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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 03Chapitre 3 — Dérivation
Dérivée, tangente, règles de calcul

Chapitre 3 — Dérivation

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Taux de variation et dérivée ★ 4 pts
f(x) = x²+1.
  1. Calculer le taux de variation entre x=2 et x=2+h.
  2. Simplifier l'expression.
  3. Que devient-elle quand h→0 ? C'est f'(2).
Réponse  
Ex.2 Dérivées usuelles ★ 4 pts
Dérivées : c'=0 · (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ · (√x)'=12√x · (eˣ)'=eˣ
Calculer f'(x).
a) f(x)=x⁴
b) f(x)=3x²−5x+2
c) f(x)=√x
d) f(x)=1x
Réponse
Ex.3 Règles de dérivation ★ 4 pts
(u+v)'=u'+v' · (ku)'=ku' · (uv)'=u'v+uv' · (uv)'=u'v−uv'v²
Calculer f'(x).
  1. f(x)=(x²+1)(x−3)
  2. f(x)=xx+1
  3. f(x)=(2x+1)³ [règle chaîne]
Réponse  
mathsotop.frCh3 — Dérivation1 / 4
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Fiche N° 03Chapitre 3 — Dérivation
Fiche N° 03
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Équation de la tangente ★ 4 pts
Tangente en a : y = f'(a)(x−a) + f(a)
Trouver l'équation de la tangente en x=1.
  1. f(x)=x²+x−1
  2. f(x)=1x
Réponse  
Ex.5 Tableau de variations ★★ 4 pts
f(x)=x³−3x+2.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x).
  3. Dresser le tableau de variations de f.
  4. Calculer les extremums locaux.
Réponse  
Ex.6 Dérivée de fonctions composées ★★ 4 pts
[g∘f]'(x) = f'(x) × g'(f(x))
Calculer f'(x).
  1. f(x) = (x²+1)⁴
  2. f(x) = √3x−2
  3. f(x) = e2x+1
  4. f(x) = 1x²+1
Réponse  
mathsotop.frCh3 — Dérivation2 / 4
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Fiche N° 03Chapitre 3 — Dérivation
Fiche N° 03
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Signe de la dérivée et variations ★★ 4 pts
f(x)=x−1x+2 sur ]−∞;−2[ et ]−2;+∞[.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x).
  3. Conclure sur les variations de f.
Réponse  
Ex.8 Problème — optimisation ★★ 4 pts
Un fermier veut délimiter un enclos rectangulaire contre un mur (le mur fait un côté). Il dispose de 60m de grillage.
  1. Appeler x la longueur perpendiculaire au mur. Exprimer la largeur y.
  2. Exprimer l'aire A(x).
  3. Trouver x qui maximise l'aire.
Réponse  
Ex.9 Dérivée seconde et convexité ★★★ 4 pts
f''(x)>0 → f convexe · f''(x)<0 → f concave
f(x)=x³−6x²+9x+1.
  1. Calculer f'(x) et f''(x).
  2. Trouver le point d'inflexion.
  3. Dresser le tableau de variations avec convexité.
Réponse  
mathsotop.frCh3 — Dérivation3 / 4
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Fiche N° 03Chapitre 3 — Dérivation
Fiche N° 03
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Tangente et courbe ★★★ 4 pts
f(x)=x³−3x. La tangente en A(1,f(1)) est-elle parallèle à la droite y=9x−1 ?
  1. Calculer f(1) et f'(1).
  2. Comparer les pentes.
Réponse  
Ex.11 Problème — profit ★★★ 4 pts
Le profit P(x)=−2x²+100x−500 (x unités vendues, x∈[0;50]).
  1. Calculer P'(x).
  2. Pour quelle valeur de x le profit est-il maximal ?
  3. Quel est ce profit maximum ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
f(x)=x1+x².
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x) sur ℝ.
