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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 05Chapitre 5 — Fonction exponentielle
Propriétés, équations, variations

Chapitre 5 — Fonction exponentielle

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Propriétés algébriques ★ 4 pts
eᵃ⁺ᵇ=eᵃ×eᵇ · eᵃ⁻ᵇ=eᵃ/eᵇ · (eᵃ)ⁿ=eⁿᵃ · e0=1
Simplifier.
a) e³×e⁵
b) e⁷/e³
c) (e²)⁴
d) e⁻²×e⁵
Réponse
Ex.2 Résoudre des équations ★ 4 pts
Résoudre en utilisant eᵃ×eᵇ=eᵃ⁺ᵇ, (eᵃ)ⁿ=eⁿᵃ, et le fait que deux puissances de e sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux.
  1. eˣ × e² = e⁵
  2. (eˣ)³ = e⁻⁶
  3. ex−1 = e³
  4. ex² = e4x−3
Réponse  
Ex.3 Dérivée de eˣ et ef(x) ★ 4 pts
Calculer f'(x).
  1. f(x) = e3x
  2. f(x) = x×eˣ
  3. f(x) = ex²+1
  4. f(x) = eˣ/(eˣ+1)
Réponse  
mathsotop.frCh5 — Fonction exponentielle1 / 4
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Fiche N° 05Chapitre 5 — Fonction exponentielle
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Tableau de variations de eˣ ★ 3 pts
Étudier les variations de f(x)=eˣ.
  1. Donner le domaine de définition.
  2. Calculer f'(x). Signe ?
  3. Dresser le tableau de variations.
  4. Asymptote ?
Réponse  
Ex.5 Variations de eax+b ★★ 4 pts
f(x) = e−2x+1.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier les variations.
  3. Donner la limite en +∞ et −∞.
Réponse  
Ex.6 Équations avec exponentielle ★★ 4 pts
Résoudre.
  1. e2x − (1+e³)eˣ + e³ = 0 [poser X=eˣ]
  2. ex + e−x = 2 [min possible ?]
Réponse  
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Fiche N° 05Chapitre 5 — Fonction exponentielle
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Fonction f(x) = xeˣ ★★ 4 pts
f(x) = xeˣ.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier les variations.
  3. Trouver le minimum.
  4. Dresser le tableau de variations.
Réponse  
Ex.8 Modèle de croissance ★★ 4 pts
Une population évolue selon P(t) = 1000×e0,02t (t en années).
  1. Quelle est la population initiale ?
  2. Calculer P(10) et P(50).
  3. Calculer P'(t) et étudier son signe. Qu'en déduire sur les variations de P ?
Réponse  
Ex.9 Étude complète de f(x) = x e−x ★★★ 4 pts
(uv)'=u'v+uv' · (eax+b)'=a·eax+b
Soit f(x) = x e−x définie sur [−2 ; 3].
  1. Calculer f'(x) [règle du produit, avec u(x)=x et v(x)=e⁻ˣ].
  2. Étudier le signe de f'(x) sur [−2 ; 3].
  3. Dresser le tableau de variations de f sur [−2 ; 3].
  4. En déduire l'extremum de f sur cet intervalle (nature et valeur).
Réponse  
mathsotop.frCh5 — Fonction exponentielle3 / 4
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Fiche N° 05Chapitre 5 — Fonction exponentielle
Fiche N° 05
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Inéquation avec exponentielle ★★★ 4 pts
Résoudre ex²−2x ≤ e3x−4.
  1. Utiliser la propriété : eᵃ ≤ eᵇ ⟺ a ≤ b.
  2. Résoudre l'inéquation du 2nd degré obtenue.
Réponse  
Ex.11 Dérivée et extremums ★★★ 4 pts
f(x) = (x²−x+1)eˣ.
  1. Calculer f'(x).
  2. Factoriser f'(x).
  3. Étudier les variations de f.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
f(x) = eˣ − x − 1.
