Fiche N° 09Chapitre 9 — Variations et extremums
Croissance, décroissance, maximum, minimum

★

Ex.1 Tableau de variations — lecture ★ 4 pts

La fonction f est croissante sur [−2;1], décroissante sur [1;4], croissante sur [4;6]. f(−2)=−1, f(1)=5, f(4)=0, f(6)=3.

1. Dresser le tableau de variations.
2. Maximum et minimum sur [−2;6].

Ex.2 Sens de variation d'une fonction ★ 4 pts

Étudier les variations en calculant f(x+h)−f(x) pour h>0.

1. f(x) = 3x + 2
2. f(x) = −2x + 5

Ex.3 Extremums sur un intervalle ★ 4 pts

f(x) = x² − 6x + 5, sur [0 ; 5].

1. Calculer f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).
2. Minimum ? Maximum ?

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★★

Ex.4 Fonction affine par morceaux ★ 3 pts

f(x) = |x − 2|.

1. Calculer f(−1), f(0), f(1), f(2), f(3), f(4).
2. Tracer le graphe.
3. Sur quel intervalle est-elle décroissante ?

Ex.5 Minimum par complétion du carré ★★ 4 pts

Écrire f(x) = x² − 6x + 11 sous la forme (x−a)² + b.

1. Identifier a et b.
2. Quel est le minimum de f ? En quel x ?
3. f a-t-elle un maximum ? Pourquoi ?

Ex.6 Variations de fonctions usuelles ★★ 4 pts

Sans calcul, donner le sens de variation sur ℝ₊.

1. f(x) = √x
2. g(x) = 1x (sur ]0;+∞[)
3. h(x) = x³

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★★

Ex.7 Comparaison de valeurs ★★ 4 pts

f est croissante sur ℝ. Répondre sans calculer.

1. Si f(2) = 5, comparer f(3) et 5.
2. Résoudre f(x) < f(7).
3. Si f(a) = f(b) pour a ≠ b, est-ce possible ?

Ex.8 Optimisation — problème ★★ 4 pts

On coupe un fil de 60 cm en deux. Une partie forme un carré, l'autre un triangle équilatéral.

1. Appeler x la partie pour le carré. Exprimer l'aire totale A(x).
2. Trouver x qui maximise A(x) (comparer A(0), A(30), A(60)).

Ex.9 Nombre dérivé — approche ★★★ 4 pts

f(x) = x².

1. Calculer le taux de variation entre x=2 et x=3.
2. Entre x=2 et x=2,1.
3. Entre x=2 et x=2,01.
4. Quelle valeur semble approcher ce taux ?

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★★★

Ex.10 Variations et équation ★★★ 4 pts

f(x) = 2x³ − 3x². f est croissante sur ]−∞;0] et [1;+∞[, décroissante sur [0;1].

1. Quel est le maximum local de f ?
2. Quel est le minimum local de f ?
3. Résoudre f(x) = 0.

Ex.11 Comparaison de fonctions ★★★ 4 pts

f(x) = x² et g(x) = 2x.

1. Résoudre f(x) = g(x).
2. Sur quels intervalles a-t-on f(x) > g(x) ?
3. Esquisser les deux courbes.

Ex.12 ★ Défi — Optimisation avancée ★★★ 5 pts

Un rectangle est inscrit sous la parabole y = 4 − x², au-dessus de l'axe Ox. Le rectangle a sa base sur l'axe Ox, ses sommets en (−x,0), (x,0), (x,y), (−x,y).

1. Exprimer l'aire A en fonction de x (x ∈ ]0;2[).
2. Tester x=0,5 ; 1 ; 1,5.
3. La valeur x=2√33 donne-t-elle un maximum ? Calculer A.

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