Montrer que pour tous réels a et b : |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire).
Distinguer 4 cas selon le signe de a et b.
Vérifier dans chaque cas.
Réponse
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
Mon score : _____ / 48 pts
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Ch3 — Intervalles et inéquations
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1Notation des intervalles★
x>3 · −2≤x<5 · x≤−1 ou x>4
→ x > 3 → ]3 ; +∞[
→ −2 ≤ x < 5 → [−2 ; 5[
→ x≤−1 ou x>4 → ]−∞ ; −1] ∪ ]4 ; +∞[
= ]3;+∞[ · [−2;5[ · ]−∞;−1]∪]4;+∞[
Ex.2Résoudre une inéquation du 1er degré★
3x−5>7 · −2x+3≤11 · 4(x−1)>2(x+3)
→ 3x−5>7 → 3x>12 → x>4
→ −2x+3≤11 → −2x≤8 → x≥−4
→ 4(x−1)>2(x+3) → 4x−4>2x+6 → 2x>10 → x>5
= ]4;+∞[ · [−4;+∞[ · ]5;+∞[
Ex.3Valeur absolue — définition★
|−7| · |3−8| · |x|=5 · |2x−3| pour x=1
→ |−7| = 7
→ |3−8| = |−5| = 5
→ |x|=5 → x=5 ou x=−5
→ |2×1−3| = |−1| = 1
= 7 · 5 · x=±5 · 1
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4Inéquations — vérification★★
2x+1>5(x=3) · 3−x≤0(x=2) · x²>4(x=−3)
→ 2(3)+1=7>5 → vrai → x=3 est solution
→ 3−2=1≤0 → faux → x=2 n'est pas solution
→ (−3)²=9>4 → vrai → x=−3 est solution
= x=3 : solution · x=2 : non · x=−3 : solution
Ex.5Inéquations du 2nd degré — signe★★
x²−4>0 · x²−5x+6≤0 · 2x²−8>0
→ x²−4>0 → (x−2)(x+2)>0 → x<−2 ou x>2
→ x²−5x+6≤0 → (x−2)(x−3)≤0 → 2≤x≤3
→ 2x²−8>0 → x²>4 → x<−2 ou x>2
= ]−∞;−2[∪]2;+∞[ · [2;3] · ]−∞;−2[∪]2;+∞[
Ex.6Équations avec valeur absolue★★
|x−2|=5 · |2x+1|=7 · |x+3|=|x−1|
→ |x−2|=5 → x−2=5 ou x−2=−5 → x=7 ou x=−3
→ |2x+1|=7 → x=3 ou x=−4
→ |x+3|=|x−1| → x+3=−(x−1) (l'autre cas est impossible) → x=−1
= x=7 ou −3 · x=3 ou −4 · x=−1
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Ch3 — Intervalles et inéquations
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite)Ex. 7 à 9
Ex.7Inéquations avec valeur absolue★★
→ |x| < 3 ⟺ −3 < x < 3
→ |x−4| ≥ 2 ⟺ x−4≥2 ou x−4≤−2 ⟺ x≥6 ou x≤2
→ |2x+1| ≤ 5 ⟺ −5≤2x+1≤5 ⟺ −6≤2x≤4 ⟺ −3≤x≤2
= ]−3;3[ ; ]−∞;2]∪[6;+∞[ ; [−3;2]
Ex.8Problème — budget★★
→ Inéquation : 9c + 3a ≤ 80
→ Pour c=5 : 45 + 3a ≤ 80 ⟹ 3a ≤ 35 ⟹ a ≤ 353 ≈ 11,67
= 9c+3a≤80 ; avec 5 cinémas, il peut acheter au maximum 11 applis (nombre entier)
Ex.9Système d'inéquations★★★
→ 2x−1 > 3 ⟺ 2x > 4 ⟺ x > 2
→ x+5 < 10 ⟺ x < 5
→ Intersection des deux conditions : x > 2 ET x < 5
= Solution : x ∈ ]2 ; 5[
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10Inéquation et fraction★★★
→ x−3x+1 > 0 : zéro du numérateur x=3, valeur interdite x=−1. Tableau de signes : positif pour x<−1, négatif pour −1<x<3, positif pour x>3
→ Solution 1 : x ∈ ]−∞;−1[ ∪ ]3;+∞[
→ 2x−4x−1 ≤ 0 : zéro du numérateur x=2, valeur interdite x=1. Tableau de signes : positif pour x<1, négatif pour 1<x<2, nul en x=2, positif pour x>2
= x ∈ ]−∞;−1[ ∪ ]3;+∞[ ; x ∈ ]1;2]
Ex.11Inéquation avec racine carrée★★★
→ √x > 3 : domaine x≥0. La fonction racine étant croissante, on élève au carré : x > 9
→ √(x+2) ≤ 4 : domaine x+2≥0, soit x≥−2. On élève au carré (les deux membres sont positifs) : x+2 ≤ 16 ⟹ x ≤ 14
= x ∈ ]9;+∞[ ; x ∈ [−2;14]
Ex.12★ Défi★★★
→ Si a et b sont de même signe (tous deux ≥0 ou tous deux ≤0), alors |a+b|=|a|+|b| exactement (les valeurs absolues s'additionnent sans compensation)
→ Si a et b sont de signes opposés (ex. a≥0, b≤0), alors |a+b| ≤ max(|a|,|b|) ≤ |a|+|b|, car une partie de a est compensée par b (ou inversement) dans la somme, ce qui ne peut que réduire ou maintenir la valeur absolue par rapport à la somme des valeurs absolues séparées
→ Dans les 4 cas (a,b positifs / négatifs / mixtes), on vérifie algébriquement que |a+b| ≤ |a|+|b|, avec égalité seulement quand a et b sont de même signe
= |a+b| ≤ |a|+|b| est vraie dans tous les cas (inégalité triangulaire), avec égalité si et seulement si a et b sont de même signe
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