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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 07Chapitre 7 — Produit scalaire
Définition, formules Al-Kashi, applications

Chapitre 7 — Produit scalaire

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Produit scalaire — définition ★ 4 pts
u·v = ‖u‖×‖v‖×cos(θ) = xᵤxᵥ+yᵤyᵥ
Calculer u·v.
  1. u(3,4), v(1,2)
  2. u(−2,5), v(4,−1)
  3. ‖u‖=5, ‖v‖=3, angle=60°
Réponse  
Ex.2 Orthogonalité ★ 4 pts
Déterminer si les vecteurs sont orthogonaux.
  1. u(3,4) et v(−4,3)
  2. u(1,2) et v(2,1)
  3. u(2,−1) et v(1,2)
Réponse  
Ex.3 Formule d'Al-Kashi ★ 4 pts
BC² = AB²+AC² − 2×AB×AC×cos(A)
Triangle ABC : AB=5, AC=7, angle A=60°.
  1. Calculer BC.
  2. À l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore, dire si ABC est rectangle, puis préciser sa nature (scalène, isocèle…) en comparant les longueurs des côtés.
Réponse  
mathsotop.frCh7 — Produit scalaire1 / 4
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Produit scalaire
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Norme et produit scalaire ★ 3 pts
‖u‖² = u·u · ‖u+v‖² = ‖u‖²+2u·v+‖v‖²
u(2,3), v(1,−1).
  1. Calculer u·v.
  2. Calculer ‖u+v‖.
Réponse  
Ex.5 Projeté orthogonal ★★ 4 pts
H est le pied de la perpendiculaire de B sur (AC). AH = AB·cos(A).
Triangle ABC : AB=8, AC=10, BC=6.
  1. Calculer cos(A) avec Al-Kashi.
  2. Calculer AH.
Réponse  
Ex.6 Médiane et produit scalaire ★★ 4 pts
M est le milieu de [BC]. Exprimer AM en fonction de AB et AC.
  1. AM = AB+AC2
  2. Calculer AM·AB et AM·AC.
  3. Montrer que AM·BC = AC²−AB²2.
Réponse  
mathsotop.frCh7 — Produit scalaire2 / 4
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Produit scalaire
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Équation de droite avec produit scalaire ★★ 4 pts
La droite (D) passe par A(2,1) avec vecteur normal n(3,−2).
  1. Écrire l'équation de (D).
  2. Vérifier que le point B(4,4) est sur (D).
Réponse  
Ex.8 Application — cosinus d'un angle ★★ 4 pts
Triangle A(1,0), B(4,0), C(2,3).
  1. Calculer les vecteurs AB et AC.
  2. Calculer le produit scalaire AB·AC.
  3. En déduire cos(A) et l'angle A.
Réponse  
Ex.9 Inégalité de Cauchy-Schwarz ★★★ 4 pts
|u·v| ≤ ‖u‖×‖v‖
  1. Vérifier avec u(1,2) et v(3,4) : calculer u·v, ‖u‖, ‖v‖.
  2. Quand a-t-on l'égalité ?
Réponse  
mathsotop.frCh7 — Produit scalaire3 / 4
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Produit scalaire
Fiche N° 07
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Formule des cosinus — triangle ★★★ 4 pts
Triangle ABC : BC=12, AB=8, AC=10.
  1. Calculer cos(B), cos(A), cos(C).
  2. Vérifier que les angles s'ajoutent à 180°.
Réponse  
Ex.11 Cercle et produit scalaire ★★★ 4 pts
M appartient au cercle de diamètre [AB] ⟺ MA·MB=0.
A(−2,0) et B(4,0). Quelle est l'équation du cercle de diamètre [AB] ?
  1. Identifier le centre et le rayon.
  2. Vérifier pour M(0,y) que MA·MB=0.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Identité vectorielle ★★★ 5 pts
Démontrer que dans tout triangle ABC : AB·AC = AB²+AC²−BC²2 (identité du parallélogramme).
  1. Écrire BC=AC−AB.
