Espérance ★

E(X) = Σ xᵢP(X=xᵢ)

→ E(X) = −2×0,1 + 0×0,3 + 1×0,4 + 3×0,2

→ E(X) = −0,2+0+0,4+0,6 = 0,8

= E(X) = 0,8

Ex.3 Variance et écart-type ★

V(X)=E(X²)−[E(X)]² · σ(X)=√V(X)

→ E(X²) = 4×0,1+0×0,3+1×0,4+9×0,2 = 0,4+0,4+1,8 = 2,6

→ V(X) = 2,6−0,8² = 2,6−0,64 = 1,96

→ σ(X) = √1,96 = 1,4

= V(X)=1,96 · σ(X)=1,4

★★

Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6

Ex.4 Loi binomiale — reconnaissance ★★

X∼B(n,p) : n répétitions indépendantes, P(succès)=p

→ 1) 20 lancers d'un dé, X=nb de '6' : répétitions identiques et indépendantes → binomiale B(20 ; 16)

→ 2) tirage de 5 cartes sans remise : tirages non indépendants → PAS une loi binomiale

= binomiale B(20;16) · pas binomiale (sans remise)

Ex.5 Loi binomiale — calculs ★★

P(X=k)=(nk)×pᵏ×(1−p)ⁿ⁻ᵏ, X∼B(10;0,3)

→ 1) P(X=3) = (103)×0,3³×0,7⁷ ≈ 120×0,002224 ≈ 0,267

→ 2) P(X≤1) = P(X=0)+P(X=1) = 0,7¹⁰+10×0,3×0,7⁹ ≈ 0,028+0,121 ≈ 0,149

→ 3) E(X)=np=10×0,3=3 ; σ(X)=√np(1−p)=√2,1≈1,45

= P(X=3)≈0,267 · P(X≤1)≈0,149 · E(X)=3, σ(X)≈1,45

Ex.6 Propriétés de E et V ★★

E(aX+b)=aE(X)+b · V(aX+b)=a²V(X)

→ 1) E(2X+1) = 2×3+1 = 7

→ 2) V(2X+1) = 2²×4 = 16

→ 3) E(X−E(X)) = E(X)−E(X) = 0

= E(2X+1)=7 · V(2X+1)=16 · 0

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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12

★★

Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9

Ex.7 Espérance et jeu ★★

→ X prend la valeur +5 si on obtient un 6 (proba 16), et −1 sinon (proba 56)

→ Loi de X : P(X=5)=16 ; P(X=−1)=56

→ E(X) = 5×(16) + (−1)×(56) = 56 − 56 = 0

= E(X) = 0 : le jeu est équitable

Ex.8 Loi binomiale — problème ★★

→ X ~ B(20 ; 0,08) (nombre de pièces défectueuses parmi 20)

→ P(X=0) = (0,92)²⁰ ≈ 0,1887 ; P(X=1) = C(20,1)×0,08×(0,92)¹⁹ ≈ 0,3282 ; P(X≥2) = 1−P(X=0)−P(X=1) ≈ 1−0,1887−0,3282

→ E(X) = np = 20×0,08

= P(X=0) ≈ 0,189 ; P(X≥2) ≈ 0,483 ; E(X) = 1,6

Ex.9 Concentration — inégalité de Markov ★★★

→ Markov : P(X≥20) ≤ EX20 = 520 = 0,25

→ Pour X~B(100;0,05), écart-type σ=√(100×0,05×0,95)≈2,18. La valeur 20 est à environ 20−52,18≈6,9 écarts-types de la moyenne : la vraie probabilité est en réalité extrêmement faible (bien inférieure à 0,25)

= Majorant de Markov : P(X≥20) ≤ 0,25 ; la vraie valeur est bien plus petite — Markov donne une borne très large, peu précise ici

★★★

Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12

Ex.10 Somme de variables aléatoires ★★★

→ E(X+Y) = E(X)+E(Y) = 5×0,3+5×0,3 = 1,5+1,5

→ X,Y indépendantes : V(X+Y)=V(X)+V(Y) = 5×0,3×0,7 + 5×0,3×0,7 = 1,05+1,05

→ Somme de deux binomiales indépendantes de même p : X+Y suit une loi binomiale de paramètres (5+5 ; 0,3)

= E(X+Y)=3 ; V(X+Y)=2,1 ; X+Y ~ B(10 ; 0,3)

Ex.11 Loi géométrique (approche) ★★★

→ P(X=1) = 16 ; P(X=2) = (56)×(16) = 536 ; P(X=3) = (56)²×(16) = 25216

→ Formule générale : P(X=k) = (56)^k−1 × (16) (loi géométrique de paramètre 16)

→ E(X) = 1p = 1/(16) = 6, ce qui est cohérent avec le fait qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir un 6

= P(X=1)=16, P(X=2)=536, P(X=3)=25216 ; P(X=k)=(56)^k−1×(16) ; E(X)=6

Ex.12 ★ Défi — Bienaymé-Tchebychev ★★★

→ k=3 : k×σ = 3×5 = 15, donc P(|X−50|≥15) ≤ 1/k² = 19

→ 19 ≈ 0,111 : cette borne signifie que la probabilité que X s'écarte de sa moyenne de plus de 3 écarts-types (donc X≤35 ou X≥65) est au plus d'environ 11,1%

= P(|X−50|≥15) ≤ 19 ≈ 11,1 % : c'est une borne large (majorant universel), la vraie probabilité pour une loi binomiale est en général bien plus petite

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