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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 06Chapitre 6 — Fonctions trigonométriques
cos, sin, tan — valeurs, équations, dérivées

Chapitre 6 — Fonctions trigonométriques

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Cercle trigonométrique — valeurs remarquables ★ 4 pts
cos(0)=1 · cos(π6)=√32 · cos(π4)=√22 · cos(π3)=12 · cos(π2)=0
Calculer sans calculatrice.
a) cos(π3)
b) sin(π4)
c) tan(π6)
d) cos(2π3)
Réponse
Ex.2 Propriétés de cos et sin ★ 4 pts
Calculer en utilisant les propriétés (parité, périodicité).
  1. cos(−π3)
  2. sin(−π4)
  3. cos(5π3)
  4. sin(7π6)
Réponse  
Ex.3 Équations sin et cos ★ 4 pts
Résoudre sur [0 ; 2π].
  1. cos(x) = 12
  2. sin(x) = −√22
  3. tan(x) = √3
Réponse  
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Fiche N° 06Chapitre 6 — Fonctions trigonométriques
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Identités fondamentales ★ 3 pts
cos²(x)+sin²(x)=1 · tan(x)=sin(x)cos(x)
Si cos(x)=35 et x∈[0;π2] :
  1. Calculer sin(x).
  2. Calculer tan(x).
Réponse  
Ex.5 Dérivées de cos, sin, tan ★★ 4 pts
(cos x)'=−sin x · (sin x)'=cos x · (tan x)'=1+tan²x=1cos²x
Calculer f'(x).
  1. f(x)=cos(3x)
  2. f(x)=sin²(x)
  3. f(x)=x×cos(x)
  4. f(x)=tan(2x)
Réponse  
Ex.6 Variations de sin sur [0;π] ★★ 4 pts
f(x)=sin(x) sur [0;π].
  1. Dresser le tableau de variations.
  2. Maximum et minimum sur [0;π].
  3. Résoudre sin(x)=12 sur [0;π].
Réponse  
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Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Équations générales ★★ 4 pts
Donner les solutions générales (k∈ℤ).
  1. cos(x) = −12
  2. sin(2x) = √32
  3. tan(x) = 1
Réponse  
Ex.8 Problème — oscillation ★★ 4 pts
Un pendule : θ(t) = 0,5×cos(2πt) (θ en radians, t en secondes).
  1. Période d'oscillation.
  2. Amplitude max du mouvement.
  3. Calculer θ(0), θ(14), θ(12).
Réponse  
Ex.9 Étude de f(x)=2sin(x)−x ★★★ 4 pts
f(x) = 2sin(x)−x.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x) sur [0;π].
  3. En déduire que 2sin(x) ≥ x sur [0;π2].
Réponse  
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Fiche N° 06
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Équation avec transformation ★★★ 4 pts
Résoudre sur [0 ; 2π] :
  1. 2cos²(x)−cos(x)−1=0 [poser X=cos(x)]
  2. sin²(x)+sin(x)=0
Réponse  
Ex.11 Produit de fonctions ★★★ 4 pts
f(x) = eˣ×sin(x) sur [0;π].
  1. Calculer f'(x).
  2. Résoudre f'(x)=0 sur [0;π].
  3. Quel est le maximum de f sur [0;π] ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
Montrer que pour tout x∈[0;π2] : sin(x) ≤ x ≤ tan(x).
  1. Poser f(x)=x−sin(x). Montrer f≥0 sur [0;π2].
  2. Poser g(x)=tan(x)−x. Montrer g≥0 sur [0;π2[.
Réponse  
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✦ CORRIGÉ Ch6 — Fonctions trigonométriques
✦ Corrigé — Ch6 — Fonctions trigonométriques
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Cercle trigonométrique ★
cos(x) et sin(x)
→ Point M sur le cercle unité à l'angle x
→ cos(x) = abscisse · sin(x) = ordonnée
→ cos²(x)+sin²(x)=1
= Valeurs remarquables à connaître
Ex.2 Valeurs exactes ★
cos(π/6), sin(π/4), cos(π/3)
→ cos(π/6)=√3/2 · sin(π/6)=12
→ cos(π/4)=sin(π/4)=√2/2
→ cos(π/3)=12 · sin(π/3)=√3/2
= Tableau des valeurs exactes
Ex.3 Dérivées ★
cos'(x) et sin'(x)
→ (sin x)'=cos x
→ (cos x)'=−sin x
= sin'=cos · cos'=−sin
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Résoudre cos(x)=a ★★
cos(x)=12
→ x=π/3+2kπ ou x=−π/3+2kπ
→ k∈ℤ
= S = {π/3+2kπ ; −π/3+2kπ, k∈ℤ}
Ex.5 Périodicité ★★
sin et cos de période 2π
→ sin(x+2π)=sin(x)
→ cos(x+2π)=cos(x)
→ Graphe se répète toutes les 2π unités
= Période = 2π
Ex.6 Équation sin(x)=a ★★
sin(x)=√2/2
→ x=π/4+2kπ ou x=π−π/4+2kπ=3π/4+2kπ
= S = {π/4+2kπ ; 3π/4+2kπ, k∈ℤ}
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✦ CORRIGÉ Ch6 — Fonctions trigonométriques
✦ Corrigé — Ch6 — Fonctions trigonométriques
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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