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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 06Chapitre 6 — Fonctions trigonométriques
cos, sin, tan — valeurs, équations, dérivées

Chapitre 6 — Fonctions trigonométriques

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Cercle trigonométrique — valeurs remarquables ★ 4 pts
cos(0)=1 · cos(π6)=√32 · cos(π4)=√22 · cos(π3)=12 · cos(π2)=0
Calculer sans calculatrice.
a) cos(π3)
b) sin(π4)
c) tan(π6)
d) cos(2π3)
Réponse
Ex.2 Propriétés de cos et sin ★ 4 pts
Calculer en utilisant les propriétés (parité, périodicité).
  1. cos(−π3)
  2. sin(−π4)
  3. cos(5π3)
  4. sin(7π6)
Réponse  
Ex.3 Équations sin et cos ★ 4 pts
Résoudre sur [0 ; 2π].
  1. cos(x) = 12
  2. sin(x) = −√22
  3. tan(x) = √3
Réponse  
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Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Identités fondamentales ★ 3 pts
cos²(x)+sin²(x)=1 · tan(x)=sin(x)cos(x)
Si cos(x)=35 et x∈[0;π2] :
  1. Calculer sin(x).
  2. Calculer tan(x).
Réponse  
Ex.5 Dérivées de cos, sin, tan ★★ 4 pts
(cos x)'=−sin x · (sin x)'=cos x · (tan x)'=1+tan²x=1cos²x
Calculer f'(x).
  1. f(x)=cos(3x)
  2. f(x)=sin²(x)
  3. f(x)=x×cos(x)
  4. f(x)=tan(2x)
Réponse  
Ex.6 Variations de sin sur [0;π] ★★ 4 pts
f(x)=sin(x) sur [0;π].
  1. Dresser le tableau de variations.
  2. Maximum et minimum sur [0;π].
  3. Résoudre sin(x)=12 sur [0;π].
Réponse  
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Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Équations générales ★★ 4 pts
Donner les solutions générales (k∈ℤ).
  1. cos(x) = −12
  2. sin(2x) = √32
  3. tan(x) = 1
Réponse  
Ex.8 Problème — oscillation ★★ 4 pts
Un pendule : θ(t) = 0,5×cos(2πt) (θ en radians, t en secondes).
  1. Période d'oscillation.
  2. Amplitude max du mouvement.
  3. Calculer θ(0), θ(14), θ(12).
Réponse  
Ex.9 Étude de f(x)=2sin(x)−x ★★★ 4 pts
f(x) = 2sin(x)−x.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x) sur [0;π].
  3. En déduire que 2sin(x) ≥ x sur [0;π2].
Réponse  
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Fiche N° 06
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Équation avec transformation ★★★ 4 pts
Résoudre sur [0 ; 2π] :
  1. 2cos²(x)−cos(x)−1=0 [poser X=cos(x)]
  2. sin²(x)+sin(x)=0
Réponse  
Ex.11 Produit de fonctions ★★★ 4 pts
f(x) = eˣ×sin(x) sur [0;π].
  1. Calculer f'(x).
  2. Résoudre f'(x)=0 sur [0;π].
  3. Quel est le maximum de f sur [0;π] ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
Montrer que pour tout x∈[0;π2] : sin(x) ≤ x ≤ tan(x).
