Fiche N° 02Chapitre 2 — Second degré
Discriminant, forme canonique, signe
Chapitre 2 — Second degré
12 EXERCICES
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1
Développer et identifier
★
4 pts
Pour chaque trinôme ax²+bx+c, identifier a, b, c et calculer Δ=b²−4ac.
- f(x) = x²−5x+6
- g(x) = 2x²+3x−2
- h(x) = −x²+4x−4
Réponse
Ex.2
Résoudre ax²+bx+c=0
★
4 pts
Résoudre et donner les racines.
- x²−5x+6=0
- 2x²+5x+2=0
- x²−6x+9=0
- x²+x+1=0
Réponse
Ex.3
Forme canonique
★
4 pts
f(x)=a(x−α)²+β avec α=−b2a et β=f(α)
Écrire sous forme canonique.
- f(x)=x²−4x+7
- g(x)=2x²+8x−3
Réponse
mathsotop.frCh2 — Second degré1 / 4
Fiche N° 02Chapitre 2 — Second degré
Fiche N° 02
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4
Signe d'un trinôme
★
3 pts
Étudier le signe de f(x) = x²−x−6 (factoriser d'abord).
- Trouver les racines.
- Dresser le tableau de signe.
- Résoudre f(x) ≤ 0.
Réponse
Ex.5
Somme et produit des racines
★★
4 pts
x₁+x₂=−ba et x₁×x₂=ca
Sans résoudre l'équation :
- x²−7x+12=0. Calculer x₁+x₂ et x₁×x₂.
- Vérifier en résolvant.
- Trouver l'équation dont les racines sont 3 et 5.
Réponse
Ex.6
Extremum d'un trinôme
★★
4 pts
f(x) = −2x²+8x−3.
- Calculer le sommet (α, f(α)).
- La fonction a-t-elle un maximum ou un minimum ? Quelle valeur ?
- Sur quel intervalle f est-elle croissante ?
Réponse
mathsotop.frCh2 — Second degré2 / 4
Fiche N° 02Chapitre 2 — Second degré
Fiche N° 02
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7
Problème — trajectoire
★★
4 pts
Un ballon lancé suit la trajectoire y(x)=−0,1x²+1,2x+2 (y en m, x en m).
- Quelle est la hauteur initiale ?
- À quelle hauteur maximale arrive-t-il ? Pour x=?
- Pour x=0, quand touche-t-il le sol ?
Réponse
Ex.8
Équation bicarrée
★★
4 pts
Résoudre en posant X=x².
- x⁴−5x²+4=0
- x⁴−13x²+36=0
Réponse
Ex.9
Inéquation du 2nd degré
★★★
4 pts
Résoudre chaque inéquation.
- x²−3x−10 > 0
- −x²+5x−4 ≥ 0
- x²+2x+5 > 0
Réponse
mathsotop.frCh2 — Second degré3 / 4
Fiche N° 02Chapitre 2 — Second degré
Fiche N° 02
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10
Paramètre dans le discriminant
★★★
4 pts
f(x) = x²−2kx+k+2 (k réel).
- Calculer Δ en fonction de k.
- Pour quelles valeurs de k l'équation a-t-elle deux racines réelles distinctes ?
Réponse
Ex.11
Trinôme et factorisation
★★★
4 pts
P(x) = 2x³−5x²−4x+3.
- Vérifier que x=3 est racine.
- Factoriser P(x) en utilisant la division polynomiale.
- Résoudre P(x)=0.
Réponse
Ex.12
★ Défi
★★★
5 pts
ax²+bx+c=0 avec Δ>0. Racines x₁ et x₂.
- Exprimer (x₁−x₂)² en fonction de Δ et a.
- Si x₁+x₂=5 et x₁×x₂=6, trouver (x₁−x₂)².
- En déduire les racines sans résoudre l'équation.
