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SECONDE
Fiche N° 09Chapitre 9 — Variations et extremums
Croissance, décroissance, maximum, minimum

Chapitre 9 — Variations et extremums

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
Problèmes
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Tableau de variations — lecture ★ 4 pts
La fonction f est croissante sur [−2;1], décroissante sur [1;4], croissante sur [4;6]. f(−2)=−1, f(1)=5, f(4)=0, f(6)=3.
  1. Dresser le tableau de variations.
  2. Maximum et minimum sur [−2;6].
Réponse  
Ex.2 Sens de variation d'une fonction ★ 4 pts
Étudier les variations en calculant f(x+h)−f(x) pour h>0.
  1. f(x) = 3x + 2
  2. f(x) = −2x + 5
Réponse  
Ex.3 Extremums sur un intervalle ★ 4 pts
f(x) = x² − 6x + 5, sur [0 ; 5].
  1. Calculer f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).
  2. Minimum ? Maximum ?
Réponse  
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Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Fonction affine par morceaux ★ 3 pts
f(x) = |x − 2|.
  1. Calculer f(−1), f(0), f(1), f(2), f(3), f(4).
  2. Tracer le graphe.
  3. Sur quel intervalle est-elle décroissante ?
Réponse  
Ex.5 Minimum par complétion du carré ★★ 4 pts
Écrire f(x) = x² − 6x + 11 sous la forme (x−a)² + b.
  1. Identifier a et b.
  2. Quel est le minimum de f ? En quel x ?
  3. f a-t-elle un maximum ? Pourquoi ?
Réponse  
Ex.6 Variations de fonctions usuelles ★★ 4 pts
Sans calcul, donner le sens de variation sur ℝ₊.
  1. f(x) = √x
  2. g(x) = 1x (sur ]0;+∞[)
  3. h(x) = x³
Réponse  
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Fiche N° 09Chapitre 9 — Variations et extremums
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Comparaison de valeurs ★★ 4 pts
f est croissante sur ℝ. Répondre sans calculer.
  1. Si f(2) = 5, comparer f(3) et 5.
  2. Résoudre f(x) < f(7).
  3. Si f(a) = f(b) pour a ≠ b, est-ce possible ?
Réponse  
Ex.8 Optimisation — problème ★★ 4 pts
On coupe un fil de 60 cm en deux. Une partie forme un carré, l'autre un triangle équilatéral.
  1. Appeler x la partie pour le carré. Exprimer l'aire totale A(x).
  2. Trouver x qui maximise A(x) (comparer A(0), A(30), A(60)).
Réponse  
Ex.9 Taux de variation — comparaison ★★★ 4 pts
f(x) = x².
  1. Calculer le taux de variation de f entre x=2 et x=3.
  2. Calculer le taux de variation de f entre x=5 et x=6.
  3. Entre ces deux intervalles, sur lequel la fonction croît-elle le plus vite en moyenne ?
Réponse  
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Fiche N° 09
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Variations et équation ★★★ 4 pts
f(x) = 2x³ − 3x². f est croissante sur ]−∞;0] et [1;+∞[, décroissante sur [0;1].
  1. Quel est le maximum local de f ?
  2. Quel est le minimum local de f ?
  3. Résoudre f(x) = 0.
Réponse  
Ex.11 Comparaison de fonctions ★★★ 4 pts
f(x) = x² et g(x) = 2x.
  1. Résoudre f(x) = g(x).
  2. Sur quels intervalles a-t-on f(x) > g(x) ?
  3. Esquisser les deux courbes.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi — Optimisation avancée ★★★ 5 pts
Un rectangle est inscrit sous la parabole y = 4 − x², au-dessus de l'axe Ox. Le rectangle a sa base sur l'axe Ox, ses sommets en (−x,0), (x,0), (x,y), (−x,y).