  1. Calculer f'(x) et f''(x).
  2. Montrer que f admet un minimum en x=0.
  3. En déduire que eˣ ≥ x+1 pour tout réel x.
  4. Vérifier l'inégalité pour x=1 et x=−1.
Réponse  
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch5 — Fonction exponentielle
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Propriétés algébriques ★
ea+b=ea×eb · ea−b=ea/eb · (ea)n=ena
→ (a) e³×e⁵ = e⁸
→ (b) e⁷/e³ = e⁴
→ (c) (e²)⁴ = e⁸
→ (d) e⁻²×e⁵ = e³
= e⁸ · e⁴ · e⁸ · e³
Ex.2 Résoudre des équations ★
eˣ×e²=e⁵ · (eˣ)³=e⁻⁶ · ex−1=e³ · ex²=e4x−3
→ (1) eˣ×e²=ex+2, donc ex+2=e⁵ → x+2=5 → x=3 (même base, on identifie les exposants)
→ (2) (eˣ)³=e3x, donc e3x=e⁻⁶ → 3x=−6 → x=−2
→ (3) x−1=3 → x=4
→ (4) x²=4x−3 → x²−4x+3=0 → (x−1)(x−3)=0 → x=1 ou x=3
= x=3 · x=−2 · x=4 · x=1 ou 3
Ex.3 Dérivée de eˣ et ef(x) ★
f(x)=e3x · x×eˣ · ex²+1 · eˣ/(eˣ+1)
→ (1) f'(x)=3e3x
→ (2) f'(x)=(1+x)eˣ
→ (3) f'(x)=2x·ex²+1
→ (4) f'(x)=eˣ(eˣ+1)²
= 3e3x · (1+x)eˣ · 2x·ex²+1 · eˣ/(eˣ+1)²
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Tableau de variations de eˣ ★★
f(x)=eˣ
→ (1) domaine de définition : ℝ
→ (2) f'(x)=eˣ>0 pour tout x → f strictement croissante sur ℝ
→ (3) f croît de 0 (exclu) à +∞
→ (4) asymptote horizontale y=0 en −∞
= ℝ · croissante · limites 0 et +∞ · asymptote y=0
Ex.5 Variations de eax+b ★★
f(x)=e−2x+1
→ (1) f'(x)=−2e−2x+1
→ (2) f'(x)<0 pour tout x → f strictement décroissante sur ℝ
→ (3) limite en −∞ : +∞ ; limite en +∞ : 0
= f'(x)=−2e−2x+1 · décroissante · lim(−∞)=+∞, lim(+∞)=0
Ex.6 Équations avec exponentielle ★★
e2x−(1+e³)eˣ+e³=0 · eˣ+e⁻ˣ=2
→ (1) poser X=eˣ : X²−(1+e³)X+e³=0 → (X−1)(X−e³)=0 → X=1 ou X=e³ → eˣ=1 ⟹ x=0 (car e0=1), ou eˣ=e³ ⟹ x=3 (même base, on identifie les exposants)
→ (2) eˣ+e⁻ˣ≥2 (inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique), égalité ⟺ eˣ=e⁻ˣ ⟺ x=0 : seule solution x=0
= x=0 ou x=3 · x=0 (minimum atteint)
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✦ CORRIGÉ Ch5 — Fonction exponentielle
✦ Corrigé — Ch5 — Fonction exponentielle
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Fonction f(x) = xeˣ ★★
→ f'(x) = 1×eˣ + x×eˣ = eˣ(1+x) [règle du produit]
→ eˣ>0 toujours, donc le signe de f' est celui de (1+x) : f'<0 pour x<−1, f'>0 pour x>−1
→ f décroît sur ]−∞;−1], croît sur [−1;+∞[ : minimum en x=−1
= f'(x)=eˣ(1+x) ; minimum de f = f(−1) = −1e, atteint en x=−1
Ex.8 Modèle de croissance ★★
→ Population initiale : P(0) = 1000
→ P(10) = 1000×e0,2 ≈ 1221,4 ; P(50) = 1000×e¹ ≈ 2718,3
→ P'(t) = 1000×0,02×e0,02t = 20e0,02t [règle (eax+b)'=a·eax+b]. Or eᵘ>0 toujours, donc P'(t)>0 pour tout t
= P(0)=1000 ; P(10)≈1221 ; P(50)≈2718 ; P'(t)=20e0,02t>0 : P est strictement croissante sur [0;+∞[
Ex.9 Étude complète de f(x) = x e−x ★★★
→ (1) f'(x) = 1×e⁻ˣ + x×(−e⁻ˣ) = e⁻ˣ(1−x) [règle du produit, avec (e⁻ˣ)'=−e⁻ˣ]
→ (2) e⁻ˣ>0 toujours, donc le signe de f' est celui de (1−x) : f'(x)>0 pour x<1, f'(x)<0 pour x>1, f'(1)=0
→ (3) f croît sur [−2;1], décroît sur [1;3]. f(−2)=−2e²≈−14,78 ; f(1)=e⁻¹≈0,37 ; f(3)=3e⁻³≈0,15
→ (4) f admet un maximum sur [−2;3] en x=1, de valeur f(1)=1/e≈0,37
= f'(x)=e⁻ˣ(1−x) ; f croissante sur [−2;1], décroissante sur [1;3] ; maximum f(1)=1/e≈0,37
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Inéquation avec exponentielle ★★★
→ ex²−2x ≤ e3x−4 ⟺ x²−2x ≤ 3x−4 [la fonction exponentielle est strictement croissante]
→ x²−5x+4 ≤ 0 : racines 1 et 4 (produit=4, somme=5) ⟹ (x−1)(x−4)≤0
= L'inéquation équivaut à 1 ≤ x ≤ 4
Ex.11 Dérivée et extremums ★★★
→ f'(x) = (2x−1)eˣ + (x²−x+1)eˣ = eˣ[(2x−1)+(x²−x+1)] = eˣ(x²+x)
→ Factorisation : f'(x) = eˣ×x(x+1)
→ eˣ>0 toujours ; x(x+1)>0 pour x<−1 ou x>0, <0 pour −1<x<0 : f croît, décroît puis croît
= f'(x)=eˣ×x(x+1) ; maximum local f(−1)=3e ; minimum local f(0)=1
Ex.12 ★ Défi ★★★
→ f'(x) = eˣ−1 ; f''(x) = eˣ
→ f'(x)=0 ⟺ x=0. Comme f''(x)=eˣ>0 pour tout x, f est convexe partout, donc x=0 est un minimum (global)
→ f(0) = 1−0−1 = 0 : le minimum de f vaut 0, donc f(x)≥0 pour tout x, soit eˣ−x−1≥0, c'est-à-dire eˣ≥x+1
→ x=1 : e¹≈2,718 ≥ 2 ✓. x=−1 : e⁻¹≈0,368 ≥ 0 ✓
= f'(x)=eˣ−1, f''(x)=eˣ ; minimum global f(0)=0 ; donc eˣ≥x+1 pour tout x réel, vérifié pour x=1 et x=−1
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