Fiche N° 04Chapitre 4 — Variations et courbes
Tableau de variations, extremums, convexité

★

Ex.1 Lire un tableau de variations ★ 4 pts

f est définie sur [−3;5]. Tableau de variations : ↗ de f(−3)=−2 à f(0)=4, ↘ de f(0)=4 à f(2)=1, ↗ de f(2)=1 à f(5)=6.

1. Maximum et minimum globaux sur [−3;5].
2. Résoudre approximativement f(x)=3.

Ex.2 Calculer les extremums ★ 4 pts

f(x)=2x³−9x²+12x−4.

1. Calculer f'(x).
2. Résoudre f'(x)=0.
3. Dresser le tableau de variations.

Ex.3 Extremum global sur un segment ★ 4 pts

f(x)=x³−3x sur [−2;2].

1. Dresser le tableau de variations.
2. Quel est le maximum de f sur [−2;2] ?
3. Quel est le minimum de f sur [−2;2] ?

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★★

Ex.4 Convexité — dérivée seconde ★ 4 pts

f(x)=x³.

1. Calculer f'(x) et f''(x).
2. Sur quel intervalle f est-elle convexe ?
3. Quel est le point d'inflexion ?

Ex.5 Tableau complet — variations et convexité ★★ 4 pts

f(x)=x⁴−4x².

1. Calculer f'(x) et f''(x).
2. Trouver les extremums et les points d'inflexion.
3. Dresser le tableau complet.

Ex.6 Courbe de fonction rationnelle ★★ 4 pts

f(x)=x²−1x²+1.

1. Domaine de définition.
2. Parité de f.
3. Calculer f'(x) et étudier les variations.

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★★

Ex.7 Asymptotes ★★ 4 pts

f(x)=2xx−1.

1. Domaine de définition.
2. Asymptote verticale (x→1).
3. Asymptote horizontale (x→±∞).
4. Tableau de variations.

Ex.8 Variations et équations ★★ 4 pts

f(x)=x³−6x²+9x. f est croissante sur ]−∞;1] et [3;+∞[.

1. Combien de solutions a f(x)=4 ? Justifier avec le tableau.
2. Résoudre f(x)=0.

Ex.9 Courbe paramétrique (approche) ★★★ 4 pts

La courbe C a pour équation y=f(x)=x³−3x²+1.

1. Calculer tous les extremums et points d'inflexion.
2. Tracer la courbe sur [−1;4].

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★★★

Ex.10 Extremums sous contrainte ★★★ 4 pts

On veut maximiser xy avec x+y=10 et x,y>0.

1. Exprimer y en fonction de x.
2. Exprimer P(x)=xy en fonction de x seul.
3. Trouver le maximum de P.

Ex.11 Fonctions et variations — inéquation ★★★ 4 pts

f(x)=x−√x (x≥0).

1. Calculer f'(x).
2. Montrer que f est décroissante sur [0;14] et croissante sur [14;+∞[.
3. En déduire que x≥√x pour x≥1.

Ex.12 ★ Défi — Approximation ★★★ 5 pts

Méthode de Newton : pour résoudre f(x)=0, partant de x₀, on calcule xₙ₊₁=xₙ−fxₙf'(xₙ).

1. f(x)=x²−2. Calculer f'(x).
2. Partir de x₀=1. Calculer x₁, x₂, x₃.
3. Vers quelle valeur converge-t-on ?

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