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Fiche N° 08Chapitre 8 — Généralités sur les fonctions
Définition, courbe, variations, parité

Chapitre 8 — Généralités sur les fonctions

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Problèmes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Domaine de définition ★ 4 pts
Déterminer le domaine de définition.
  1. f(x) = 1x−3
  2. g(x) = √2x+4
  3. h(x) = 1√x+1
  4. k(x) = √x + 1x−2
Réponse  
Ex.2 Image et antécédent ★ 4 pts
f(x) = 2x² − 3x + 1.
  1. Calculer f(0), f(1), f(−1), f(3).
  2. Résoudre f(x) = 0.
  3. Résoudre f(x) = 6.
Réponse  
Ex.3 Courbe représentative ★ 4 pts
Tracer la courbe de f(x) = x² − 2x (tableau de valeurs pour x ∈ [−1 ; 3]).
  1. Compléter le tableau de valeurs.
  2. Tracer la courbe.
Réponse  
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Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Lecture graphique ★ 3 pts
Sur un graphique de f, lire (réponses approximatives) :
  1. f(2) = ?
  2. Les antécédents de 3.
  3. Les x où f(x) > 1.
Réponse  
Ex.5 Parité — fonctions paires et impaires ★★ 4 pts
Paire : f(−x)=f(x) · Impaire : f(−x)=−f(x)
Étudier la parité.
  1. f(x) = x⁴ − 3x²
  2. g(x) = x³ + 2x
  3. h(x) = x² + x
Réponse  
Ex.6 Tableau de variations ★★ 4 pts
f(x) = −x² + 4x + 1.
  1. Calculer f(0), f(1), f(2), f(3), f(4).
  2. Dresser le tableau de variations sur [0;4].
  3. Quel est le maximum de f sur [0;4] ?
Réponse  
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Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Fonctions usuelles — racine carrée ★★ 4 pts
f(x) = √x.
  1. Domaine de définition.
  2. Calculer f(0), f(1), f(4), f(9), f(16).
  3. La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
  4. Résoudre f(x) = 5.
Réponse  
Ex.8 Extremums et variations ★★ 4 pts
f est définie sur [−3 ; 4]. f(−3)=1, f(0)=5, f(2)=−1, f(4)=3. f est croissante sur [−3;0] et [2;4], décroissante sur [0;2].
  1. Dresser le tableau de variations.
  2. Maximum et minimum de f sur [−3;4].
Réponse  
Ex.9 Composée de fonctions ★★★ 4 pts
f(x) = 2x+1 et g(x) = x².
  1. Calculer f∘g(x) et g∘f(x).
  2. Calculer f∘g(3) et g∘f(3).
  3. Ces fonctions composées sont-elles égales ?
Réponse  
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Fiche N° 08
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Encadrement et valeur approchée ★★★ 4 pts
f(x) = x³ − 2x + 1.
  1. Calculer f(1) et f(2). Que peut-on dire ?
  2. Calculer f(1,5). Affiner l'encadrement d'une racine.
  3. Donner une valeur approchée à 0,1 près d'une racine dans ]1;2[.
Réponse  
Ex.11 Fonctions et inéquations ★★★ 4 pts
f(x) = x² − 2x − 3.
  1. Factoriser f(x).
  2. Résoudre f(x) ≥ 0.
  3. Résoudre f(x) < 0.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Fonction et optimisation ★★★ 5 pts
On veut construire une boîte sans couvercle à base carrée de côté x et de hauteur h, avec un volume de 32 cm³.
