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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 09Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles
Conditionnement, arbres, Bayes, indépendance

Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Probabilité conditionnelle ★ 4 pts
P(B|A) = P(A∩B)P(A)
P(A)=0,6, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,3.
  1. Calculer P(B|A).
  2. Calculer P(A|B).
  3. A et B sont-ils indépendants ?
Réponse  
Ex.2 Arbre de probabilités ★ 4 pts
Un sac contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire 2 boules sans remise.
  1. Dresser l'arbre de probabilités.
  2. Calculer P(deux rouges).
  3. Calculer P(une rouge et une bleue).
Réponse  
Ex.3 Probabilité totale ★ 4 pts
P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|Ā)P(Ā)
Machine M₁ produit 40% des pièces (3% défectueuses). M₂ : 60% (5% défect.). Calculer P(défectueuse).
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Indépendance ★ 3 pts
A et B indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B).
  1. P(A)=0,4, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,12. Indépendants ?
  2. On lance deux dés. A='premier pair' et B='second ≥ 4'. Sont-ils indépendants ?
Réponse  
Ex.5 Formule de Bayes ★★ 4 pts
P(A|B) = P(B|A)×P(A)P(B)
Test médical : sensibilité 95%, spécificité 90%. Prévalence 2%.
  1. Calculer P(positive).
  2. Si le test est positif, probabilité d'être malade ?
Réponse  
Ex.6 Schéma de Bernoulli ★★ 4 pts
On lance 4 fois une pièce (P(pile)=0,5).
  1. Calculer P(exactement 2 piles).
  2. Calculer P(au moins 1 pile).
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Tableau de probabilités ★★ 4 pts
MF
Lunettes0,120,18
Pas lunettes0,280,42
  1. P(Lunettes) ?
  2. P(M|Lunettes) ?
  3. Lunettes et genre sont-ils indépendants ?
Réponse  
Ex.8 Simulation ★★ 4 pts
On veut estimer P(X+Y > 5) où X et Y sont des dés.
  1. Lister les paires (X,Y) telles que X+Y>5.
  2. Calculer la probabilité théorique.
  3. Sur 100 lancers simulés, quelle fréquence attendrait-on ?
Réponse  
Ex.9 Événements dépendants ★★★ 4 pts
Urne : 5 blanches, 3 noires. On tire 3 boules sans remise.
  1. P(B₁∩B₂∩B₃) où Bᵢ='boule i blanche'.
  2. P(exactement 2 blanches).
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles
Fiche N° 09
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Bayes — diagnostic ★★★ 4 pts
3 usines A (50%), B (30%), C (20%). Taux de défauts : A=2%, B=4%, C=3%. Une pièce est défectueuse.
  1. Calculer P(défect.).
  2. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de B ?
Réponse  
Ex.11 Suite de probabilités ★★★ 4 pts
Un rat dans un labyrinthe, à chaque intersection il prend à gauche avec proba 23, à droite avec proba 13. 3 intersections.
  1. Probabilité d'aller tout à gauche.
  2. Probabilité d'aller exactement 2 fois à gauche.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Problème des anniversaires ★★★ 5 pts
Dans un groupe de n personnes, quelle est la probabilité que deux personnes aient le même anniversaire ?
