00:00
Score : / 47
0%
⏱ Temps de travail
00:00
M
MathsOtop®
SECONDE
Fiche N° 04Chapitre 4 — Calcul littéral
Identités, factorisation, équations

Chapitre 4 — Calcul littéral

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Problèmes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Identités remarquables — développer ★ 4 pts
(a+b)²=a²+2ab+b² · (a−b)²=a²−2ab+b² · (a+b)(a−b)=a²−b²
Développer et réduire.
  1. (x+6)²
  2. (3x−2)²
  3. (x+4)(x−4)
  4. (2x+5)(2x−5)
Réponse  
Ex.2 Factoriser ★ 4 pts
Factoriser.
  1. x² − 25
  2. 4x² − 12x + 9
  3. x² + 10x + 25
  4. 9x² − 1
Réponse  
Ex.3 Développer (double distributivité) ★ 4 pts
Développer et réduire.
  1. (x+3)(2x−1)
  2. (3x−4)(x+2)
  3. (x+1)(x²−x+1)
Réponse  
mathsotop.frCh4 — Calcul littéral1 / 4
M
MathsOtop®
SECONDE
Fiche N° 04Chapitre 4 — Calcul littéral
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Résoudre des équations ★ 3 pts
Résoudre.
  1. 3(2x−1) = 5x+4
  2. (x+2)² = x²+8
  3. x²−7x = 0
Réponse  
Ex.5 Factorisation complète ★★ 4 pts
Factoriser complètement.
  1. 2x² − 8
  2. 3x² + 6x + 3
  3. x³ − 9x
  4. 4x² − 4x + 1
Réponse  
Ex.6 Calcul astucieux ★★ 3 pts
Utiliser les identités pour calculer sans poser.
  1. 101² = (100+1)²
  2. 99 × 101 = (100−1)(100+1)
  3. 48² = (50−2)²
Réponse  
mathsotop.frCh4 — Calcul littéral2 / 4
M
MathsOtop®
SECONDE
Fiche N° 04Chapitre 4 — Calcul littéral
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Équations produit nul ★★ 4 pts
Résoudre en factorisant.
  1. (x−3)(x+7) = 0
  2. x(2x−5) = 0
  3. (3x−1)(x+4)(x−2) = 0
Réponse  
Ex.8 Expression algébrique et géométrie ★★ 4 pts
Un grand carré de côté (x+3) contient un petit carré de côté 2.
  1. Exprimer l'aire de la région entre les deux carrés.
  2. Développer.
  3. Calculer pour x = 5.
Réponse  
Ex.9 Prouver une identité ★★★ 4 pts
Montrer que :
  1. (x+1)² − (x−1)² = 4x pour tout x.
  2. (a+b)² + (a−b)² = 2(a²+b²) pour tous a, b.
Réponse  
mathsotop.frCh4 — Calcul littéral3 / 4
M
MathsOtop®
SECONDE
Fiche N° 04Chapitre 4 — Calcul littéral
Fiche N° 04
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Équation avec paramètre ★★★ 4 pts
ax² − 4 = 0 (avec a ≠ 0).
  1. Factoriser le membre gauche.
  2. Résoudre selon le signe de a.
Réponse  
Ex.11 Polynômes — opérations ★★★ 4 pts
P(x) = x² − 3x + 2 et Q(x) = x + 1.
  1. Calculer P(x) + Q(x) et P(x) × Q(x).
  2. Développer P(x) × Q(x).
  3. Résoudre P(x) = 0.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
E = (2x−1)² − (x+3)(2x−1).
