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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 08Chapitre 8 — Géométrie repérée
Droites, cercles, distances

Chapitre 8 — Géométrie repérée

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Distance entre deux points ★ 4 pts
Calculer la distance.
  1. A(1,2) et B(5,5)
  2. C(−2,3) et D(4,−1)
  3. E(0,−4) et F(3,0)
Réponse  
Ex.2 Équation d'un cercle ★ 4 pts
Cercle centre Ω(a,b), rayon r : (x−a)²+(y−b)²=r²
Écrire l'équation.
  1. Centre (2,−1), rayon 4
  2. Centre (0,3), rayon √5
  3. Cercle passant par A(1,0) et B(5,0) avec centre (3,y). Trouver y si le cercle passe aussi par C(3,4).
Réponse  
Ex.3 Droite — équation et représentation ★ 4 pts
  1. Équation de la droite passant par A(1,3) et B(4,9).
  2. Droite de pente −2 passant par (0,5).
  3. Droite parallèle à y=3x−1 passant par (2,4).
Réponse  
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Fiche N° 08Chapitre 8 — Géométrie repérée
Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Position d'un point par rapport à un cercle ★ 3 pts
Cercle C : (x−2)²+(y+1)²=25.
  1. Centre et rayon.
  2. Le point A(5,3) est-il intérieur, sur, ou extérieur ?
  3. Le point B(6,2) ?
Réponse  
Ex.5 Intersection droite-cercle ★★ 4 pts
Droite D: y=x+1 et cercle C: (x−1)²+(y−2)²=5.
  1. Substituer y=x+1 dans l'équation du cercle.
  2. Résoudre l'équation obtenue.
  3. Donner les coordonnées des points d'intersection.
Réponse  
Ex.6 Distance point-droite ★★ 4 pts
d(A, D) = |ax₀+by₀+c|/√a²+b² pour D: ax+by+c=0
Calculer la distance de A(2,3) à la droite D: 3x−4y+1=0.
Réponse  
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Fiche N° 08Chapitre 8 — Géométrie repérée
Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Cercle — équation développée ★★ 4 pts
Reconnaître l'équation de cercle et trouver centre et rayon.
  1. x²+y²−4x+6y−3=0
  2. x²+y²+2x−8y+8=0
Réponse  
Ex.8 Tangente à un cercle ★★ 4 pts
Cercle C: x²+y²=25. Le point T(3,4) est sur C.
  1. Vérifier que T est sur le cercle.
  2. La tangente en T est perpendiculaire au rayon OT. Calculer sa pente.
  3. Écrire l'équation de la tangente en T.
Réponse  
Ex.9 Lieu géométrique ★★★ 4 pts
Trouver l'ensemble des points M(x,y) tels que MA²=MB² avec A(1,2) et B(5,4).
  1. Développer MA² et MB².
  2. Simplifier → équation de droite.
  3. Reconnaître ce lieu (médiatrice).
Réponse  
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Fiche N° 08Chapitre 8 — Géométrie repérée
Fiche N° 08
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Intersection de deux cercles ★★★ 4 pts
C₁: x²+y²=4 et C₂: (x−3)²+y²=1.
  1. Soustraire les équations pour trouver la droite radicale.
  2. Substituer pour trouver les points d'intersection (s'ils existent).
Réponse  
Ex.11 Triangle dans un repère ★★★ 4 pts
A(0,0), B(6,0), C(2,4).
  1. Calculer AB, BC, AC.
  2. Calculer les trois angles (Al-Kashi).
  3. Trouver le centre du cercle circonscrit (intersection des médiatrices).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Cercle circonscrit ★★★ 5 pts
Triangle A(1,0), B(5,0), C(3,4).
