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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 04Chapitre 4 — Variations et courbes
Tableau de variations, extremums, convexité

Chapitre 4 — Variations et courbes

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Lire un tableau de variations ★ 4 pts
f est définie sur [−3;5]. Tableau de variations : ↗ de f(−3)=−2 à f(0)=4, ↘ de f(0)=4 à f(2)=1, ↗ de f(2)=1 à f(5)=6.
  1. Maximum et minimum globaux sur [−3;5].
  2. Résoudre approximativement f(x)=3.
Réponse  
Ex.2 Calculer les extremums ★ 4 pts
f(x)=2x³−9x²+12x−4.
  1. Calculer f'(x).
  2. Résoudre f'(x)=0.
  3. Dresser le tableau de variations.
Réponse  
Ex.3 Extremum global sur un segment ★ 4 pts
f(x)=x³−3x sur [−2;2].
  1. Dresser le tableau de variations.
  2. Quel est le maximum de f sur [−2;2] ?
  3. Quel est le minimum de f sur [−2;2] ?
Réponse  
mathsotop.frCh4 — Variations et courbes1 / 4
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Fiche N° 04Chapitre 4 — Variations et courbes
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Convexité — dérivée seconde ★ 4 pts
f''(x)>0 : convexe ∪ · f''(x)<0 : concave ∩
f(x)=x³.
  1. Calculer f'(x) et f''(x).
  2. Sur quel intervalle f est-elle convexe ?
  3. Quel est le point d'inflexion ?
Réponse  
Ex.5 Tableau complet — variations et convexité ★★ 4 pts
f(x)=x⁴−4x².
  1. Calculer f'(x) et f''(x).
  2. Trouver les extremums et les points d'inflexion.
  3. Dresser le tableau complet.
Réponse  
Ex.6 Courbe de fonction rationnelle ★★ 4 pts
f(x)=x²−1x²+1.
  1. Domaine de définition.
  2. Parité de f.
  3. Calculer f'(x) et étudier les variations.
Réponse  
mathsotop.frCh4 — Variations et courbes2 / 4
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Fiche N° 04Chapitre 4 — Variations et courbes
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Asymptotes ★★ 4 pts
f(x)=2xx−1.
  1. Domaine de définition.
  2. Asymptote verticale (x→1).
  3. Asymptote horizontale (x→±∞).
  4. Tableau de variations.
Réponse  
Ex.8 Variations et équations ★★ 4 pts
f(x)=x³−6x²+9x. f est croissante sur ]−∞;1] et [3;+∞[.
  1. Combien de solutions a f(x)=4 ? Justifier avec le tableau.
  2. Résoudre f(x)=0.
Réponse  
Ex.9 Courbe paramétrique (approche) ★★★ 4 pts
La courbe C a pour équation y=f(x)=x³−3x²+1.
  1. Calculer tous les extremums et points d'inflexion.
  2. Tracer la courbe sur [−1;4].
Réponse  
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Fiche N° 04
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Extremums sous contrainte ★★★ 4 pts
On veut maximiser xy avec x+y=10 et x,y>0.
  1. Exprimer y en fonction de x.
  2. Exprimer P(x)=xy en fonction de x seul.
  3. Trouver le maximum de P.
Réponse  
Ex.11 Fonctions et variations — inéquation ★★★ 4 pts
f(x)=x−√x (x≥0).
  1. Calculer f'(x).
  2. Montrer que f est décroissante sur [0;14] et croissante sur [14;+∞[.
  3. En déduire que x≥√x pour x≥1.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Approximation ★★★ 5 pts
Méthode de Newton : pour résoudre f(x)=0, partant de x₀, on calcule xₙ₊₁=xₙ−fxₙf'(xₙ).
  1. f(x)=x²−2. Calculer f'(x).