  1. Factoriser E en mettant (2x−1) en facteur commun.
  2. Développer et réduire la deuxième facteur.
  3. Résoudre E = 0.
  4. Calculer E pour x = 2.
Réponse  
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
Mon score : _____ / 47 pts
mathsotop.frCh4 — Calcul littéral4 / 4
M
MathsOtop®
LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch4 — Calcul littéral
✦ Corrigé — Ch4 — Calcul littéral
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Identités remarquables — développer ★
(x+6)² · (3x−2)² · (x+4)(x−4) · (2x+5)(2x−5)
→ (x+6)² = x²+12x+36
→ (3x−2)² = 9x²−12x+4
→ (x+4)(x−4) = x²−16
→ (2x+5)(2x−5) = 4x²−25
= x²+12x+36 · 9x²−12x+4 · x²−16 · 4x²−25
Ex.2 Factoriser ★
x²−25 · 4x²−12x+9 · x²+10x+25 · 9x²−1
→ x²−25 = (x−5)(x+5)
→ 4x²−12x+9 = (2x−3)²
→ x²+10x+25 = (x+5)²
→ 9x²−1 = (3x−1)(3x+1)
= (x−5)(x+5) · (2x−3)² · (x+5)² · (3x−1)(3x+1)
Ex.3 Développer (double distributivité) ★
(x+3)(2x−1) · (3x−4)(x+2) · (x+1)(x²−x+1)
→ (x+3)(2x−1) = 2x²+5x−3
→ (3x−4)(x+2) = 3x²+2x−8
→ (x+1)(x²−x+1) = x³+1
= 2x²+5x−3 · 3x²+2x−8 · x³+1
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Résoudre des équations ★★
3(2x−1)=5x+4 · (x+2)²=x²+8 · x²−7x=0
→ 3(2x−1)=5x+4 → 6x−3=5x+4 → x=7
→ (x+2)²=x²+8 → 4x+4=8 → x=1
→ x²−7x=0 → x(x−7)=0 → x=0 ou x=7
= x=7 · x=1 · x=0 ou 7
Ex.5 Factorisation complète ★★
2x²−8 · 3x²+6x+3 · x³−9x · 4x²−4x+1
→ 2x²−8 = 2(x²−4) = 2(x−2)(x+2)
→ 3x²+6x+3 = 3(x²+2x+1) = 3(x+1)²
→ x³−9x = x(x²−9) = x(x−3)(x+3)
→ 4x²−4x+1 = (2x−1)²
= 2(x−2)(x+2) · 3(x+1)² · x(x−3)(x+3) · (2x−1)²
Ex.6 Calcul astucieux ★★
101² · 99×101 · 48²
→ 101² = (100+1)² = 10 201
→ 99×101 = (100−1)(100+1) = 10 000−1 = 9 999
→ 48² = (50−2)² = 2500−200+4 = 2 304
= 10 201 · 9 999 · 2 304
mathsotop.frCorrigé — Ch4 — Calcul littéral 5 / 6
M
MathsOtop®
LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch4 — Calcul littéral
✦ Corrigé — Ch4 — Calcul littéral
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Équations produit nul ★★
→ (x−3)(x+7)=0 ⟹ x=3 ou x=−7
→ x(2x−5)=0 ⟹ x=0 ou x=52
→ (3x−1)(x+4)(x−2)=0 ⟹ x=13 ou x=−4 ou x=2
= x=3 ou −7 ; x=0 ou 52 ; x=13, −4 ou 2
Ex.8 Expression algébrique et géométrie ★★
→ Aire de la région = aire du grand carré − aire du petit carré = (x+3)² − 4
→ Développement : (x+3)²−4 = x²+6x+9−4 = x²+6x+5
→ Pour x=5 : 5²+6×5+5 = 25+30+5
= Aire = x²+6x+5 ; pour x=5, aire = 60
Ex.9 Prouver une identité ★★★
→ 1) (x+1)²−(x−1)² : identité a²−b²=(a−b)(a+b) avec a=x+1, b=x−1 : (a−b)=2, (a+b)=2x, produit=4x
→ 2) (a+b)²+(a−b)² = (a²+2ab+b²)+(a²−2ab+b²) = 2a²+2b² = 2(a²+b²)
= Les deux identités sont vérifiées pour tout x (resp. tous a,b)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Équation avec paramètre ★★★
→ ax²−4 = a(x²−4a). Si a>0 : x²−4a = (x−2√a)(x+2√a)
→ Si a>0 : x² = 4a > 0, donc x = 2√a ou x = −2√a
→ Si a<0 : x² = 4a < 0, ce qui est impossible pour un carré réel : pas de solution réelle
= Si a>0 : x = ±2√a ; si a<0 : aucune solution réelle
Ex.11 Polynômes — opérations ★★★
→ P(x)+Q(x) = (x²−3x+2)+(x+1) = x²−2x+3
→ P(x)×Q(x) = (x²−3x+2)(x+1) = x³+x²−3x²−3x+2x+2 = x³−2x²−x+2
→ P(x)=0 : x²−3x+2=0, on factorise (x−1)(x−2)=0 ⟹ x=1 ou x=2
= P+Q = x²−2x+3 ; P×Q = x³−2x²−x+2 ; P(x)=0 pour x=1 ou x=2
Ex.12 ★ Défi ★★★
→ E = (2x−1)² − (x+3)(2x−1) = (2x−1)×[(2x−1)−(x+3)]
→ Deuxième facteur réduit : (2x−1)−(x+3) = x−4, donc E = (2x−1)(x−4)
→ E=0 ⟺ (2x−1)(x−4)=0 ⟹ x=12 ou x=4
→ Pour x=2 : E = (2×2−1)(2−4) = 3×(−2) = −6
= E = (2x−1)(x−4) ; E=0 pour x=12 ou x=4 ; E(2) = −6
mathsotop.frCorrigé — Ch4 — Calcul littéral 6 / 6