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Fiche N° 06Chapitre 6 — Vecteurs et repère
Vecteurs, coordonnées, colinéarité

Chapitre 6 — Vecteurs et repère

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Problèmes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Coordonnées d'un vecteur ★ 4 pts
A(2,1), B(5,4), C(−1,3), D(2,0).
  1. Calculer les coordonnées de AB et CD.
  2. Calculer les coordonnées de 2AB − CD.
Réponse  
Ex.2 Norme d'un vecteur ★ 4 pts
Calculer la norme de chaque vecteur.
a) u(3, 4)
b) v(−5, 12)
c) w(1, 1)
d) AB avec A(1,2),B(4,6)
Réponse
Ex.3 Vecteurs égaux — milieu ★ 4 pts
A(1,3), B(5,1), C(4,6), D(?,?).
  1. Pour que ABDC soit un parallélogramme, trouver D.
  2. Calculer le milieu de [BC].
Réponse  
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Fiche N° 06Chapitre 6 — Vecteurs et repère
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Colinéarité — vecteurs ★ 3 pts
Déterminer si les vecteurs sont colinéaires.
  1. u(4,6) et v(2,3)
  2. u(3,5) et v(6,9)
  3. u(1,−2) et v(3,4)
Réponse  
Ex.5 Vecteurs et barycentre ★★ 4 pts
G est le centre de gravité du triangle ABC (G est tel que AG+BG+CG=0⃗).
A(2,1), B(6,3), C(1,5).
  1. Calculer les coordonnées de G.
  2. Vérifier que G est bien le barycentre.
Réponse  
Ex.6 Alignement de points ★★ 4 pts
A(1,2), B(3,5), C(7,11). Les points A, B, C sont-ils alignés ? Deux méthodes.
Réponse  
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Fiche N° 06Chapitre 6 — Vecteurs et repère
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Translation ★★ 4 pts
Le triangle ABC a A(1,2), B(4,2), C(4,6). On le translate du vecteur t(−3,1).
  1. Calculer les coordonnées de A', B', C'.
  2. Ce triangle est-il semblable à ABC ?
Réponse  
Ex.8 Vecteur directeur d'une droite ★★ 4 pts
A(2,−1) et B(5,5) définissent une droite.
  1. Calculer un vecteur directeur de (AB).
  2. Donner un vecteur normal à (AB).
  3. Quelle est la pente (coefficient directeur) de (AB) ?
Réponse  
Ex.9 Décomposition de vecteurs ★★★ 4 pts
u = 2i + 3j, v = i − j avec i(1,0) et j(0,1).
  1. Exprimer u et v en coordonnées.
  2. Calculer 3u − 2v.
  3. Calculer ‖u + v‖.
Réponse  
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Fiche N° 06
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Parallélogramme ★★★ 4 pts
ABCD est un parallélogramme ssi AB = DC. A(1,0), B(4,2), C(6,5).
  1. Trouver D pour que ABCD soit un parallélogramme.
  2. Calculer les diagonales et leurs milieux.
Réponse  
Ex.11 Vecteurs et colinéarité — démonstration ★★★ 4 pts
A(1,2), B(3,6), C(0,0).
  1. Calculer CA et CB.
  2. Les vecteurs sont-ils colinéaires ? Conclure sur A, B, C.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
ABCD est un quadrilatère quelconque. M, N, P, Q sont les milieux respectifs de AB, BC, CD, DA.