  1. Exprimer h en fonction de x.
  2. Exprimer l'aire totale A(x) de la boîte.
  3. Trouver la valeur de x qui minimise A(x) (essais ou graphique).
Réponse  
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✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Domaine de définition ★
1x−3 · √2x+4 · 1√x+1 ·√x+1x−2
→ f : x−3≠0 → Df = ℝ\{3}
→ g : 2x+4≥0 → x≥−2 → Dg = [−2;+∞[
→ h : x+1>0 → x>−1 → Dh = ]−1;+∞[
→ k : x≥0 et x≠2 → Dk = [0;2[∪]2;+∞[
= ℝ\{3} · [−2;+∞[ · ]−1;+∞[ · [0;2[∪]2;+∞[
Ex.2 Image et antécédent ★
f(x) = 2x²−3x+1
→ f(0)=1, f(1)=0, f(−1)=6, f(3)=10
→ f(x)=0 → (2x−1)(x−1)=0 → x=0,5 ou x=1
→ f(x)=6 → 2x²−3x−5=0 → discriminant=49 → x=2,5 ou x=−1
= f(0)=1,f(1)=0,f(−1)=6,f(3)=10 · x=0,5 ou 1 · x=2,5 ou −1
Ex.3 Courbe représentative ★
f(x) = x²−2x sur [−1;3]
→ f(−1)=3, f(0)=0, f(1)=−1, f(2)=0, f(3)=3
→ Placer les points et tracer la parabole (sommet en (1;−1))
= 3 ; 0 ; −1 ; 0 ; 3 (sommet en x=1)
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Lecture graphique ★★
Méthode générale de lecture graphique
→ f(2) : lire l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 2
→ Antécédents de 3 : lire les abscisses des points d'ordonnée 3
→ f(x)>1 : repérer la portion de courbe située au-dessus de la droite y=1
= Lecture directe sur le graphique (méthode)
Ex.5 Parité — fonctions paires et impaires ★★
f(x)=x⁴−3x² · g(x)=x³+2x · h(x)=x²+x
→ f(−x)=x⁴−3x²=f(x) → f est paire
→ g(−x)=−x³−2x=−g(x) → g est impaire
→ h(−x)=x²−x ≠ h(x) et ≠ −h(x) → h n'est ni paire ni impaire
= f paire · g impaire · h ni l'une ni l'autre
Ex.6 Tableau de variations ★★
f(x) = −x²+4x+1
→ f(0)=1, f(1)=4, f(2)=5, f(3)=4, f(4)=1
→ Croissante sur [0;2], décroissante sur [2;4]
= Maximum = 5, atteint en x = 2
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Fonctions usuelles — racine carrée ★★
→ Domaine de définition : x doit être ≥ 0, donc D_f = [0 ; +∞[
→ f(0)=0 ; f(1)=1 ; f(4)=2 ; f(9)=3 ; f(16)=4
→ La fonction racine carrée est croissante sur son domaine
→ f(x)=5 ⟺ √x=5 ⟺ x=25 (en élevant au carré, valide car 5≥0)
= D_f=[0;+∞[ ; f croissante ; f(x)=5 pour x=25
Ex.8 Extremums et variations ★★
→ Tableau de variations : f croît de 1 (en −3) à 5 (en 0), décroît de 5 à −1 (en 2), puis croît de −1 à 3 (en 4)
→ Le maximum est atteint en x=0 (valeur 5) ; le minimum est atteint en x=2 (valeur −1)
= Maximum de f sur [−3;4] : 5 (en x=0) ; minimum : −1 (en x=2)
Ex.9 Composée de fonctions ★★★
→ f∘g(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x²+1
→ g∘f(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)² = 4x²+4x+1
→ f∘g(3) = 2×9+1 = 19 ; g∘f(3) = (2×3+1)² = 7² = 49
= f∘g(x)=2x²+1, g∘f(x)=4x²+4x+1 ; f∘g(3)=19 ≠ g∘f(3)=49 : la composition n'est pas commutative
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Encadrement et valeur approchée ★★★
→ f(1) = 1³−2×1+1 = 1−2+1 = 0 : x=1 est en fait une racine exacte de f (pas seulement un changement de signe)
→ f(2) = 8−4+1 = 5
→ f(1,5) = 3,375−3+1 = 1,375 > 0 : entre 1 et 2, f reste positive (f(1)=0 puis f croît), il n'y a donc pas d'autre racine strictement dans ]1;2[ — la seule racine de cet intervalle est x=1 lui-même
= f(1)=0 exactement (racine exacte) ; f(2)=5 ; aucune autre racine dans ]1;2[ car f>0 sur ]1;2]
Ex.11 Fonctions et inéquations ★★★
→ f(x) = x²−2x−3 = (x−3)(x+1) [somme=−2, produit=−3 : racines 3 et −1]
→ Parabole tournée vers le haut : f(x)≥0 à l'extérieur des racines
→ f(x)<0 entre les racines
= f(x) = (x−3)(x+1) ; f(x)≥0 pour x≤−1 ou x≥3 ; f(x)<0 pour −1<x<3
Ex.12 ★ Défi — Fonction et optimisation ★★★
→ Volume : x²h=32 ⟹ h = 32/x²
→ Aire totale (sans couvercle) = base + 4 faces latérales = x² + 4xh = x² + 4x×(32/x²) = x² + 128x
→ Essais : A(2)=4+64=68 ; A(3)=9+42,7≈51,7 ; A(4)=16+32=48 ; A(5)=25+25,6≈50,6 ; A(6)=36+21,3≈57,3 — le minimum semble atteint autour de x=4
= h = 32/x² ; A(x) = x² + 128x ; le minimum est atteint pour x = 4 cm (A(4) = 48 cm², avec h = 2 cm)
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