  2. Calculer ‖BC‖²=BC·BC.
  3. Développer et isoler AB·AC.
Réponse  
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mathsotop.frCh7 — Produit scalaire4 / 4
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch7 — Produit scalaire
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Produit scalaire — définition ★
u·v = ‖u‖×‖v‖×cos(θ) = xᵤxᵥ+yᵤyᵥ
→ 1) u(3,4)·v(1,2) = 3×1+4×2 = 11
→ 2) u(−2,5)·v(4,−1) = −8−5 = −13
→ 3) ‖u‖=5, ‖v‖=3, angle=60° → u·v=5×3×cos(60°)=15×0,5=7,5
= 11 · −13 · 7,5
Ex.2 Orthogonalité ★
u·v=0 ⟺ orthogonaux
→ 1) u(3,4)·v(−4,3) = −12+12 = 0 → orthogonaux
→ 2) u(1,2)·v(2,1) = 2+2 = 4 ≠ 0 → non orthogonaux
→ 3) u(2,−1)·v(1,2) = 2−2 = 0 → orthogonaux
= orthogonaux · non orthogonaux · orthogonaux
Ex.3 Formule d'Al-Kashi ★
BC² = AB²+AC² − 2×AB×AC×cos(A)
→ 1) BC² = 25+49−2×5×7×0,5 = 74−35 = 39 → BC = √39 ≈ 6,24
→ 2) Réciproque de Pythagore : on compare le carré du plus grand côté (AC²=49) à la somme des carrés des deux autres (AB²+BC²=25+39=64). Comme 49≠64 (et de même AB²+AC²=74≠BC²=39, AB²≠AC²+BC²=88), aucune égalité de Pythagore n'est vérifiée : ABC n'est pas rectangle
→ Les trois côtés AB=5, AC=7, BC=√39≈6,24 sont deux à deux distincts : ABC est un triangle scalène (et non rectangle)
= BC=√39 · ABC non rectangle (réciproque de Pythagore) et scalène (3 côtés distincts)
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Norme et produit scalaire ★★
‖u‖² = u·u · ‖u+v‖² = ‖u‖²+2u·v+‖v‖²
→ 1) u(2,3)·v(1,−1) = 2−3 = −1
→ 2) u+v=(3,2) → ‖u+v‖=√13 (vérification : 13−2+2=13 ✓)
= u·v=−1 · ‖u+v‖=√13
Ex.5 Projeté orthogonal ★★
AH = AB·cos(A)
→ 1) BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos(A) → 36=64+100−160cos(A) → cos(A)=128160=45
→ 2) AH=AB×cos(A)=8×45=6,4
= cos(A)=45 · AH=6,4
Ex.6 Médiane et produit scalaire ★★
AM = AB+AC2
→ 1) AM = AB+AC2 par définition du milieu M de [BC]
→ 2) AM·AB=AB²+AC·AB2 et AM·AC=AB·AC+AC²2
→ 3) AM·BC = AM·(AC−AB) = AM·AC−AM·AB = AC²−AB²2 (démonstration)
= AM=AB+AC2 · développement · AM·BC=AC²−AB²2
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Produit scalaire
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Équation de droite avec produit scalaire ★★
→ Équation de (D) avec normal n(3,−2) passant par A(2,1) : 3(x−2)−2(y−1)=0, soit 3x−2y−4=0
→ Vérification en A(2,1) : 3×2−2×1−4 = 6−2−4 = 0 ✓ (A est bien sur D, comme attendu)
→ Vérification en B(4,4) : 3×4−2×4−4 = 12−8−4 = 0 ✓
= (D) : 3x−2y−4=0 ; B(4,4) est bien sur (D)
Ex.8 Application — cosinus d'un angle ★★
→ vecAB = B−A = (3;0) ; vecAC = C−A = (1;3)
→ vecAB·vecAC = 3×1+0×3 = 3
→ cos(A) = AB·AC‖AB‖×‖AC‖ = 33×√10 = 1√10 ≈ 0,316 ⟹ A = arccos(1√10)
= AB·AC = 3 ; cos(A) = 1√10 ; angle A ≈ 71,6°
Ex.9 Inégalité de Cauchy-Schwarz ★★★
→ u·v = 1×3+2×4 = 11 ; ‖u‖=√(1+4)=√5 ; ‖v‖=√(9+16)=√25=5
→ ‖u‖×‖v‖ = 5√5 ≈ 11,18 ; on vérifie bien |11| ≤ 11,18
→ L'égalité a lieu quand u et v sont colinéaires (ce qui n'est pas le cas ici : 13 ≠ 24)
= u·v=11 ≤ 5√5≈11,18 : l'inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée (stricte car u,v non colinéaires)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Formule des cosinus — triangle ★★★
→ cos(A) = AB²+AC²−BC²2×AB×AC = 64+100−144160 = 20160 = 0,125
→ cos(B) = AB²+BC²−AC²2×AB×BC = 64+144−100192 = 108192 = 0,5625
→ cos(C) = AC²+BC²−AB²2×AC×BC = 100+144−64240 = 180240 = 0,75
→ A=arccos(0,125)≈82,8° ; B=arccos(0,5625)≈55,8° ; C=arccos(0,75)≈41,4° ; somme ≈180°
= A≈82,8°, B≈55,8°, C≈41,4°, dont la somme vaut bien 180°
Ex.11 Cercle et produit scalaire ★★★
→ Centre = milieu de [AB] = (−2+42 ; 0) = (1;0) ; rayon = AB2 = 62 = 3
→ Équation du cercle : (x−1)²+y²=9
→ Pour M(0,y) : vecMA=(−2;−y), vecMB=(4;−y) ; MA·MB = −8+y². Ce produit s'annule pour y²=8, soit y=±2√2, ce qui correspond exactement aux points où (0−1)²+y²=9 (donc y²=8) : cohérent avec l'équation du cercle
= Cercle : (x−1)²+y²=9 ; MA·MB=0 pour M(0,±2√2), conforme à l'équation du cercle
Ex.12 ★ Défi — Identité vectorielle ★★★
→ vecBC = vecAC − vecAB (relation de Chasles)
→ ‖BC‖² = BC·BC = (AC−AB)·(AC−AB) = ‖AC‖² − 2AB·AC + ‖AB‖² = AC² − 2AB·AC + AB²
→ Donc BC² = AB²+AC²−2AB·AC, d'où 2AB·AC = AB²+AC²−BC²
= AB·AC = AB²+AC²−BC²2, ce qui démontre l'identité
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