  1. Exprimer l'aire A en fonction de x (x ∈ ]0;2[).
  2. Tester x=0,5 ; 1 ; 1,5.
  3. La valeur x=2√33 donne-t-elle un maximum ? Calculer A.
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Tableau de variations — lecture ★
Croissante[−2;1], décroissante[1;4], croissante[4;6]
→ Tableau : f croît de −1(x=−2) à 5(x=1), décroît à 0(x=4), croît à 3(x=6)
→ Maximum = 5 (en x=1) · Minimum = −1 (en x=−2)
= Maximum = 5 en x=1 · Minimum = −1 en x=−2
Ex.2 Sens de variation d'une fonction ★
f(x)=3x+2 · f(x)=−2x+5
→ f(x+h)−f(x) = 3h > 0 pour h>0 → f croissante
→ f(x+h)−f(x) = −2h < 0 pour h>0 → f décroissante
= 3x+2 : croissante · −2x+5 : décroissante
Ex.3 Extremums sur un intervalle ★
f(x)=x²−6x+5 sur [0;5]
→ f(0)=5, f(1)=0, f(2)=−3, f(3)=−4, f(4)=−3, f(5)=0
= Minimum = −4 (en x=3) · Maximum = 5 (en x=0)
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Fonction affine par morceaux ★★
f(x) = |x−2|
→ f(−1)=3, f(0)=2, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=2
→ Graphe en V, sommet en (2;0)
= Décroissante sur ]−∞;2] (donc sur [−1;2] ici)
Ex.5 Minimum par complétion du carré ★★
f(x) = x²−6x+11
→ x²−6x+11 = (x−3)²+2 → a=3, b=2
→ Minimum = 2, atteint en x = 3
→ Pas de maximum : la parabole s'ouvre vers le haut, f(x)→+∞
= f(x)=(x−3)²+2 · minimum=2 en x=3 · pas de maximum
Ex.6 Variations de fonctions usuelles ★★
√x · 1x sur ]0;+∞[ · x³
→ √x est croissante sur ℝ₊
→ 1x est décroissante sur ]0;+∞[
→ x³ est croissante sur ℝ₊
= croissante · décroissante · croissante
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Comparaison de valeurs ★★
→ f croissante et 3>2, donc f(3) > f(2), soit f(3) > 5
→ f(x) < f(7) : comme f est croissante, cette inégalité équivaut à x < 7
→ Une fonction (strictement) croissante ne peut pas prendre deux fois la même valeur : f(a)=f(b) avec a≠b est impossible
= f(3) > 5 ; solution x < 7 ; impossible d'avoir f(a)=f(b) avec a≠b
Ex.8 Optimisation — problème ★★
→ Carré : côté x4, aire = x²/16. Triangle équilatéral : côté 60−x3, aire = [60−x3]²×√34 = (60−x)²√336
→ A(x) = x²/16 + (60−x)²√336
→ A(0) = 0 + 3600√336 ≈ 173,2 ; A(30) = 56,25 + 900×√336 ≈ 99,6 ; A(60) = 360016 + 0 = 225
= L'aire est maximale quand tout le fil sert au carré (x=60, A=225 cm²) — le carré est la forme la plus « efficace » en aire pour un périmètre donné
Ex.9 Taux de variation — comparaison ★★★
→ Entre 2 et 3 : f(3)−f(2)3−2 = 9−41 = 5
→ Entre 5 et 6 : f(6)−f(5)6−5 = 36−251 = 11
= Taux = 5 entre 2 et 3 ; taux = 11 entre 5 et 6 → f croît en moyenne plus vite entre 5 et 6 (pente moyenne plus grande)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Variations et équation ★★★
→ f croît puis décroît en x=0 : maximum local f(0) = 2×0−3×0 = 0
→ f décroît puis croît en x=1 : minimum local f(1) = 2−3 = −1
→ f(x)=0 : 2x³−3x² = x²(2x−3) = 0 ⟹ x=0 (racine double) ou x=32
= Maximum local : 0 (en x=0) ; minimum local : −1 (en x=1) ; f(x)=0 pour x=0 ou x=32
Ex.11 Comparaison de fonctions ★★★
→ f(x)=g(x) : x²=2x ⟹ x²−2x=0 ⟹ x(x−2)=0 ⟹ x=0 ou x=2
→ f(x)>g(x) : x²−2x>0 ⟹ x(x−2)>0 ⟹ x<0 ou x>2
→ Les deux courbes se croisent en (0;0) et (2;4) ; la parabole passe au-dessus de la droite en dehors de [0;2], en dessous entre les deux
= f(x)=g(x) pour x=0 ou x=2 ; f(x)>g(x) pour x<0 ou x>2
Ex.12 ★ Défi — Optimisation avancée ★★★
→ Largeur = 2x, hauteur = y = 4−x² : A(x) = 2x(4−x²) = 8x−2x³, pour x∈]0;2[
→ A(0,5)=4−0,25=3,75 ; A(1)=8−2=6 ; A(1,5)=12−6,75=5,25
→ Pour x=2√33 (=2√3) : A = 8×(2√3) − 2×(2√3)³ = 16√33 − 16√39 = 32√39 ≈ 6,16
= A(x)=8x−2x³ ; A(0,5)=3,75, A(1)=6, A(1,5)=5,25 ; en x=2√33, A≈6,16 est bien supérieur aux valeurs testées : c'est le maximum
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