  1. Trouver l'équation du cercle passant par A, B et C.
  2. Vérifier que les trois points vérifient l'équation.
  3. Quel est le rayon du cercle circonscrit ?
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch8 — Géométrie repérée
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Distance entre deux points ★
d(A,B)=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²]
→ 1) A(1,2), B(5,5) : d=√(16+9)=√25=5
→ 2) C(−2,3), D(4,−1) : d=√(36+16)=√52=2√13
→ 3) E(0,−4), F(3,0) : d=√(9+16)=√25=5
= 5 · 2√13 · 5
Ex.2 Équation d'un cercle ★
(x−a)²+(y−b)²=r² pour un centre Ω(a,b) et un rayon r
→ 1) centre (2,−1), rayon 4 → (x−2)²+(y+1)²=16
→ 2) centre (0,3), rayon √5 → x²+(y−3)²=5
→ 3) centre (3,y) équidistant de A(1,0) et C(3,4) : 4+y²=(y−4)² → 8y=12 → y=32
= (x−2)²+(y+1)²=16 · x²+(y−3)²=5 · y=32
Ex.3 Droite — équation et représentation ★
y=mx+p
→ 1) A(1,3), B(4,9) : pente m=9−34−1=2 → y=2x+1
→ 2) pente −2 passant par (0,5) → y=−2x+5
→ 3) parallèle à y=3x−1 passant par (2,4) → y=3x−2
= y=2x+1 · y=−2x+5 · y=3x−2
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Position d'un point par rapport à un cercle ★★
C : (x−2)²+(y+1)²=25
→ 1) centre (2,−1), rayon 5
→ 2) A(5,3) : (5−2)²+(3+1)²=9+16=25 = r² → A est sur le cercle
→ 3) B(6,2) : (6−2)²+(2+1)²=16+9=25 = r² → B est aussi sur le cercle
= centre(2;−1), rayon5 · A sur le cercle · B sur le cercle
Ex.5 Intersection droite-cercle ★★
D: y=x+1 · C: (x−1)²+(y−2)²=5
→ 1) (x−1)²+(x−1)²=5 → 2(x−1)²=5
→ 2) (x−1)²=52 → x=1±√102
→ 3) points : (1+√102 ; 2+√102) et (1−√102 ; 2−√102)
= 2(x−1)²=5 · x=1±√102 · deux points d'intersection
Ex.6 Distance point-droite ★★
d(A,D) = |ax₀+by₀+c|/√a²+b²
→ A(2,3), D : 3x−4y+1=0
→ d = |3×2−4×3+1|/√(9+16) = |6−12+1|/5 = |−5|/5 = 1
= d(A,D) = 1
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Cercle — équation développée ★★
→ x²+y²−4x+6y−3=0 : (x−2)²−4+(y+3)²−9=3 ⟹ (x−2)²+(y+3)²=16
→ x²+y²+2x−8y+8=0 : (x+1)²−1+(y−4)²−16=−8 ⟹ (x+1)²+(y−4)²=9
= Centre(2;−3), rayon=4 ; centre(−1;4), rayon=3
Ex.8 Tangente à un cercle ★★
→ 3²+4²=9+16=25 : T est bien sur le cercle
→ Pente de (OT) = 43 ; la tangente en T, perpendiculaire à (OT), a pour pente −34
→ Équation de la tangente : y−4 = −34(x−3), soit 3x+4y=25 (forme classique x₀x+y₀y=r² pour un cercle centré en O)
= Pente de la tangente = −34 ; équation : 3x+4y=25
Ex.9 Lieu géométrique ★★★
→ MA² = (x−1)²+(y−2)² ; MB² = (x−5)²+(y−4)²
→ MA²=MB² ⟺ −2x+1−4y+4 = −10x+25−8y+16 ⟺ 8x+4y−36=0
→ En simplifiant par 4 : 2x+y−9=0
= L'ensemble cherché est la droite d'équation 2x+y−9=0 : c'est la médiatrice du segment [AB]
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Intersection de deux cercles ★★★
→ C₁ : x²+y²−4=0 ; C₂ développée : x²+y²−6x+8=0
→ Droite radicale : (C₁)−(C₂) donne 6x−12=0, soit x=2
→ En substituant x=2 dans C₁ : 4+y²=4 ⟹ y=0
= Droite radicale : x=2 ; les cercles se touchent en un seul point (2;0) (cercles tangents)
Ex.11 Triangle dans un repère ★★★
→ AB=6 ; BC=√((6−2)²+(0−4)²)=√32=4√2 ; AC=√(2²+4²)=√20=2√5
→ cos(A)=36+20−322×6×2√5=1√5 ⟹ A≈63,4° ; cos(B)=36+32−202×6×4√2=1√2 ⟹ B=45° ; cos(C)=20+32−362×2√5×4√2=1√10 ⟹ C≈71,6° (somme≈180°)
→ Le centre du cercle circonscrit est équidistant de A, B et C : en résolvant OA²=OB²=OC², on obtient x=3 (de OA²=OB²) puis x+2y=5 (de OA²=OC²), d'où y=1
= AB=6, BC=4√2, AC=2√5 ; angles ≈63,4°, 45°, 71,6° ; centre du cercle circonscrit : O(3;1), rayon=√10
Ex.12 ★ Défi — Cercle circonscrit ★★★
→ Équation générale x²+y²+Dx+Ey+F=0. En A : D+F=−1. En B : 5D+F=−25. En soustrayant : 4D=−24 ⟹ D=−6, donc F=5
→ En C(3,4) : 9+16+3D+4E+F=0 ⟹ 25−18+4E+5=0 ⟹ E=−3
→ Équation : x²+y²−6x−3y+5=0, soit (x−3)²+(y−1,5)²=6,25
→ Vérification : A(1,0)→4+2,25=6,25 ✓ ; B(5,0)→4+2,25=6,25 ✓ ; C(3,4)→0+6,25=6,25 ✓
= Cercle circonscrit : (x−3)²+(y−1,5)²=6,25, centre (3;1,5), rayon = 2,5
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