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Fiche N° 02Chapitre 2 — Nombres et calculs
Puissances, racines, ensembles, PGCD

Chapitre 2 — Nombres et calculs

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Problèmes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Puissances — règles de calcul ★ 4 pts
Simplifier sans calculatrice.
a) 2⁴ × 2³
b) 3⁶ ÷ 3²
c) (5²)³
d) 70 × 7³
Réponse
Ex.2 Puissances de 10 et notation scientifique ★ 4 pts
Écrire en notation scientifique a × 10ⁿ.
a) 3 400 000
b) 0,000 047
c) 12 × 10⁴
d) 0,8 × 10⁻³
Réponse
Ex.3 Racines carrées ★ 4 pts
Calculer ou simplifier.
a) √196
b) √34
c) √72
d) √50 + √8
Réponse
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Fiche N° 02Chapitre 2 — Nombres et calculs
Fiche N° 02
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 PGCD et PPCM ★ 3 pts
Calculer par décomposition en facteurs premiers.
  1. PGCD(60, 84)
  2. PPCM(12, 18)
Réponse  
Ex.5 Fractions irréductibles ★★ 4 pts
Rendre chaque fraction irréductible.
a) 3648
b) 75100
c) 210330
d) 84196
Réponse
Ex.6 Ensembles de nombres ★★ 4 pts
Classer chaque nombre dans l'ensemble le plus précis (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ\ ℚ).
  1. −7
  2. √2
  3. 227
  4. π
  5. 0
Réponse  
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Fiche N° 02Chapitre 2 — Nombres et calculs
Fiche N° 02
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Calculs avec puissances négatives ★★ 4 pts
Simplifier et exprimer avec un exposant positif.
a) 3⁻² × 3⁵
b) (2⁻³)²
c) 5⁻¹ + 5⁻¹
d) (43)⁻²
Réponse
Ex.8 Calcul scientifique ★★ 4 pts
Calculer et exprimer en notation scientifique.
  1. (3,2 × 10⁵) × (4 × 10³)
  2. (7,5 × 10⁸) ÷ (2,5 × 10²)
  3. (2 × 10⁻³)²
Réponse  
Ex.9 Racines — simplification avancée ★★★ 4 pts
Simplifier au maximum.
  1. √75 − √48 + √12
  2. √23 × √6
  3. (√5 + √3)(√5 − √3)
Réponse  
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Fiche N° 02Chapitre 2 — Nombres et calculs
Fiche N° 02
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Problème scientifique ★★★ 4 pts
La distance Terre-Soleil est 1,5 × 10¹¹ m. La lumière parcourt 3 × 10⁸ m/s.
  1. Calculer le temps de trajet en secondes.
  2. Exprimer en minutes (arrondir).
  3. La distance Terre-Lune est 3,8 × 10⁸ m. Comparer les deux distances.
Réponse  
Ex.11 Divisibilité et nombres premiers ★★★ 4 pts
  1. Décomposer 2 310 en facteurs premiers.
  2. Combien de diviseurs a 2 310 ?
  3. PGCD(2310, 1540) = ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
Montrer que √2 est irrationnel (par l'absurde).