  3. Trouver les extremums globaux.
  4. Montrer que la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch3 — Dérivation
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Taux de variation et dérivée ★
f(x)=x²+1
→ Taux entre 2 et 2+h : [f(2+h)−f(2)]/h = [(2+h)²+1−5]/h = 4h+h²h
→ = 4+h après simplification
→ Limite quand h→0 : 4 = f'(2)
= Taux=4+h · f'(2)=4
Ex.2 Dérivées usuelles ★
c'=0 · (xn)'=nxn−1 · (√x)'=12√x · (ex)'=ex
→ (a) f(x)=x⁴ → f'(x)=4x³
→ (b) f(x)=3x²−5x+2 → f'(x)=6x−5
→ (c) f(x)=√x → f'(x)=12√x
→ (d) f(x)=1x → f'(x)=−1/x²
= 4x³ · 6x−5 · 12√x · −1/x²
Ex.3 Règles de dérivation ★
(u+v)'=u'+v' · (uv)'=u'v+uv' · (uv)'=u'v−uv'v²
→ (1) f(x)=(x²+1)(x−3) → f'(x)=2x(x−3)+(x²+1)=3x²−6x+1
→ (2) f(x)=xx+1 → f'(x)=1(x+1)²
→ (3) f(x)=(2x+1)³ → f'(x)=6(2x+1)² (dérivée composée)
= 3x²−6x+1 · 1x+1² · 6(2x+1)²
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Équation de la tangente ★★
y=f'(a)(x−a)+f(a)
→ (1) f(x)=x²+x−1 : f(1)=1, f'(1)=3 → tangente y=3(x−1)+1=3x−2
→ (2) f(x)=1x : f(1)=1, f'(1)=−1 → tangente y=−(x−1)+1=−x+2
= y=3x−2 · y=−x+2
Ex.5 Tableau de variations ★★
f(x)=x³−3x+2
→ (1) f'(x)=3x²−3
→ (2) f'(x)=0 ⟺ x=±1 ; f'>0 hors de [−1;1], f'<0 sur ]−1;1[
→ (3) croissante sur ]−∞;−1], décroissante sur [−1;1], croissante sur [1;+∞[
→ (4) maximum local f(−1)=4, minimum local f(1)=0
= f'(x)=3x²−3 · extrema en x=±1 · max=4, min=0
Ex.6 Dérivée de fonctions composées ★★
[g∘f]'(x)=f'(x)×g'(f(x))
→ (1) f(x)=(x²+1)⁴ → f'(x)=8x(x²+1)³
→ (2) f(x)=√3x−2 → f'(x)=32√3x−2
→ (3) f(x)=e2x+1 → f'(x)=2e2x+1
→ (4) f(x)=1x²+1 = (x²+1)⁻¹ → f'(x)=−2x×(x²+1)⁻² = −2x(x²+1)²
= 8x(x²+1)³ · 3/(2√(3x−2)) · 2e2x+1 · −2x/(x²+1)²
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Signe de la dérivée et variations ★★
→ f'(x) = [(1)(x+2)−(x−1)(1)]/(x+2)² = [x+2−x+1]/(x+2)² = 3x+2²
→ Le numérateur (3) est positif et le dénominateur (x+2)² est positif pour tout x≠−2 : f'(x)>0 partout où elle est définie
→ f est strictement croissante sur ]−∞;−2[ et strictement croissante sur ]−2;+∞[ (séparément, la fonction n'étant pas définie en x=−2)
= f'(x) = 3x+2² > 0 ; f strictement croissante sur chacun des deux intervalles
Ex.8 Problème — optimisation ★★
→ Le mur fournit un côté gratuitement : le grillage sert pour 2 côtés de longueur x et 1 côté de longueur y : 2x+y=60 ⟹ y=60−2x
→ A(x) = x×y = x(60−2x) = 60x−2x²
→ A'(x) = 60−4x = 0 ⟹ x=15 ; A(15) = 15×(60−30) = 15×30
= y=60−2x ; A(x)=60x−2x² ; aire maximale pour x=15 m (A=450 m²)
Ex.9 Dérivée seconde et convexité ★★★
→ f'(x) = 3x²−12x+9 = 3(x−1)(x−3) ; f''(x) = 6x−12
→ Point d'inflexion : f''(x)=0 ⟺ x=2 ; f(2)=8−24+18+1=3, donc point d'inflexion (2;3)
→ f'(x)>0 pour x<1, <0 pour 1<x<3, >0 pour x>3 : maximum local en x=1 (f(1)=5), minimum local en x=3 (f(3)=1)
→ f concave (f''<0) sur ]−∞;2[, convexe (f''>0) sur ]2;+∞[
= f'(x)=3(x−1)(x−3), f''(x)=6x−12 ; max local 5 en x=1, min local 1 en x=3 ; inflexion en (2;3), concave avant, convexe après
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Tangente et courbe ★★★
→ f(1) = 1−3 = −2 ; f'(x)=3x²−3, donc f'(1) = 3−3 = 0
→ La pente de la tangente en A est 0, alors que la droite y=9x−1 a une pente de 9
= 0 ≠ 9 : la tangente en A n'est PAS parallèle à la droite y=9x−1
Ex.11 Problème — profit ★★★
→ P'(x) = −4x+100
→ P'(x)=0 ⟺ x=25 ; comme a=−2<0, c'est un maximum
→ P(25) = −2×625+100×25−500 = −1250+2500−500
= P'(x)=−4x+100 ; profit maximal pour x=25 unités ; profit maximum = 750
Ex.12 ★ Défi ★★★
→ f'(x) = [(1)(1+x²)−x×2x]/(1+x²)² = 1−x²1+x²²
→ Le dénominateur est toujours positif ; f'(x)>0 pour −1<x<1, f'(x)<0 pour |x|>1, f'(x)=0 en x=±1
→ f décroît, croît puis décroît : minimum en x=−1 (f(−1)=−12), maximum en x=1 (f(1)=12) ; comme f(x)→0 en ±∞ sans dépasser ces bornes, ce sont des extremums globaux
→ f(−x) = −x1+x² = −f(x) : f est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'origine
= f'(x)=1−x²1+x²² ; maximum global 12 en x=1, minimum global −12 en x=−1 ; f impaire ⟹ symétrie par rapport à l'origine
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