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Fiche N° 07Chapitre 7 — Droites et systèmes
Équations de droites, systèmes linéaires

Chapitre 7 — Droites et systèmes

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Problèmes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Équation de droite y = mx + p ★ 4 pts
Déterminer l'équation de la droite passant par :
  1. A(1,3) et B(3,7)
  2. C(0,−2) et D(4,6)
  3. Pente m=−2 passant par E(1,5)
Réponse  
Ex.2 Position relative de droites ★ 4 pts
Déterminer si les droites sont sécantes, parallèles ou confondues.
  1. D₁: y=2x+3 et D₂: y=2x−1
  2. D₁: y=3x+1 et D₂: y=−x+5
  3. D₁: 2x+y=4 et D₂: 4x+2y=8
Réponse  
Ex.3 Système 2×2 — substitution ★ 4 pts
Résoudre par substitution.
  1. y=2x−1 et 3x+y=9
  2. x+2y=7 et x−y=1
Réponse  
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Droites et systèmes
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Système 2×2 — combinaison ★ 4 pts
Résoudre par combinaison linéaire.
  1. 2x+3y=8 et x−y=1
  2. 3x+2y=7 et 5x−2y=9
Réponse  
Ex.5 Droite — équation cartésienne ★★ 4 pts
Écrire l'équation ax+by+c=0 pour chaque droite.
  1. Passe par A(2,3) et B(5,1)
  2. Passe par C(−1,4) avec pente 3
  3. Passe par D(3,−2) et est parallèle à y=2x+1
Réponse  
Ex.6 Intersection de droites ★★ 4 pts
Trouver le point d'intersection de D₁ et D₂.
  1. D₁: y=x+2 et D₂: y=−2x+8
  2. D₁: 3x−y=1 et D₂: x+2y=8
Réponse  
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Droites et systèmes
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Problème — tarifs ★★ 4 pts
Abonnement A : 15 € + 0,5 €/appel. Abonnement B : 0 € + 1,2 €/appel.
  1. Exprimer le coût de chaque abonnement en fonction du nb d'appels n.
  2. Pour quel nb d'appels est-ce équivalent ?
  3. Quel abonnement recommander pour 30 appels/mois ?
Réponse  
Ex.8 Système avec fraction ★★ 4 pts
Résoudre le système.
x2 + y3 = 2 et x4 − y = −1
Réponse  
Ex.9 Droite perpendiculaire ★★★ 4 pts
D: y = 3x − 4.
  1. Quelle est la pente d'une droite perpendiculaire à D ?
  2. Écrire l'équation de la droite passant par A(2,1) et perpendiculaire à D.
Réponse  
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Fiche N° 07Chapitre 7 — Droites et systèmes
Fiche N° 07
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Problème — vitesse ★★★ 4 pts
Deux voitures partent en même temps. Voiture A : 80 km/h depuis la ville X. Voiture B : 100 km/h depuis Y, à 360 km de X, vers X.
  1. Modéliser par deux fonctions affines.
  2. Résoudre pour trouver quand elles se croisent.
Réponse  
Ex.11 Système 3×3 (introduction) ★★★ 4 pts
x + y + z = 6, x + 2y = 5, y + z = 4.
  1. Trouver z depuis l'équation 2.
  2. Substituer dans 1 et 3 pour trouver x et y.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi ★★★ 5 pts
Les droites D₁: ax+by=1 et D₂: bx+ay=1 (avec a≠b).