  2. Partir de x₀=1. Calculer x₁, x₂, x₃.
  3. Vers quelle valeur converge-t-on ?
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Lire un tableau de variations ★
f sur [−3;5] : ↗ de −2 à 4, ↘ de 4 à 1, ↗ de 1 à 6
→ (1) maximum global = 6 (en x=5), minimum global = −2 (en x=−3)
→ (2) f(x)=3 : la valeur 3 est atteinte sur chacune des trois branches monotones → 3 solutions approximatives, lues sur le graphique
= max=6, min=−2 · environ 3 solutions à f(x)=3
Ex.2 Calculer les extremums ★
f(x)=2x³−9x²+12x−4
→ (1) f'(x)=6x²−18x+12=6(x−1)(x−2)
→ (2) f'(x)=0 ⟺ x=1 ou x=2
→ (3) croissante sur ]−∞;1], décroissante sur [1;2], croissante sur [2;+∞[ ; f(1)=1, f(2)=0
= f'(x)=6(x−1)(x−2) · x=1 ou 2 · max local 1, min local 0
Ex.3 Extremum global sur un segment ★
f(x)=x³−3x sur [−2;2]
→ (1) f'(x)=3x²−3=0 ⟺ x=±1 ; croissante [−2;−1], décroissante [−1;1], croissante [1;2]
→ (2) maximum sur [−2;2] = 2 (atteint en x=−1 et x=2)
→ (3) minimum sur [−2;2] = −2 (atteint en x=−2 et x=1)
= Tableau ci-dessus · max=2 · min=−2
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Convexité — dérivée seconde ★★
f(x)=x³
→ (1) f'(x)=3x², f''(x)=6x
→ (2) f''(x)>0 ⟺ x>0 → f convexe sur ]0;+∞[
→ (3) point d'inflexion en x=0, soit le point (0;0)
= f'=3x², f''=6x · convexe sur ]0;+∞[ · inflexion (0;0)
Ex.5 Tableau complet — variations et convexité ★★
f(x)=x⁴−4x²
→ (1) f'(x)=4x³−8x=4x(x²−2), f''(x)=12x²−8
→ (2) extrema en x=0 (max local, f(0)=0) et x=±√2 (min local, f=−4) ; inflexions en x=±√23
→ (3) décroissante, croissante, décroissante, croissante selon ces points ; convexe pour |x| grand, concave près de 0
= extrema x=0,±√2 · min=−4 · inflexions x=±√23
Ex.6 Courbe de fonction rationnelle ★★
f(x)=x²−1x²+1
→ (1) domaine de définition : ℝ (le dénominateur x²+1 ne s'annule jamais)
→ (2) f(−x)=f(x) → f est paire
→ (3) f'(x)=4x(x²+1)² ; signe de x → décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[
= ℝ · paire · f'(x)=4xx²+1²
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Asymptotes ★★
→ Domaine : x≠1, soit D_f = ℝ\{1}
→ Quand x→1, le dénominateur tend vers 0 (numérateur→2≠0) : asymptote verticale x=1
→ f(x)=2xx−1=2+2x−1→2 quand x→±∞ : asymptote horizontale y=2
→ f'(x) = [2(x−1)−2x]/(x−1)² = −2x−1² < 0 : f strictement décroissante sur chacun des deux intervalles
= D_f=ℝ\{1} ; asymptote verticale x=1 ; asymptote horizontale y=2 ; f décroissante sur ]−∞;1[ et ]1;+∞[
Ex.8 Variations et équations ★★
→ f(1)=1−6+9=4 (maximum local) ; f(3)=27−54+27=0 (minimum local)
→ x³−6x²+9x−4 = (x−1)²(x−4) [on vérifie que x=1 est racine double et x=4 racine simple]
→ f(x)=0 : x³−6x²+9x = x(x−3)² = 0 ⟹ x=0 ou x=3 (racine double)
= f(x)=4 a 2 solutions distinctes (x=1, tangente au maximum, et x=4) ; f(x)=0 a pour solutions x=0 et x=3
Ex.9 Courbe paramétrique (approche) ★★★
→ f'(x)=3x²−6x=3x(x−2), racines 0 et 2 ; f''(x)=6x−6, racine 1
→ Maximum local en x=0 : f(0)=1 ; minimum local en x=2 : f(2)=8−12+1=−3 ; point d'inflexion en x=1 : f(1)=−1
→ Points clés pour le tracé sur [−1;4] : f(−1)=−3, f(0)=1, f(1)=−1, f(2)=−3, f(4)=17
= Max local (0;1), inflexion (1;−1), min local (2;−3) ; la courbe monte, descend puis remonte fortement (f(4)=17)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Extremums sous contrainte ★★★
→ y = 10−x
→ P(x) = x(10−x) = 10x−x²
→ Sommet de la parabole (a=−1<0) : x=−102×−1=5 ; P(5)=5×5
= y=10−x ; P(x)=10x−x² ; maximum P=25 atteint pour x=y=5
Ex.11 Fonctions et variations — inéquation ★★★
→ f'(x) = 1 − 12√x
→ f'(x)=0 ⟺ 2√x=1 ⟺ x=14. Pour x<14, √x<12 donc 12√x>1, f'(x)<0 (décroissante) ; pour x>14, f'(x)>0 (croissante)
→ f(1)=1−1=0. Comme f est croissante sur [14;+∞[ (qui contient [1;+∞[), pour x≥1 on a f(x)≥f(1)=0
= f'(x)=1−12√x ; f décroît sur [0;14], croît sur [14;+∞[ ; pour x≥1, f(x)≥f(1)=0, donc x≥√x
Ex.12 ★ Défi — Approximation ★★★
→ f(x)=x²−2 ⟹ f'(x)=2x
→ x₁ = x₀ − x₀²−22x₀ = 1 − −12 = 1,5
→ x₂ = 1,5 − 2,25−23 = 1,5−0,0833 ≈ 1,41667 ; x₃ = 1,41667 − 0,0069442,83333 ≈ 1,414216
= x₁=1,5 ; x₂≈1,41667 ; x₃≈1,414216 — la suite converge vers √2 ≈ 1,41421356
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