  1. Calculer la proba qu'AUCUNE paire n'ait le même anniversaire (365 jours).
  2. Pour n=23, calculer cette probabilité.
  3. En déduire la probabilité qu'au moins deux personnes aient le même anniversaire pour n=23.
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Probabilité conditionnelle ★
P(B|A) = P(A∩B)P(A)
→ 1) P(B|A) = 0,30,6 = 0,5
→ 2) P(A|B) = 0,30,5 = 0,6
→ 3) P(A)×P(B)=0,6×0,5=0,3=P(A∩B) → A et B sont indépendants
= P(B|A)=0,5 · P(A|B)=0,6 · indépendants
Ex.2 Arbre de probabilités ★
3 boules rouges, 2 bleues, tirage sans remise
→ 1) 1er tirage : P(R)=35, P(B)=25 ; 2ᵉ tirage conditionné au 1er
→ 2) P(deux rouges) = 35 × 24 = 310
→ 3) P(une rouge et une bleue) = 35×24 + 25×34 = 310+310 = 35
= 310 · 35
Ex.3 Probabilité totale ★
P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|Ā)P(Ā)
→ M₁ : 40% des pièces, 3% défectueuses ; M₂ : 60%, 5% défectueuses
→ P(défectueuse) = 0,4×0,03 + 0,6×0,05 = 0,012+0,03 = 0,042
= P(défectueuse) = 0,042 (4,2%)
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Indépendance ★★
A et B indépendants ⟺ P(A∩B)=P(A)×P(B)
→ 1) P(A)×P(B)=0,4×0,3=0,12=P(A∩B) → indépendants
→ 2) dés indépendants : P(A∩B)=12×12=14=P(A)×P(B) → indépendants
= indépendants · indépendants
Ex.5 Formule de Bayes ★★
P(A|B) = P(B|A)×P(A)P(B)
→ 1) P(positif) = 0,95×0,02 + 0,10×0,98 = 0,019+0,098 = 0,117
→ 2) P(malade|positif) = 0,0190,117 ≈ 0,162 soit environ 16,2%
= P(positif)=0,117 · P(malade|+)≈16,2%
Ex.6 Schéma de Bernoulli ★★
4 lancers, P(pile)=0,5
→ 1) P(exactement 2 piles) = C(4,2)×0,5²×0,5² = 6×0,0625 = 0,375
→ 2) P(au moins 1 pile) = 1−P(0 pile) = 1−0,5⁴ = 1−0,0625 = 0,9375
= 0,375 · 0,9375
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Tableau de probabilités ★★
→ P(Lunettes) = 0,12+0,18 = 0,30
→ P(M|Lunettes) = P(M∩Lunettes)P(Lunettes) = 0,120,30 = 0,4
→ P(M) = 0,12+0,28 = 0,40. Si indépendants : P(M)×P(Lunettes) = 0,40×0,30 = 0,12, qui correspond exactement à P(M∩Lunettes)
= P(Lunettes)=0,30 ; P(M|Lunettes)=0,4 ; les événements SONT indépendants (0,40×0,30=0,12 correspond bien à la valeur observée)
Ex.8 Simulation ★★
→ Nombre de paires (X,Y) avec X+Y≥6 sur les 36 possibles : sommes 6(5 paires),7(6),8(5),9(4),10(3),11(2),12(1) — total 26 paires
→ P(X+Y>5) = 2636 = 1318 ≈ 0,722
→ Sur 100 lancers, on attendrait environ 72 réalisations de cet événement
= 26 paires favorables ; P = 1318 ≈ 72,2 % ; environ 72 fois sur 100 lancers
Ex.9 Événements dépendants ★★★
→ P(B₁∩B₂∩B₃) = (58)×(47)×(36) = 60336 = 528 ≈ 0,179
→ P(exactement 2 blanches) : total de tirages C(8,3)=56 ; favorables C(5,2)×C(3,1)=10×3=30
→ P(exactement 2 blanches) = 3056
= P(3 blanches) = 528 ≈ 17,9 % ; P(exactement 2 blanches) = 1528 ≈ 53,6 %
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Bayes — diagnostic ★★★
→ P(défectueuse) = P(A)×P(D|A)+P(B)×P(D|B)+P(C)×P(D|C) = 0,5×0,02+0,3×0,04+0,2×0,03 = 0,01+0,012+0,006
→ P(défectueuse) = 0,028
→ P(B|défectueuse) = P(D|B)×P(B)P(D) = 0,3×0,040,028 = 0,0120,028
= P(défectueuse) = 0,028 (2,8%) ; P(vient de B | défectueuse) = 37 ≈ 42,9 %
Ex.11 Suite de probabilités ★★★
→ P(3 fois à gauche) = (23)³ = 827
→ P(exactement 2 fois à gauche sur 3) = C(3,2)×(23)²×(13)¹ = 3×(49)×(13) = 1227
= P(tout à gauche) = 827 ≈ 29,6 % ; P(exactement 2 fois à gauche) = 49 ≈ 44,4 %
Ex.12 ★ Défi — Problème des anniversaires ★★★
→ P(aucune paire identique) = (365365)×(364365)×...×365−n+1365, produit de n facteurs décroissants
→ Pour n=23, ce produit vaut environ 0,4927 (résultat classique du « problème des anniversaires »)
→ P(au moins deux identiques) = 1 − P(aucune identique)
= Pour n=23 : P(aucune coïncidence) ≈ 49,3 % ; donc P(au moins une coïncidence) ≈ 50,7 % — plus d'une chance sur deux, dès 23 personnes !
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