  1. Supposer √2 = pq avec pq irréductible.
  2. En déduire que p² est pair, puis que p est pair.
  3. En déduire que q est pair → contradiction.
Réponse  
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
Mon score : _____ / 48 pts
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✦ CORRIGÉ Ch2 — Nombres et calculs
✦ Corrigé — Ch2 — Nombres et calculs
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Puissances — règles de calcul ★
2⁴×2³ · 3⁶÷3² · (5²)³ · 70×7³
→ 2⁴×2³ = 2⁷ = 128
→ 3⁶÷3² = 3⁴ = 81
→ (5²)³ = 5⁶ = 15 625
→ 70×7³ = 1×343 = 343
= 128 · 81 · 15 625 · 343
Ex.2 Puissances de 10 et notation scientifique ★
3 400 000 · 0,000 047 · 12×10⁴ · 0,8×10⁻³
→ 3 400 000 = 3,4×10⁶
→ 0,000 047 = 4,7×10⁻⁵
→ 12×10⁴ = 1,2×10⁵
→ 0,8×10⁻³ = 8×10⁻⁴
= 3,4×10⁶ · 4,7×10⁻⁵ · 1,2×10⁵ · 8×10⁻⁴
Ex.3 Racines carrées ★
√196 · √34 · √72 · √50+√8
→ √196 = 14
→ √34 = √32
→ √72 = √36×2 = 6√2
→ √50+√8 = 5√2+2√2 = 7√2
= 14 · √32 · 6√2 · 7√2
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 PGCD et PPCM ★★
PGCD(60,84) · PPCM(12,18)
→ 60=2²×3×5, 84=2²×3×7 → PGCD=2²×3=12
→ 12=2²×3, 18=2×3² → PPCM=2²×3²=36
= PGCD(60,84)=12 · PPCM(12,18)=36
Ex.5 Fractions irréductibles ★★
3648 · 75100 · 210330 · 84196
→ PGCD(36,48)=12 → 34
→ PGCD(75,100)=25 → 34
→ PGCD(210,330)=30 → 711
→ PGCD(84,196)=28 → 37
= 34 · 34 · 711 · 37
Ex.6 Ensembles de nombres ★★
−7 · √2 · 227 · π · 0
→ −7 ∈ ℤ (entier négatif)
→ √2 ∈ ℝ\ℚ (irrationnel)
→ 227 = 167 ∈ ℚ (rationnel)
→ π ∈ ℝ\ℚ (irrationnel)
→ 0 ∈ ℕ
= ℤ · ℝ\ℚ · ℚ · ℝ\ℚ · ℕ
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✦ CORRIGÉ Ch2 — Nombres et calculs
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Calculs avec puissances négatives ★★
→ a) 3⁻²×3⁵ = 3−2+5 = 3³ = 27
→ b) (2⁻³)² = 2⁻⁶ = 164
→ c) 5⁻¹+5⁻¹ = 2×5⁻¹ = 25
→ d) (43)⁻² = (34)² = 916
= 27 ; 164 ; 25 ; 916
Ex.8 Calcul scientifique ★★
→ (3,2×10⁵)×(4×10³) = (3,2×4)×105+3 = 12,8×10⁸ = 1,28×10⁹
→ (7,5×10⁸)÷(2,5×10²) = 3×10⁶
→ (2×10⁻³)² = 4×10⁻⁶
= 1,28×10⁹ ; 3×10⁶ ; 4×10⁻⁶
Ex.9 Racines — simplification avancée ★★★
→ √75=5√3, √48=4√3, √12=2√3 ⟹ 5√3−4√3+2√3 = 3√3
→ √(23)×√6 = √(23×6) = √4 = 2
→ (√5+√3)(√5−√3) = 5−3 = 2 [identité (a+b)(a−b)=a²−b²]
= 3√3 ; 2 ; 2
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Problème scientifique ★★★
→ Temps = distancevitesse = 1,5×10¹¹3×10⁸ = 0,5×10³ = 500 s
→ 50060 ≈ 8 minutes (arrondi)
→ Rapport des distances : 1,5×10¹¹3,8×10⁸ ≈ 394,7
= 500 s ≈ 8 min ; la distance Terre-Soleil est environ 395 fois plus grande que la distance Terre-Lune
Ex.11 Divisibilité et nombres premiers ★★★
→ 2310 = 2×1155 = 2×3×385 = 2×3×5×77 = 2×3×5×7×11
→ Tous les exposants valent 1 : nombre de diviseurs = (1+1)⁵ = 32
→ 1540 = 2²×5×7×11 ; facteurs communs avec 2310=2×3×5×7×11 : 2¹, 5¹, 7¹, 11¹ ⟹ PGCD = 2×5×7×11
= 2310 = 2×3×5×7×11 ; 32 diviseurs ; PGCD(2310,1540) = 770
Ex.12 ★ Défi ★★★
→ Supposons √2 = pq avec PGCD(p,q)=1 (fraction irréductible) : alors 2 = p²/q², soit p² = 2q²
→ p² est pair, donc p est pair (le carré d'un impair est impair) : on écrit p = 2k
→ Alors 4k² = 2q², soit q² = 2k² : q² est pair, donc q est pair aussi
→ p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse PGCD(p,q)=1 : l'hypothèse de départ est donc fausse
= √2 ne peut pas s'écrire comme une fraction : √2 est irrationnel
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