Réponse
✦ Auto-évaluation
Mon score : _____ / 48 pts
mathsotop.frCh2 — Second degré4 / 4
✦ CORRIGÉ
Ch2 — Second degré
✦ Corrigé — Ch2 — Second degré
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile
Ex. 1 à 3
Ex.1
Développer et identifier
★
f(x)=x²−5x+6 · g(x)=2x²+3x−2 · h(x)=−x²+4x−4
→ (1) a=1, b=−5, c=6 → Δ=25−24=1
→ (2) a=2, b=3, c=−2 → Δ=9+16=25
→ (3) a=−1, b=4, c=−4 → Δ=16−16=0
= Δ=1 · Δ=25 · Δ=0
Ex.2
Résoudre ax²+bx+c=0
★
x²−5x+6=0 · 2x²+5x+2=0 · x²−6x+9=0 · x²+x+1=0
→ (1) Δ=1 → x=5±12 → x=3 ou x=2
→ (2) Δ=9 → x=−5±34 → x=−12 ou x=−2
→ (3) Δ=0 → x=3 (racine double)
→ (4) Δ=−3<0 → pas de solution réelle
= 3 ou 2 · −12 ou −2 · x=3 · aucune solution
Ex.3
Forme canonique
★
f(x)=a(x−α)²+β, α=−b/2a, β=f(α)
→ (1) f(x)=x²−4x+7 : α=2, β=f(2)=4−8+7=3 → f(x)=(x−2)²+3
→ (2) g(x)=2x²+8x−3 : α=−2, β=g(−2)=8−16−3=−11 → g(x)=2(x+2)²−11
= (x−2)²+3 · 2(x+2)²−11
★★
Niveau 2 — Intermédiaire
Ex. 4 à 6
Ex.4
Signe d'un trinôme
★★
f(x)=x²−x−6
→ (1) f(x)=(x−3)(x+2) → racines x=3 et x=−2
→ (2) a=1>0 : f négatif entre les racines, positif à l'extérieur
→ (3) f(x)≤0 ⟺ x∈[−2 ; 3]
= x=−2 ou 3 · négatif sur ]−2;3[ · [−2;3]
Ex.5
Somme et produit des racines
★★
x₁+x₂=−ba, x₁×x₂=ca
→ (1) x²−7x+12=0 : somme=7, produit=12
→ (2) Δ=49−48=1 → x=7±12 → x=4 ou x=3 (somme 7, produit 12 ✓)
→ (3) racines 3 et 5 : somme=8, produit=15 → x²−8x+15=0
= somme=7,produit=12 · x=3 ou 4 · x²−8x+15=0
Ex.6
Extremum d'un trinôme
★★
f(x)=−2x²+8x−3
→ (1) α=−b/2a=2, f(2)=−8+16−3=5 → sommet (2 ; 5)
→ (2) a=−2<0 → maximum, valeur 5
→ (3) f croissante sur ]−∞ ; 2]
= Sommet (2;5) · Maximum=5 · Croissante sur ]−∞;2]
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✦ CORRIGÉ
Ch2 — Second degré
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite)
Ex. 7 à 9
Ex.7
Problème — trajectoire
★★
→ Hauteur initiale : y(0) = 2 m
→ Sommet de la parabole : x = −b2a = −1,2/(2×(−0,1)) = 6 ; y(6) = −0,1×36+1,2×6+2 = −3,6+7,2+2 = 5,6
→ Il touche le sol quand y=0 : −0,1x²+1,2x+2=0 ⟺ x²−12x−20=0 ; Δ=144+80=224, √224=4√14 ; x=12+4√142 ≈13,48 (l'autre racine négative est rejetée)
= Hauteur initiale = 2 m ; hauteur maximale ≈ 5,6 m en x=6 ; il touche le sol vers x≈13,5 m
Ex.8
Équation bicarrée
★★
→ x⁴−5x²+4=0, X=x² : X²−5X+4=0 ⟺ (X−1)(X−4)=0 ⟹ X=1 ou X=4 ⟹ x=±1 ou x=±2
→ x⁴−13x²+36=0, X=x² : Δ=169−144=25 ⟹ X=13±52 = 9 ou 4 ⟹ x=±3 ou x=±2
= x = ±1, ±2 et x = ±2, ±3
Ex.9
Inéquation du 2nd degré
★★★
→ x²−3x−10 > 0 : Δ=9+40=49, racines 3±72 = 5 ou −2. Parabole vers le haut : >0 en dehors des racines
→ −x²+5x−4 ≥ 0 ⟺ x²−5x+4 ≤ 0 (on multiplie par −1) : racines 1 et 4, donc ≤0 entre les racines
→ x²+2x+5 > 0 : Δ=4−20=−16 < 0, pas de racine réelle, parabole toujours positive (a=1>0)
= x<−2 ou x>5 ; 1≤x≤4 ; vrai pour tout x réel
★★★
Niveau 3 — Difficile
Ex. 10 à 12
Ex.10
Paramètre dans le discriminant
★★★
→ Δ = (−2k)²−4(k+2) = 4k²−4k−8 = 4(k²−k−2) = 4(k−2)(k+1)
→ Deux racines distinctes ⟺ Δ>0 ⟺ (k−2)(k+1)>0
= Δ = 4(k−2)(k+1) ; deux racines réelles distinctes pour k<−1 ou k>2
Ex.11
Trinôme et factorisation
★★★
→ P(3) = 2×27−5×9−4×3+3 = 54−45−12+3 = 0 : x=3 est bien racine
→ Division de P(x) par (x−3) (division de Horner avec 3 sur les coefficients 2,−5,−4,3) : quotient 2x²+x−1
→ 2x²+x−1 : Δ=1+8=9 ⟹ racines −1±34 = 12 ou −1, donc 2x²+x−1=(2x−1)(x+1)
= P(x) = (x−3)(2x−1)(x+1) ; P(x)=0 pour x=3, x=12 ou x=−1
Ex.12
★ Défi
★★★
→ (x₁−x₂)² = (x₁+x₂)²−4x₁x₂ = (−ba)²−4(ca) = b²−4aca² = Δ/a²
→ Avec x₁+x₂=5 et x₁x₂=6 : (x₁−x₂)² = 5²−4×6 = 25−24 = 1, donc x₁−x₂=±1
→ En combinant x₁+x₂=5 et x₁−x₂=1 : x₁=3, x₂=2
= (x₁−x₂)² = Δ/a² ; ici (x₁−x₂)²=1 ; les racines sont 2 et 3
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