  1. Poser f(x)=x−sin(x). Montrer f≥0 sur [0;π2].
  2. Poser g(x)=tan(x)−x. Montrer g≥0 sur [0;π2[.
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Cercle trigonométrique — valeurs remarquables ★
cos(0)=1 · cos(π6)=√32
→ a) cos(π3) = 12
→ b) sin(π4) = √22
→ c) tan(π6) = √33
→ d) cos(2π/3) = −12
= 12 · √22 · √33 · −12
Ex.2 Propriétés de cos et sin ★
parité, périodicité
→ 1) cos(−π3) = cos(π3) = 12 (fonction paire)
→ 2) sin(−π4) = −sin(π4) = −√22 (fonction impaire)
→ 3) cos(5π/3) = cos(−π3) = 12 (périodicité 2π)
→ 4) sin(7π/6) = −sin(π6) = −12
= 12 · −√22 · 12 · −12
Ex.3 Équations sin et cos ★
Résoudre sur [0 ; 2π]
→ 1) cos(x)=12 → x=π3 ou x=5π/3
→ 2) sin(x)=−√22 → x=5π/4 ou x=7π/4
→ 3) tan(x)=√3 → x=π3 ou x=4π/3
= x=π3 ou 5π/3 · x=5π/4 ou 7π/4 · x=π3 ou 4π/3
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Identités fondamentales ★★
cos²(x)+sin²(x)=1 · tan(x)=sin(x)cos(x)
→ 1) cos(x)=35 → sin²(x)=1−925=1625 → sin(x)=45 (x∈[0;π2])
→ 2) tan(x)=sinxcos(x)=4535=43
= sin(x)=45 · tan(x)=43
Ex.5 Dérivées de cos, sin, tan ★★
(cos x)'=−sin x · (sin x)'=cos x · (tan x)'=1+tan²x
→ 1) f(x)=cos(3x) → f'(x)=−3sin(3x)
→ 2) f(x)=sin²(x) → f'(x)=2sin(x)cos(x)=sin(2x)
→ 3) f(x)=x×cos(x) → f'(x)=cos(x)−x·sin(x)
→ 4) f(x)=tan(2x) → f'(x)=2cos²(2x)
= −3sin(3x) · sin(2x) · cos(x)−x·sin(x) · 2/cos²(2x)
Ex.6 Variations de sin sur [0;π] ★★
f(x)=sin(x) sur [0;π]
→ 1) f'(x)=cos(x) : positif sur [0;π2[, négatif sur ]π2;π] → croissante puis décroissante
→ 2) maximum=1 en x=π2, minimum=0 en x=0 et x=π
→ 3) sin(x)=12 sur [0;π] → x=π6 ou x=5π/6
= croissante puis décroissante · max=1,min=0 · x=π6 ou 5π/6
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✦ CORRIGÉ Ch6 — Fonctions trigonométriques
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Équations générales ★★
→ cos(x)=−12 ⟺ x = 2π/3 + 2kπ ou x = −2π/3 + 2kπ, k∈ℤ
→ sin(2x)=√32 ⟺ 2x = π3+2kπ ou 2x = 2π/3+2kπ ⟺ x=π6+kπ ou x=π3+kπ
→ tan(x)=1 ⟺ x = π4 + kπ, k∈ℤ
= x=±2π/3+2kπ ; x=π6+kπ ou π3+kπ ; x=π4+kπ
Ex.8 Problème — oscillation ★★
→ θ(t)=0,5cos(ωt) avec ω=2π : période T = 2π/ω = 2π/2π = 1 seconde
→ Amplitude maximale = 0,5 rad (coefficient devant le cosinus)
→ θ(0)=0,5×cos(0)=0,5 ; θ(14)=0,5×cos(π2)=0 ; θ(12)=0,5×cos(π)=−0,5
= Période = 1 s ; amplitude = 0,5 rad ; θ(0)=0,5, θ(14)=0, θ(12)=−0,5
Ex.9 Étude de f(x)=2sin(x)−x ★★★
→ f'(x) = 2cos(x)−1
→ f'(x)=0 ⟺ cos(x)=12 ⟺ x=π3 ; f'>0 sur [0;π3[, f'<0 sur ]π3;π]
→ f croît sur [0;π3] : f(x)≥f(0)=0 sur cette partie ; sur [π3;π2], f décroît mais reste ≥ f(π2)=2−π2≈0,43>0
= f'(x)=2cos(x)−1 ; f(x)≥0 sur [0;π2], donc 2sin(x) ≥ x sur cet intervalle
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Équation avec transformation ★★★
→ 2X²−X−1=0 avec X=cos(x) : Δ=1+8=9 ⟹ X=1±34 = 1 ou −12
→ cos(x)=1 ⟹ x=0 ou 2π ; cos(x)=−12 ⟹ x=2π/3 ou 4π/3
→ sin²(x)+sin(x)=0 ⟺ sin(x)(sin(x)+1)=0 ⟺ sin(x)=0 ou sin(x)=−1 ⟹ x=0,π,2π ou x=3π/2
= 1) x=0, 2π/3, 4π/3, 2π 2) x=0, π, 3π/2, 2π
Ex.11 Produit de fonctions ★★★
→ f'(x) = eˣsin(x)+eˣcos(x) = eˣ(sin(x)+cos(x))
→ f'(x)=0 ⟺ sin(x)+cos(x)=0 ⟺ tan(x)=−1 ⟺ x=3π/4 (dans [0;π])
→ f' > 0 sur [0;3π/4[ et f' < 0 sur ]3π/4;π] : f admet un maximum en x=3π/4
= f'(x)=eˣ(sin x+cos x) ; f'(x)=0 pour x=3π/4 ; maximum f(3π/4)=e3π/4×(√22) ≈ 7,46
Ex.12 ★ Défi ★★★
→ f(x)=x−sin(x) : f'(x)=1−cos(x)≥0 toujours (cos(x)≤1), donc f est croissante sur [0;π2]. Comme f(0)=0, f(x)≥0, donc sin(x)≤x
→ g(x)=tan(x)−x sur [0;π2[ : g'(x)=1/cos²(x)−1=tan²(x)≥0, donc g est croissante. Comme g(0)=0, g(x)≥0, donc x≤tan(x)
= En combinant les deux résultats : sin(x) ≤ x ≤ tan(x) pour tout x∈[0;π2[
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