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Fiche N° 05Chapitre 5 — Géométrie non repérée
Droites, triangles, Pythagore, Thalès

Chapitre 5 — Géométrie non repérée

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Problèmes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Pythagore — calcul ★ 4 pts
Calculer le côté manquant (arrondir au mm).
  1. Triangle rect. en B : AB=8, BC=6. AC=?
  2. Triangle rect. en A : AB=5, AC=13. BC=?
  3. Hyp.=17, côté=8. Autre côté=?
Réponse  
Ex.2 Thalès — calculer une longueur ★ 4 pts
MN ∥ BC, M∈[AB], N∈[AC]. AM=4, AB=10, AN=5.
  1. Calculer AC.
  2. Si MN=3, calculer BC.
Réponse  
Ex.3 Angles dans un triangle ★ 4 pts
Calculer les angles manquants.
  1. Triangle : 55°, 72°, ?
  2. Triangle isocèle, angle sommet 100°. Angles base = ?
  3. Quadrilatère ABCD : 85°, 110°, 95°, D=?
Réponse  
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Fiche N° 05Chapitre 5 — Géométrie non repérée
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Médiatrice et distances ★ 3 pts
Propriété : tout point de la médiatrice de [AB] est équidistant de A et B.
  1. Construire la médiatrice de [AB] avec A(0,0) et B(6,0).
  2. Vérifier qu'un point P de cette médiatrice vérifie PA=PB.
Réponse  
Ex.5 Thalès réciproque ★★ 4 pts
AM=5, AB=8, AN=7, AC=11,2. MN est-elle parallèle à BC ? Justifier rigoureusement.
Réponse  
Ex.6 Trigonométrie ★★ 4 pts
Triangle rectangle en B. Calculer (arrondir au degré ou mm).
  1. AB=7, AC=11. Angle A=?
  2. Angle A=38°, AC=12. AB=?
  3. Angle B=90°, BC=5, angle A=42°. AC=?
Réponse  
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Fiche N° 05Chapitre 5 — Géométrie non repérée
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Aire d'un triangle — formule ★★ 4 pts
  1. Triangle base=9cm, hauteur=6cm. Aire=?
  2. Triangle équilatéral de côté 8cm. Calculer la hauteur, puis l'aire.
  3. Losange : diagonales 10cm et 6cm. Aire=?
Réponse  
Ex.8 Problème de construction ★★ 4 pts
Un terrain triangulaire a un côté de 120m, et les deux angles adjacents à ce côté sont 55° et 70°.
  1. Calculer le troisième angle.
  2. Faire un schéma et identifier le type de triangle.
Réponse  
Ex.9 Thalès — problème d'ombre ★★★ 4 pts
Un arbre projette une ombre de 6m. Simultanément, un piquet de 1,2m projette une ombre de 0,8m.
  1. Schématiser (Thalès).
  2. Calculer la hauteur de l'arbre.
Réponse  
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Fiche N° 05Chapitre 5 — Géométrie non repérée
Fiche N° 05
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Pythagore — équation ★★★ 4 pts
Un triangle rectangle a ses deux côtés de l'angle droit en rapport 3:4, et son hypoténuse vaut 25cm.
  1. Appeler 3k et 4k les deux côtés.
  2. Écrire l'équation de Pythagore et résoudre.
  3. Calculer les longueurs des trois côtés.
Réponse  
Ex.11 Cercle et géométrie ★★★ 4 pts
Un triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre BC=26cm. AB=10cm.
  1. Quel est l'angle BAC ? Justifier.
  2. Calculer AC.
  3. Calculer l'aire du triangle ABC.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
ABCD est un rectangle avec AB=8 et BC=6. M est un point de [AB] avec AM=x (0
  • Exprimer CM² et BM² en fonction de x (Pythagore).
  • Montrer que CM² − BM² est constant, quelle que soit la position de M.
  • Que représente cette constante géométriquement ?
    • Réponse  
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    ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
    ★
    Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
    Ex.1 Pythagore — calcul ★
    AB=8,BC=6(rect. en B) · AB=5,AC=13(rect. en A) · Hyp=17,côté=8
    → AC = √8²+6² = √100 = 10 cm
    → BC = √5²+13² = √194 ≈ 13,9 cm
    → Autre côté = √17²−8² = √225 = 15 cm
    = 10 cm · ≈13,9 cm · 15 cm
    Ex.2 Thalès — calculer une longueur ★
    MN∥BC, AM=4, AB=10, AN=5, MN=3
    → AMAB = ANAC → 410 = 5AC → AC = 12,5 cm
    → MNBC = AMAB → 3BC = 410 → BC = 7,5 cm
    = AC = 12,5 cm · BC = 7,5 cm
    Ex.3 Angles dans un triangle ★
    55°,72°,? · isocèle sommet 100° · quadrilatère 85°,110°,95°,?
