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1ÈRE SPÉ MATHS
Fiche N° 09Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles
Conditionnement, arbres, Bayes, indépendance

Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Type BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Probabilité conditionnelle ★ 4 pts
P(B|A) = P(A∩B)P(A)
P(A)=0,6, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,3.
  1. Calculer P(B|A).
  2. Calculer P(A|B).
  3. A et B sont-ils indépendants ?
Réponse  
Ex.2 Arbre de probabilités ★ 4 pts
Un sac contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire 2 boules sans remise.
  1. Dresser l'arbre de probabilités.
  2. Calculer P(deux rouges).
  3. Calculer P(une rouge et une bleue).
Réponse  
Ex.3 Probabilité totale ★ 4 pts
P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|Ā)P(Ā)
Machine M₁ produit 40% des pièces (3% défectueuses). M₂ : 60% (5% défect.). Calculer P(défectueuse).
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Indépendance ★ 3 pts
A et B indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B).
  1. P(A)=0,4, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,12. Indépendants ?
  2. On lance deux dés. A='premier pair' et B='second ≥ 4'. Sont-ils indépendants ?
Réponse  
Ex.5 Formule de Bayes ★★ 4 pts
P(A|B) = P(B|A)×P(A)P(B)
Test médical : sensibilité 95%, spécificité 90%. Prévalence 2%.
  1. Calculer P(positive).
  2. Si le test est positif, probabilité d'être malade ?
Réponse  
Ex.6 Schéma de Bernoulli ★★ 4 pts
On lance 4 fois une pièce (P(pile)=0,5).
  1. Calculer P(exactement 2 piles).
  2. Calculer P(au moins 1 pile).
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Tableau de probabilités ★★ 4 pts
MF
Lunettes0,120,18
Pas lunettes0,280,42
  1. P(Lunettes) ?
  2. P(M|Lunettes) ?
  3. Lunettes et genre sont-ils indépendants ?
Réponse  
Ex.8 Simulation ★★ 4 pts
On veut estimer P(X+Y > 5) où X et Y sont des dés.
  1. Lister les paires (X,Y) telles que X+Y>5.
  2. Calculer la probabilité théorique.
  3. Sur 100 lancers simulés, quelle fréquence attendrait-on ?
Réponse  
Ex.9 Événements dépendants ★★★ 4 pts
Urne : 5 blanches, 3 noires. On tire 3 boules sans remise.
  1. P(B₁∩B₂∩B₃) où Bᵢ='boule i blanche'.
  2. P(exactement 2 blanches).
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Probabilités conditionnelles
Fiche N° 09
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Bayes — diagnostic ★★★ 4 pts
3 usines A (50%), B (30%), C (20%). Taux de défauts : A=2%, B=4%, C=3%. Une pièce est défectueuse.
  1. Calculer P(défect.).
  2. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de B ?
Réponse  
Ex.11 Suite de probabilités ★★★ 4 pts
Un rat dans un labyrinthe, à chaque intersection il prend à gauche avec proba 23, à droite avec proba 13. 3 intersections.
  1. Probabilité d'aller tout à gauche.
  2. Probabilité d'aller exactement 2 fois à gauche.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Problème des anniversaires ★★★ 5 pts
Dans un groupe de n personnes, quelle est la probabilité que deux personnes aient le même anniversaire ?
  1. Calculer la proba qu'AUCUNE paire n'ait le même anniversaire (365 jours).
  2. Pour n=23, calculer cette probabilité.
  3. En déduire la probabilité qu'au moins deux personnes aient le même anniversaire pour n=23.
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Probabilité conditionnelle ★
P(A|B) = PA∩BP(B)
→ Probabilité de A sachant B
→ P(B)>0
= Ex: P(A|B) = 0,20,4 = 0,5
Ex.2 Formule des probabilités totales ★
P(A) = P(A|B)×P(B) + P(A|B̄)×P(B̄)
→ Partition {B, B̄}
→ P(A) = somme des branches de l'arbre
= Additionner les chemins menant à A
Ex.3 Formule de Bayes ★
P(B|A) = P(A|B)×PBP(A)
→ Inverser le conditionnement
→ Utiliser les probabilités totales pour P(A)
= Probabilité a posteriori
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Arbre de probabilités ★★
Lire et compléter un arbre
→ Chaque chemin = probabilité produit
→ Événements de même niveau → probas qui somment à 1
= P(chemin) = produit des probas sur le chemin
Ex.5 Indépendance ★★
A et B indépendants ↔ P(A∩B)=P(A)×P(B)
→ Vérifier l'égalité
→ Ou P(A|B)=P(A)
= Indépendants si savoir B ne change pas P(A)
Ex.6 Problème de probabilité ★★
Schéma → arbre → calcul
→ Identifier les événements
→ Construire l'arbre
→ Calculer par les chemins
= Réponse avec interprétation
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch9 — Probabilités conditionnelles
✦ Corrigé — Ch9 — Probabilités conditionnelles
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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