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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 03Chapitre 3 — Dérivation
Dérivée, tangente, règles de calcul

Chapitre 3 — Dérivation

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Taux de variation et dérivée ★ 4 pts
f(x) = x²+1.
  1. Calculer le taux de variation entre x=2 et x=2+h.
  2. Simplifier l'expression.
  3. Que devient-elle quand h→0 ? C'est f'(2).
Réponse  
Ex.2 Dérivées usuelles ★ 4 pts
Dérivées : c'=0 · (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ · (√x)'=12√x · (eˣ)'=eˣ · (ln x)'=1x
Calculer f'(x).
a) f(x)=x⁴
b) f(x)=3x²−5x+2
c) f(x)=√x
d) f(x)=1x
Réponse
Ex.3 Règles de dérivation ★ 4 pts
(u+v)'=u'+v' · (ku)'=ku' · (uv)'=u'v+uv' · (u/v)'=u'v−uv'v²
Calculer f'(x).
  1. f(x)=(x²+1)(x−3)
  2. f(x)=xx+1
  3. f(x)=(2x+1)³ [règle chaîne]
Réponse  
mathsotop.netlify.appCh3 — Dérivation1 / 4
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Fiche N° 03Chapitre 3 — Dérivation
Fiche N° 03
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Équation de la tangente ★ 4 pts
Tangente en a : y = f'(a)(x−a) + f(a)
Trouver l'équation de la tangente en x=1.
  1. f(x)=x²+x−1
  2. f(x)=1x
Réponse  
Ex.5 Tableau de variations ★★ 4 pts
f(x)=x³−3x+2.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x).
  3. Dresser le tableau de variations de f.
  4. Calculer les extremums locaux.
Réponse  
Ex.6 Dérivée de fonctions composées ★★ 4 pts
[g∘f]'(x) = f'(x) × g'(f(x))
Calculer f'(x).
  1. f(x) = (x²+1)⁴
  2. f(x) = √3x−2
  3. f(x) = e2x+1
  4. f(x) = ln(x²+1)
Réponse  
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Fiche N° 03Chapitre 3 — Dérivation
Fiche N° 03
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Signe de la dérivée et variations ★★ 4 pts
f(x)=x−1x+2 sur ]−∞;−2[ et ]−2;+∞[.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x).
  3. Conclure sur les variations de f.
Réponse  
Ex.8 Problème — optimisation ★★ 4 pts
Un fermier veut délimiter un enclos rectangulaire contre un mur (le mur fait un côté). Il dispose de 60m de grillage.
  1. Appeler x la longueur perpendiculaire au mur. Exprimer la largeur y.
  2. Exprimer l'aire A(x).
  3. Trouver x qui maximise l'aire.
Réponse  
Ex.9 Dérivée seconde et convexité ★★★ 4 pts
f''(x)>0 → f convexe · f''(x)<0 → f concave
f(x)=x³−6x²+9x+1.
  1. Calculer f'(x) et f''(x).
  2. Trouver le point d'inflexion.
  3. Dresser le tableau de variations avec convexité.
Réponse  
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Fiche N° 03Chapitre 3 — Dérivation
Fiche N° 03
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Tangente et courbe ★★★ 4 pts
f(x)=x³−3x. La tangente en A(1,f(1)) est-elle parallèle à la droite y=9x−1 ?
  1. Calculer f(1) et f'(1).
  2. Comparer les pentes.
Réponse  
Ex.11 Problème — profit ★★★ 4 pts
Le profit P(x)=−2x²+100x−500 (x unités vendues, x∈[0;50]).
  1. Calculer P'(x).
  2. Pour quelle valeur de x le profit est-il maximal ?
  3. Quel est ce profit maximum ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
f(x)=x1+x².
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x) sur ℝ.
  3. Trouver les extremums globaux.
  4. Montrer que la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch3 — Dérivation
✦ Corrigé — Ch3 — Dérivation
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Dérivées usuelles ★
f(x)=x⁴
→ f'(x)=4x³
= 4x³
f(x)=3x²−5x+2
→ f'(x)=6x−5
= 6x − 5
f(x)=√x
→ f'(x)=1/(2√x)
= 1/(2√x)
f(x)=1/x
→ f'(x)=−1/x²
= −1/x²
Ex.2 Dérivée d'un produit ★
(u×v)'=u'v+uv'
→ f(x)=x²×sin(x)
→ u=x², u'=2x · v=sin(x), v'=cos(x)
→ f'=2x×sin(x)+x²×cos(x)
= 2x·sin(x) + x²·cos(x)
Ex.3 Dérivée d'un quotient ★
(uv)'=u'v−uv'v²
→ f(x)=2x+1x−1
→ u'=2, v'=1
→ f'=(2(x−1)−(2x+1)×1)/(x−1)²=−3x−1²
= f'(x) = −3/(x−1)²
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Dérivée de composée ★★
f(x)=sin(3x+1)
→ (g∘u)' = u'×g'(u)
→ u=3x+1, u'=3
→ f'=3×cos(3x+1)
= 3cos(3x+1)
Ex.5 Tangente ★★
Tangente en x=2 à y=x²
→ f(2)=4 · f'(x)=2x · f'(2)=4
→ y−4=4(x−2)
= y = 4x − 4
Ex.6 Sens de variation ★★
f(x)=x³−3x
→ f'(x)=3x²−3=3(x²−1)
→ f'=0 → x=±1
→ f'>0 sur ]−∞;−1[∪]1;+∞[
= Croissante sur ]−∞;−1[ et ]1;+∞[ · Décroissante sur ]−1;1[
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch3 — Dérivation
✦ Corrigé — Ch3 — Dérivation
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
🔒 Correction disponible en version Premium — mathsotop.netlify.app
Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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