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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 07Chapitre 7 — Produit scalaire
Définition, formules Al-Kashi, applications

Chapitre 7 — Produit scalaire

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Produit scalaire — définition ★ 4 pts
u·v = ‖u‖×‖v‖×cos(θ) = xᵤxᵥ+yᵤyᵥ
Calculer u·v.
  1. u(3,4), v(1,2)
  2. u(−2,5), v(4,−1)
  3. ‖u‖=5, ‖v‖=3, angle=60°
Réponse  
Ex.2 Orthogonalité ★ 4 pts
Déterminer si les vecteurs sont orthogonaux.
  1. u(3,4) et v(−4,3)
  2. u(1,2) et v(2,1)
  3. u(2,−1) et v(1,2)
Réponse  
Ex.3 Formule d'Al-Kashi ★ 4 pts
BC² = AB²+AC² − 2×AB×AC×cos(A)
Triangle ABC : AB=5, AC=7, angle A=60°.
  1. Calculer BC.
  2. En déduire le triangle en utilisant la réciproque.
Réponse  
mathsotop.netlify.appCh7 — Produit scalaire1 / 4
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Produit scalaire
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Norme et produit scalaire ★ 3 pts
‖u‖² = u·u · ‖u+v‖² = ‖u‖²+2u·v+‖v‖²
u(2,3), v(1,−1).
  1. Calculer u·v.
  2. Calculer ‖u+v‖.
Réponse  
Ex.5 Projeté orthogonal ★★ 4 pts
H est le pied de la perpendiculaire de B sur (AC). AH = AB·cos(A).
Triangle ABC : AB=8, AC=10, BC=6.
  1. Calculer cos(A) avec Al-Kashi.
  2. Calculer AH.
Réponse  
Ex.6 Médiane et produit scalaire ★★ 4 pts
M est le milieu de [BC]. Exprimer AM en fonction de AB et AC.
  1. AM = AB+AC2
  2. Calculer AM·AB et AM·AC.
  3. Montrer que AM·BC = AC²−AB²2.
Réponse  
mathsotop.netlify.appCh7 — Produit scalaire2 / 4
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Produit scalaire
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Équation de droite avec produit scalaire ★★ 4 pts
La droite (D) passe par A(2,1) avec vecteur normal n(3,−2).
  1. Écrire l'équation de (D).
  2. Vérifier que le point B(0,3) est sur (D).
Réponse  
Ex.8 Application — cosinus d'un angle ★★ 4 pts
Triangle A(1,0), B(4,0), C(2,3).
  1. Calculer les vecteurs AB et AC.
  2. Calculer le produit scalaire AB·AC.
  3. En déduire cos(A) et l'angle A.
Réponse  
Ex.9 Inégalité de Cauchy-Schwarz ★★★ 4 pts
|u·v| ≤ ‖u‖×‖v‖
  1. Vérifier avec u(1,2) et v(3,4) : calculer u·v, ‖u‖, ‖v‖.
  2. Quand a-t-on l'égalité ?
Réponse  
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Produit scalaire
Fiche N° 07
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Formule des cosinus — triangle ★★★ 4 pts
Triangle ABC : BC=12, AB=8, AC=10.
  1. Calculer cos(B), cos(A), cos(C).
  2. Vérifier que les angles s'ajoutent à 180°.
Réponse  
Ex.11 Cercle et produit scalaire ★★★ 4 pts
M appartient au cercle de diamètre [AB] ⟺ MA·MB=0.
A(−2,0) et B(4,0). Quelle est l'équation du cercle de diamètre [AB] ?
  1. Identifier le centre et le rayon.
  2. Vérifier pour M(0,y) que MA·MB=0.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Identité vectorielle ★★★ 5 pts
Démontrer que dans tout triangle ABC : AB·AC = AB²+AC²−BC²2 (identité du parallélogramme).
  1. Écrire BC=AC−AB.
  2. Calculer ‖BC‖²=BC·BC.
  3. Développer et isoler AB·AC.
Réponse  
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch7 — Produit scalaire
✦ Corrigé — Ch7 — Produit scalaire
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Définition du produit scalaire ★
u·v = |u||v|cos(θ)
→ θ = angle entre u et v
→ Ou coordonnées: u·v = x₁x₂+y₁y₂
= Résultat est un nombre (scalaire)
Ex.2 Calcul par coordonnées ★
u=(3,−1), v=(2,4)
→ u·v = 3×2+(−1)×4 = 6−4
= = 2
Ex.3 Orthogonalité ★
u·v=0 ↔ perpendiculaires
→ (2,3)·(3,−2) = 6−6=0
→ Perpendiculaires ✓
= Vecteurs orthogonaux si et seulement si u·v=0
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Norme ★★
||u||² = u·u
→ ||u||² = x²+y²
→ ||(3,4)||² = 9+16=25
= ||u|| = 5
Ex.5 Angle entre deux vecteurs ★★
cos(θ)=u·v/(||u||×||v||)
→ u=(1,0) v=(1,1)
→ u·v=1 · ||u||=1 · ||v||=√2
→ cos(θ)=1/√2
= θ = π/4 = 45°
Ex.6 Application — médiatrice ★★
M sur médiatrice de AB ↔ MA²=MB²
→ MA²=MB²
→ ||MA||²=||MB||²
→ Développer → équation de la droite
= Équation de la médiatrice
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch7 — Produit scalaire
✦ Corrigé — Ch7 — Produit scalaire
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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