    → 180°−55°−72° = 53°
    → (180°−100°)÷2 = 40° (chaque angle de base)
    → 360°−85°−110°−95° = 70°
    = 53° · 40° · 70°
    ★★
    Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
    Ex.4 Médiatrice et distances ★★
    A(0,0), B(6,0)
    → Médiatrice de [AB] : droite verticale x = 3
    → Pour P(3, y) : PA = √(9+y²) = PB = √(9+y²) → PA = PB toujours vérifié
    = Médiatrice : x=3 · PA=PB confirmé
    Ex.5 Thalès réciproque ★★
    AM=5, AB=8, AN=7, AC=11,2
    → AMAB = 58 = 0,625
    → ANAC = 711,2 = 0,625
    = Les rapports sont égaux (0,625=0,625) donc (MN) ∥ (BC)
    Ex.6 Trigonométrie ★★
    AB=7,AC=11 · angle A=38°,AC=12 · BC=5,angle A=42°
    → cos(A) = ABAC = 711 ≈ 0,636 → A ≈ 51°
    → AB = AC×cos(38°) = 12×cos(38°) ≈ 9,5 cm
    → AC = BCsin(42°) = 5sin(42°) ≈ 7,5 cm
    = A ≈ 51° · AB ≈ 9,5 cm · AC ≈ 7,5 cm
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    ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
    ★★
    Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
    Ex.7 Aire d'un triangle — formule ★★
    → Aire = base×hauteur/2 = 9×62 = 27 cm²
    → Hauteur d'un triangle équilatéral de côté c : h = c√32 = 8√32 = 4√3 cm ≈ 6,93 cm ; aire = 8×4√32 = 16√3 cm² ≈ 27,7 cm²
    → Aire du losange = d₁×d₂2 = 10×62 = 30 cm²
    = 27 cm² ; ≈27,7 cm² (16√3) ; 30 cm²
    Ex.8 Problème de construction ★★
    → Somme des angles = 180° : 3ᵉ angle = 180−55−70 = 55°
    → Deux angles sont égaux (55° et 55°) : le triangle est isocèle (les côtés opposés à ces angles égaux sont de même longueur)
    = Troisième angle = 55° ; le triangle est isocèle
    Ex.9 Thalès — problème d'ombre ★★★
    → Piquet et arbre verticaux, ombres alignées avec le soleil : configuration de Thalès
    → h/1,2 = 60,8
    → h = 1,2×60,8
    = Hauteur de l'arbre = 9 m
    ★★★
    Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
    Ex.10 Pythagore — équation ★★★
    → Côtés de l'angle droit : 3k et 4k
    → Pythagore : (3k)²+(4k)² = 25² ⟹ 9k²+16k² = 625 ⟹ 25k² = 625 ⟹ k² = 25 ⟹ k=5
    → Côtés : 3k=15 ; 4k=20 ; hypoténuse = 25
    = k = 5 ; côtés : 15 cm, 20 cm et 25 cm
    Ex.11 Cercle et géométrie ★★★
    → BC est un diamètre, donc d'après la propriété de l'angle inscrit dans un demi-cercle, l'angle BAC est droit (90°)
    → Pythagore : AC² = BC²−AB² = 26²−10² = 676−100 = 576 ⟹ AC = 24 cm
    → Aire = AB×AC2 = 10×242
    = Angle BAC = 90° ; AC = 24 cm ; aire = 120 cm²
    Ex.12 ★ Défi ★★★
    → En plaçant A(0,0), B(8,0), C(8,6), M(x,0) : CM² = (8−x)²+6² = (8−x)²+36 ; BM² = (8−x)²
    → CM² − BM² = [(8−x)²+36] − (8−x)² = 36, une valeur constante (indépendante de x)
    → Dans le triangle rectangle CBM (angle droit en B), Pythagore donne CM² = CB² + BM², donc CM²−BM² = CB² = 6² = 36
    = CM²−BM² = 36 est constant, et représente CB² (le carré du côté BC du rectangle)
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