  1. Montrer que MNPQ est un parallélogramme (utiliser les vecteurs).
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Coordonnées d'un vecteur ★
A(2,1),B(5,4),C(−1,3),D(2,0)
→ AB = (5−2 ; 4−1) = (3 ; 3)
→ CD = (2−(−1) ; 0−3) = (3 ; −3)
→ 2AB − CD = (6;6) − (3;−3) = (3 ; 9)
= AB=(3;3) · CD=(3;−3) · 2AB−CD=(3;9)
Ex.2 Norme d'un vecteur ★
u(3,4) · v(−5,12) · w(1,1) · AB avec A(1,2),B(4,6)
→ ||u|| = √3²+4² = √25 = 5
→ ||v|| = √5²+12² = √169 = 13
→ ||w|| = √1²+1² = √2
→ ||AB|| = √3²+4² = 5
= 5 · 13 · √2 · 5
Ex.3 Vecteurs égaux — milieu ★
A(1,3), B(5,1), C(4,6), ABDC parallélogramme
→ Pour ABDC parallélogramme : AB = CD (vecteurs) → AB=(4;−2) → D = C+AB = (8;4)
→ Milieu de [BC] = (5+42 ; 1+62) = (4,5 ; 3,5)
= D = (8 ; 4) · Milieu[BC] = (4,5 ; 3,5)
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Colinéarité — vecteurs ★★
u(4,6),v(2,3) · u(3,5),v(6,9) · u(1,−2),v(3,4)
→ 4×3−6×2 = 12−12 = 0 → colinéaires
→ 3×9−5×6 = 27−30 = −3 ≠ 0 → non colinéaires
→ 1×4−(−2)×3 = 4+6 = 10 ≠ 0 → non colinéaires
= colinéaires · non colinéaires · non colinéaires
Ex.5 Vecteurs et barycentre ★★
A(2,1), B(6,3), C(1,5)
→ G = (2+6+13 ; 1+3+53) = (3 ; 3)
→ AG+BG+CG = 3G−(A+B+C) = (9;9)−(9;9) = (0;0) ✓
= G = (3 ; 3), vérifié
Ex.6 Alignement de points ★★
A(1,2), B(3,5), C(7,11)
→ Méthode 1 (colinéarité) : AB=(2;3), AC=(6;9) → 2×9−3×6=0 → colinéaires
→ Méthode 2 (pentes) : pente AB = 32, pente AC = 96 = 32 → égales
= A, B, C sont alignés (les deux méthodes concordent)
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Translation ★★
→ A' = A + t = (1−3 ; 2+1) = (−2 ; 3)
→ B' = (4−3 ; 2+1) = (1 ; 3) ; C' = (4−3 ; 6+1) = (1 ; 7)
→ Une translation est une isométrie : elle conserve les longueurs et les angles
= A'(−2;3), B'(1;3), C'(1;7) ; le triangle A'B'C' est superposable à ABC (donc semblable, même congruent)
Ex.8 Vecteur directeur d'une droite ★★
→ Vecteur directeur AB = B−A = (5−2 ; 5−(−1)) = (3 ; 6), qu'on peut réduire à (1 ; 2)
→ Vecteur normal : perpendiculaire à (3;6), par exemple (6 ; −3) ou réduit (2 ; −1) — vérification : 3×2+6×(−1)=0
→ Pente = Δy/Δx = 63 = 2
= Vecteur directeur (1;2) ; vecteur normal (2;−1) ; pente = 2
Ex.9 Décomposition de vecteurs ★★★
→ u = 2i+3j a pour coordonnées (2;3) ; v = i−j a pour coordonnées (1;−1)
→ 3u−2v = 3(2;3)−2(1;−1) = (6;9)−(2;−2) = (4;11)
→ u+v = (3;2) ; ‖u+v‖ = √(3²+2²) = √13
= 3u−2v = (4;11) ; ‖u+v‖ = √13
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Parallélogramme ★★★
→ AB = D est tel que vecAB = vecDC, donc D = C − vecAB. vecAB = B−A = (3;2)
→ D = (6−3 ; 5−2) = (3 ; 3)
→ Diagonale AC : longueur √(5²+5²)=5√2, milieu (3,5 ; 2,5). Diagonale BD : longueur √(1²+1²)=√2, milieu (3,5 ; 2,5) — les diagonales ont bien le même milieu (propriété du parallélogramme)
= D(3;3) ; les deux diagonales se coupent en leur milieu commun (3,5 ; 2,5)
Ex.11 Vecteurs et colinéarité — démonstration ★★★
→ vecCA = A−C = (1;2) ; vecCB = B−C = (3;6)
→ (3;6) = 3×(1;2) : les deux vecteurs sont colinéaires (même direction)
= vecCA et vecCB sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés
Ex.12 ★ Défi ★★★
→ Avec les vecteurs position : M=A+B2, N=B+C2, P=C+D2, Q=D+A2
→ vecMN = N−M = B+C2 − A+B2 = C−A2
→ vecQP = P−Q = C+D2 − D+A2 = C−A2
→ vecMN = vecQP : les côtés opposés MN et QP sont égaux et parallèles
= vecMN = vecQP, donc MNPQ est un parallélogramme (théorème de Varignon)
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