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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 01Chapitre 1 — Suites numériques
Arithmétiques, géométriques, récurrence

Chapitre 1 — Suites numériques

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Suites arithmétiques — bases ★ 4 pts
Calculer le premier terme et la raison, puis les 5 premiers termes.
  1. u₁=3, raison r=4
  2. u₁=20, raison r=−3
Réponse  
Ex.2 Terme général arithmétique ★ 4 pts
uₙ = u₁ + (n−1)×r
Calculer.
  1. u₁=5, r=3. Calculer u₁₀ et u₅₀.
  2. u₃=11, u₇=19. Trouver r et u₁.
Réponse  
Ex.3 Suites géométriques — bases ★ 4 pts
uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹
u₁=2, q=3. Calculer u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ et u₁₀.
Réponse  
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Fiche N° 01Chapitre 1 — Suites numériques
Fiche N° 01
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Reconnaître une suite ★ 3 pts
Déterminer si la suite est arithmétique, géométrique ou aucune.
  1. 3, 7, 11, 15, 19...
  2. 2, 6, 18, 54...
  3. 1, 2, 4, 7, 11...
Réponse  
Ex.5 Somme d'une suite arithmétique ★★ 4 pts
Sₙ = n × u₁+uₙ2
  1. Calculer 1+2+3+...+100.
  2. Suite arith. u₁=3, r=5. Calculer S₁₀.
Réponse  
Ex.6 Somme d'une suite géométrique ★★ 4 pts
Sₙ = u₁ × 1−qⁿ1−q (q≠1)
  1. u₁=1, q=2. Calculer S₁₀.
  2. Somme des puissances de 3 : 1+3+9+...+3⁸.
Réponse  
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Fiche N° 01Chapitre 1 — Suites numériques
Fiche N° 01
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Suite définie par récurrence ★★ 4 pts
u₁=2, uₙ₊₁ = 3uₙ − 1.
  1. Calculer u₂, u₃, u₄.
  2. Poser vₙ = uₙ − 12. Montrer que (vₙ) est géométrique.
  3. En déduire uₙ.
Réponse  
Ex.8 Problème — intérêts composés ★★ 4 pts
Un capital de 5 000 € est placé à 3% d'intérêts annuels composés.
  1. Exprimer Cₙ (capital après n ans) en fonction de n.
  2. Calculer C₅ et C₁₀.
  3. Après combien d'années le capital dépasse-t-il 7 000 € ?
Réponse  
Ex.9 Raisonnement par récurrence ★★★ 4 pts
Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 : 1+2+...+n = nn+12.
  1. Initialisation (n=1).
  2. Hérédité : supposer vrai au rang n, montrer au rang n+1.
  3. Conclure.
Réponse  
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Fiche N° 01Chapitre 1 — Suites numériques
Fiche N° 01
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Suite encadrée ★★★ 4 pts
uₙ = 2n+1n+3.
  1. Calculer u₁, u₅, u₁₀, u₁₀₀.
  2. La suite semble-t-elle convergente ? Vers quelle valeur ?
  3. Démontrer que uₙ < 2 pour tout n.
Réponse  
Ex.11 Suites et algorithme ★★★ 4 pts
On cherche le plus petit entier n tel que (0,9)ⁿ < 0,1.
  1. Calculer (0,9)10, (0,9)20, (0,9)²².
  2. Encadrer la solution.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Suite de Fibonacci ★★★ 5 pts
Fibonacci : F₁=1, F₂=1, Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ.
