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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 10Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles
Loi, espérance, variance, écart-type

Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Loi de probabilité — tableau ★ 4 pts
X est le nb de piles en 2 lancers d'une pièce équilibrée.
  1. Dresser le tableau de la loi de X.
  2. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Réponse  
Ex.2 Espérance ★ 4 pts
E(X) = Σ xᵢP(X=xᵢ)
x−2013
P0,10,30,40,2
Calculer E(X).
Réponse  
Ex.3 Variance et écart-type ★ 4 pts
V(X)=E(X²)−[E(X)]² · σ(X)=√V(X)
Pour la loi ci-dessus (Ex.2), calculer V(X) et σ(X).
Réponse  
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Fiche N° 10Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles
Fiche N° 10
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Loi binomiale — reconnaissance ★ 3 pts
X∼B(n,p) : n répétitions indép., P(succès)=p
Reconnaître si X suit une loi binomiale.
  1. 20 lancers d'un dé, X = nb de '6'.
  2. Tirage de 5 cartes sans remise, X = nb de cœurs.
Réponse  
Ex.5 Loi binomiale — calculs ★★ 4 pts
P(X=k)=C(n,k)×pᵏ×(1−p)ⁿ⁻ᵏ
X∼B(10 ; 0,3).
  1. Calculer P(X=3).
  2. Calculer P(X≤1).
  3. Calculer E(X) et σ(X).
Réponse  
Ex.6 Propriétés de E et V ★★ 4 pts
E(aX+b)=aE(X)+b · V(aX+b)=a²V(X) · E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(X)=3, V(X)=4. Calculer :
  1. E(2X+1)
  2. V(2X+1)
  3. E(X−E(X))
Réponse  
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Fiche N° 10Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles
Fiche N° 10
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Espérance et jeu ★★ 4 pts
Jeu : on lance un dé. Si 6 : on gagne 5€. Sinon : on perd 1€.
  1. Définir la variable X (gain algébrique).
  2. Dresser la loi de X.
  3. Calculer E(X). Le jeu est-il équitable ?
Réponse  
Ex.8 Loi binomiale — problème ★★ 4 pts
Dans une usine, 8% des pièces sont défectueuses. On contrôle 20 pièces.
  1. Modéliser par une loi binomiale.
  2. Calculer P(X=0) et P(X≥2).
  3. Calculer E(X).
Réponse  
Ex.9 Concentration — inégalité de Markov ★★★ 4 pts
P(X≥a) ≤ EXa pour X≥0
X∼B(100,0,05). E(X)=5.
  1. Majorer P(X≥20) avec Markov.
  2. Comparer à la vraie valeur (très petite).
Réponse  
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Fiche N° 10Chapitre 10 — Variables aléatoires réelles
Fiche N° 10
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Somme de variables aléatoires ★★★ 4 pts
X et Y indépendants avec X∼B(5,0,3) et Y∼B(5,0,3).
  1. Calculer E(X+Y) et V(X+Y).
  2. Quelle est la loi de X+Y ?
Réponse  
Ex.11 Loi géométrique (approche) ★★★ 4 pts
On lance un dé jusqu'au premier 6. Soit X le nb de lancers.
  1. Calculer P(X=1), P(X=2), P(X=3).
  2. P(X=k) en général ?
  3. E(X) = 6. Vérifier pour les premières valeurs.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Bienaymé-Tchebychev ★★★ 5 pts
P(|X−E(X)| ≥ k×σ) ≤ 1/k²
X∼B(100,0,5). E(X)=50, σ=5.
  1. Majorer P(|X−50|≥15) avec l'inégalité (k=3).
  2. Interpréter : quelle est la probabilité que X soit à plus de 3σ de sa moyenne ?
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Variable aléatoire — définition ★
X prend des valeurs x₁,x₂,...
→ X associe un nombre à chaque issue
→ Σ P(X=xᵢ) = 1
= Distribution de probabilité
Ex.2 Espérance ★
E(X) = Σ xᵢ×P(X=xᵢ)
→ E(X) = x₁×p₁+x₂×p₂+...
= Valeur moyenne à long terme
Ex.3 Variance ★
V(X) = E(X²) − [E(X)]²
→ Calculer E(X²) = Σxᵢ²×pᵢ
→ V(X) = E(X²)−(E(X))²
= Mesure de dispersion
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Écart-type ★★
σ(X) = √V(X)
→ Calculer V(X) d'abord
→ σ = √V(X)
= Même unité que X
Ex.5 Loi uniforme ★★
Toutes les issues équiprobables
→ X sur {1,...,n} : P(X=k)=1/n
→ E(X)=n+12
= Ex: dé → E(X)=72=3,5
Ex.6 Problème de V.A. ★★
Jeu de hasard
→ Dresser le tableau de distribution
→ Calculer E(X)
→ E(X)>0 → favorable · E(X)<0 → défavorable
= Jeu favorable si E(X)>0
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✦ CORRIGÉ Ch10 — Variables aléatoires réelles
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🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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