  1. Résoudre le système en fonction de a et b.
  2. Montrer que les deux droites se coupent toujours en (1a+b ; 1a+b) si a+b≠0.
  3. Que se passe-t-il si a+b=0 ?
Réponse  
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✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Droites et systèmes
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Équation de droite y = mx + p ★
A(1,3),B(3,7) · C(0,−2),D(4,6) · pente −2 par E(1,5)
→ Pente = 7−33−1 = 2 → y = 2x+1
→ Pente = 6−(−2)4−0 = 2, passe par (0,−2) → y = 2x−2
→ y = −2x+b, 5=−2+b → b=7 → y = −2x+7
= y=2x+1 · y=2x−2 · y=−2x+7
Ex.2 Position relative de droites ★
y=2x+3y=2x−1 · y=3x+1y=−x+5 · 2x+y=4/4x+2y=8
→ Mêmes pentes (2), ordonnées différentes → parallèles distinctes
→ Pentes différentes (3≠−1) → sécantes
→ D2 = 2×D1 → équations équivalentes → confondues
= parallèles · sécantes · confondues
Ex.3 Système 2×2 — substitution ★
y=2x−1,3x+y=9 · x+2y=7,x−y=1
→ 3x+(2x−1)=9 → 5x=10 → x=2, y=3
→ x=1+y, (1+y)+2y=7 → 3y=6 → y=2, x=3
= (2 ; 3) · (3 ; 2)
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Système 2×2 — combinaison ★★
2x+3y=8,x−y=1 · 3x+2y=7,5x−2y=9
→ x=1+y → 2(1+y)+3y=8 → 5y=6 → y=65, x=115
→ Addition : 8x=16 → x=2, puis 3(2)+2y=7 → y=0,5
= (115 ; 65) · (2 ; 0,5)
Ex.5 Droite — équation cartésienne ★★
A(2,3),B(5,1) · C(−1,4),pente3 · D(3,−2)∥y=2x+1
→ Pente = −23 → 2x+3y−13 = 0
→ y−4 = 3(x+1) → 3x−y+7 = 0
→ Parallèle à y=2x+1 (pente 2) passant par (3,−2) → 2x−y−8 = 0
= 2x+3y−13=0 · 3x−y+7=0 · 2x−y−8=0
Ex.6 Intersection de droites ★★
y=x+2,y=−2x+8 · 3x−y=1,x+2y=8
→ x+2 = −2x+8 → 3x=6 → x=2, y=4 → (2;4)
→ y=3x−1, x+2(3x−1)=8 → 7x=10 → x=107, y=237
= (2 ; 4) · (107 ; 237)
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Problème — tarifs ★★
→ A(n) = 15 + 0,5n ; B(n) = 1,2n
→ Égalité : 15+0,5n = 1,2n ⟹ 15 = 0,7n ⟹ n = 150,7 ≈ 21,4
→ Pour 30 appels : A(30) = 15+15 = 30 € ; B(30) = 1,2×30 = 36 €
= Équivalent à environ 21,4 appels ; pour 30 appels, l'abonnement A (30 €) est plus avantageux que B (36 €)
Ex.8 Système avec fraction ★★
→ x2+y3=2, multiplié par 6 : 3x+2y=12. x4−y=−1, multiplié par 4 : x−4y=−4, soit x=4y−4
→ Substitution : 3(4y−4)+2y=12 ⟹ 12y−12+2y=12 ⟹ 14y=24 ⟹ y=127
→ x = 4×(127)−4 = 487−287 = 207
= x = 207 ; y = 127
Ex.9 Droite perpendiculaire ★★★
→ Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut −1 : pente de D = 3, donc pente cherchée = −13
→ Droite passant par A(2,1) de pente −13 : y−1 = −13(x−2)
= Pente = −13 ; équation : y = −(13)x + 53
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Problème — vitesse ★★★
→ Position de A (depuis X) : a(t)=80t. Position de B (depuis X, en se rapprochant) : b(t)=360−100t
→ Elles se croisent quand a(t)=b(t) : 80t = 360−100t ⟹ 180t=360
→ t = 2 h, position = 80×2
= Elles se croisent après 2 h, à 160 km de X
Ex.11 Système 3×3 (introduction) ★★★
→ De l'équation 3 : y+z=4 ⟹ z = 4−y
→ Dans l'équation 1 : x+y+(4−y)=6 ⟹ x+4=6 ⟹ x=2
→ Dans l'équation 2 : 2+2y=5 ⟹ y=32, puis z=4−32
= x=2 ; y=32 ; z=52
Ex.12 ★ Défi ★★★
→ En soustrayant les deux équations : (a−b)x + (b−a)y = 0 ⟹ (a−b)(x−y)=0. Comme a≠b, on a x=y
→ En substituant dans ax+by=1 : ax+bx=1 ⟹ x(a+b)=1
→ Si a+b≠0 : x=y=1a+b, ce qui donne bien le point (1a+b ; 1a+b)
→ Si a+b=0 (b=−a) : l'équation x(a+b)=1 devient 0=1, impossible : les droites sont parallèles (pentes −ab et −ba égales quand a=−b) et distinctes, donc pas de point d'intersection
= Si a+b≠0, intersection unique en (1a+b ; 1a+b) ; si a+b=0, les droites sont parallèles distinctes : aucune solution
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