  1. Calculer F₁ à F₁₀.
  2. Calculer les rapports F₂/F₁, F₃/F₂, ..., F₁₀/F₉. Vers quoi convergent-ils ?
  3. Montrer que φ²=φ+1 pour φ=1+√52.
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Suites arithmétiques — bases ★
u₁=3,r=4 · u₁=20,r=−3
→ Cas 1 : u₁=3, r=4 → u₂=7, u₃=11, u₄=15, u₅=19
→ Cas 2 : u₁=20, r=−3 → u₂=17, u₃=14, u₄=11, u₅=8
= 3,7,11,15,19 · 20,17,14,11,8
Ex.2 Terme général arithmétique ★
u_n=u₁+(n−1)×r
→ (1) u₁=5, r=3 → u₁₀=5+9×3=32 et u₅₀=5+49×3=152
→ (2) u₇−u₃=4r=19−11=8 → r=2 ; u₁=u₃−2r=11−4=7
= u₁₀=32, u₅₀=152 · r=2, u₁=7
Ex.3 Suites géométriques — bases ★
u_n=u₁×qn−1, u₁=2, q=3
→ u₁=2, u₂=6, u₃=18, u₄=54, u₅=162
→ u₁₀=u₁×q⁹=2×19 683=39 366
= 2,6,18,54,162 · u₁₀=39 366
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Reconnaître une suite ★★
3,7,11,15,19 · 2,6,18,54 · 1,2,4,7,11
→ (1) différences constantes égales à 4 → arithmétique de raison 4
→ (2) rapports constants égaux à 3 → géométrique de raison 3
→ (3) différences 1,2,3,4 non constantes et rapports non constants → ni l'une ni l'autre
= Arithmétique · Géométrique · Ni l'une ni l'autre
Ex.5 Somme d'une suite arithmétique ★★
S_n=n×u₁+u_n2
→ (1) 1+2+...+100 = S₁₀₀ = 100×1+1002 = 5 050
→ (2) u₁=3, r=5 → u₁₀=3+9×5=48 ; S₁₀=10×3+482=255
= 5 050 · 255
Ex.6 Somme d'une suite géométrique ★★
S_n=u₁×1−qn1−q
→ (1) u₁=1, q=2 → S₁₀=1−2101−2=1−1024−1=1 023
→ (2) 1+3+9+...+3⁸ = 3⁹−13−1 = 19 683−12 = 9 841
= S₁₀=1 023 · Somme=9 841
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Suite définie par récurrence ★★
→ u₂=3×2−1=5 ; u₃=3×5−1=14 ; u₄=3×14−1=41
→ v_{n+1} = u_{n+1}−12 = (3u_n−1)−12 = 3u_n−32 = 3(u_n−12) = 3v_n : (v_n) est géométrique de raison 3
→ v₁ = u₁−12 = 32, donc v_n = (32)×3n−1 = 3ⁿ/2, d'où u_n = v_n+12 = 3ⁿ+12
= u₂=5, u₃=14, u₄=41 ; (v_n) géométrique de raison 3 ; u_n = 3ⁿ+12
Ex.8 Problème — intérêts composés ★★
→ C_n = 5000×1,03ⁿ
→ C₅ = 5000×1,03⁵ ≈ 5796,37 € ; C₁₀ = 5000×1,0310 ≈ 6719,58 €
→ 5000×1,03ⁿ > 7000 ⟺ 1,03ⁿ > 1,4. À l'aide de la calculatrice (essais successifs) :
n = 10 : 1,0310≈1,344 (<1,4) ; n = 11 : 1,03¹¹≈1,384 (<1,4) ; n = 12 : 1,03¹²≈1,426 (>1,4)
→ Vérification directe : C₁₁ = 5000×1,03¹¹ ≈ 6921,17 € < 7000 € alors que C₁₂ = 5000×1,03¹² ≈ 7128,81 € > 7000 €
= C₅ ≈ 5796,37 € ; C₁₀ ≈ 6719,58 € ; le capital dépasse 7000 € au bout de 12 ans (n = 12 est le plus petit entier qui convient)
Ex.9 Raisonnement par récurrence ★★★
→ Initialisation (n=1) : 1 = 1×22 = 1, vrai
→ Hérédité : on suppose 1+2+...+n = nn+12. Alors 1+2+...+n+(n+1) = nn+12 + (n+1) = (n+1)(n2+1) = (n+1)(n+2)2
→ On retrouve la formule au rang n+1 : (n+1)((n+1)+1)2
= La propriété est initialisée et héréditaire : par récurrence, elle est vraie pour tout n≥1
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Suite encadrée ★★★
→ u₁ = 34 = 0,75 ; u₅ = 118 = 1,375 ; u₁₀ = 2113 ≈ 1,615 ; u₁₀₀ = 201103 ≈ 1,951
→ La suite semble converger vers 2
→ u_n < 2 ⟺ 2n+1n+3 < 2 ⟺ 2n+1 < 2n+6 ⟺ 1 < 6, ce qui est toujours vrai
= La suite semble converger vers 2 ; on démontre que u_n < 2 pour tout n (l'inégalité se ramène à 1<6, toujours vraie)
Ex.11 Suites et algorithme ★★★
→ (0,9)10 ≈ 0,3487 ; (0,9)20 = [(0,9)10]² ≈ 0,1216 ; (0,9)²² ≈ 0,1216×0,81 ≈ 0,0985
→ (0,9)²¹ ≈ 0,1216×0,9 ≈ 0,1094 > 0,1, alors que (0,9)²² ≈ 0,0985 < 0,1
= Le plus petit entier n tel que (0,9)ⁿ < 0,1 est n = 22
Ex.12 ★ Défi — Suite de Fibonacci ★★★
→ F₁..F₁₀ : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
→ Rapports successifs : 1 ; 2 ; 1,5 ; 1,667 ; 1,6 ; 1,625 ; 1,615 ; 1,619 ; 1,618 — ils se rapprochent de φ=1+√52≈1,618
→ φ² = [1+√52]² = 1+2√5+54 = 6+2√54 = 3+√52
→ φ+1 = 1+√52+1 = 3+√52 : on retrouve bien φ²=φ+1
= F₁..F₁₀ = 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 ; les rapports convergent vers φ≈1,618 ; φ² = φ+1 est vérifié
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