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TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 10 Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires
Espérance, variance, loi des grands nombres

Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Espérance et variance — Rappels ★ 4 pts
X est une variable aléatoire de loi :
x−1023
P(X=x)0,20,30,40,1
  1. Calculer E(X).
  2. Calculer V(X) = E(X²) − [E(X)]².
Réponse  
Ex.2 Linéarité de l'espérance ★ 3 pts
E(X) = 3 et E(Y) = 5.
  1. Calculer E(2X + 3).
  2. Calculer E(X + Y).
  3. Calculer E(4X − 2Y + 1).
Réponse  
Ex.3 Variance d'une combinaison linéaire ★ 4 pts
X et Y indépendantes avec V(X) = 4 et V(Y) = 9.
  1. Calculer V(2X).
  2. Calculer V(X + Y).
  3. Calculer V(3X − 2Y).
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires
Fiche N° 10
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Moyenne empirique ★ 4 pts
On lance 50 fois un dé équilibré. Xᵢ = résultat du i-ème lancer.
  1. Calculer E(Xᵢ) et V(Xᵢ) pour un dé équilibré.
  2. On pose X̄ = X₁+...+X₅₀50. Calculer E(X̄) et V(X̄).
Réponse  
Ex.5 Somme de variables indépendantes ★★ 4 pts
X₁, ..., Xₙ i.i.d. avec E(X) = μ et V(X) = σ².
  1. Calculer E(Sₙ) et V(Sₙ) où Sₙ = X₁+...+Xₙ.
  2. Calculer E(X̄ₙ) et V(X̄ₙ) où X̄ₙ = Sₙ/n.
Réponse  
Ex.6 Concentration — Inégalité de Markov ★★ 4 pts
Inégalité de Markov : si X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ EXa
X est positive avec E(X) = 5. Majorer P(X ≥ 25).
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires
Fiche N° 10
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Convergence — Loi des grands nombres ★★ 4 pts
On lance un dé 1000 fois. La moyenne observée X̄₁₀₀₀ = 3,42.
  1. Quelle est la valeur théorique de E(X̄₁₀₀₀) ?
  2. Calculer σ(X̄₁₀₀₀).
  3. Commenter selon la loi des grands nombres.
Réponse  
Ex.8 Variable de Bernoulli — moments ★★ 4 pts
X suit B(1, p) (Bernoulli).
  1. Calculer E(X) directement depuis la définition.
  2. Calculer E(X²).
  3. En déduire V(X) = E(X²) − [E(X)]².
Réponse  
Ex.9 Somme binomiale ★★★ 5 pts
Xᵢ ∼ B(1, 0,4) indépendantes. On pose Sₙ = X₁+...+Xₙ.
  1. Quelle est la loi de Sₙ ?
  2. Calculer E(Sₙ) et V(Sₙ).
  3. Pour n = 100, calculer P(35 ≤ S₁₀₀ ≤ 45) (utiliser E et σ).
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires
Fiche N° 10
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Application — Assurances ★★★ 4 pts
Une compagnie assure 1000 clients. Chaque client a proba 0,02 de faire un sinistre de 5000€.
  1. Modéliser S = somme des sinistres.
  2. Calculer E(S) et σ(S).
  3. La compagnie doit mettre en réserve E(S) + 3σ(S). Calculer cette réserve.
Réponse  
Ex.11 Estimation de proportion ★★★ 4 pts
On sonde n personnes. Chaque réponse favorable a proba p=0,6. X̄ₙ est la proportion observée.
  1. E(X̄ₙ) et V(X̄ₙ) ?
  2. Pour n=100, calculer P(|X̄₁₀₀ − 0,6| ≤ 0,05) (approche).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
On mesure une grandeur μ inconnue avec n mesures indépendantes X₁,...,Xₙ, chacune avec E(Xᵢ)=μ et σ(Xᵢ)=2.
  1. Calculer E(X̄ₙ) et σ(X̄ₙ).
  2. Pour que σ(X̄ₙ) < 0,1, quel n minimal faut-il ?
  3. Donner l'intervalle de confiance à 95% pour μ.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch10 — Somme de variables aléatoires
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Espérance et variance — Rappels ★
E(X)=Σxᵢpᵢ, V(X)=E(X²)−[E(X)]²
→ E(X)=(−1)(0,2)+0(0,3)+2(0,4)+3(0,1)=0,9
= V(X)=E(X²)−[E(X)]²=2,7−0,81=1,89
Ex.2 Linéarité de l'espérance ★
E(aX+b)=aE(X)+b
→ E(2X+3)=2×3+3=9
→ E(X+Y)=3+5=8
= E(4X−2Y+1)=4×3−2×5+1=3
Ex.3 Variance d'une combinaison linéaire ★
V(aX)=a²V(X), indépendance
→ V(2X)=2²×V(X)=4×4=16
→ V(X+Y)=V(X)+V(Y)=4+9=13 (indépendance)
= V(3X−2Y)=3²V(X)+(−2)²V(Y)=9×4+4×9=72
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Moyenne empirique ★★
Dé équilibré, X̄=moyenne de 50 lancers
→ E(Xᵢ)=1+2+...+66=3,5 · V(Xᵢ)=E(Xᵢ²)−E(Xᵢ)²=916−12,25≈2,917
= E(X̄)=E(Xᵢ)=3,5 et V(X̄)=VXᵢ50≈2,91750≈0,0583
Ex.5 Somme de variables indépendantes ★★
Sₙ=X₁+...+Xₙ i.i.d.
→ E(Sₙ)=n×μ (linéarité de l'espérance)
→ V(Sₙ)=n×σ² (indépendance)
= E(X̄ₙ)=μ et V(X̄ₙ)=σ²/n (car X̄ₙ=Sₙ/n)
Ex.6 Concentration — Inégalité de Markov ★★
P(X≥a)≤EXa, E(X)=5
→ Markov : P(X≥a)≤EXa
= P(X≥25)≤525=0,2 (20%)
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✦ CORRIGÉ Ch10 — Somme de variables aléatoires
✦ Corrigé — Ch10 — Somme de variables aléatoires
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Convergence — Loi des grands nombres ★★
→ E(X̄₁₀₀₀) = E(X) = 1+2+3+4+5+66 = 3,5
→ V(X) = E(X²)−[E(X)]² = 916−(3,5)² ≈ 15,17−12,25 = 2,92 ; σ(X)≈1,71 ; σ(X̄₁₀₀₀)=σ(X)/√1000 ≈ 0,054
→ L'écart entre 3,42 et 3,5 est faible (moins de 2 écarts-types), ce qui est cohérent avec la loi des grands nombres : X̄ₙ converge vers E(X) quand n augmente
= E(X̄₁₀₀₀)=3,5 ; σ(X̄₁₀₀₀)≈0,054 ; la valeur observée 3,42 est cohérente avec la convergence attendue
Ex.8 Variable de Bernoulli — moments ★★
→ E(X) = 1×p + 0×(1−p) = p
→ X² prend les mêmes valeurs que X (0²=0, 1²=1), donc E(X²) = 1×p+0×(1−p) = p
→ V(X) = E(X²)−[E(X)]² = p−p²
= E(X)=p ; E(X²)=p ; V(X)=p(1−p)
Ex.9 Somme binomiale ★★★
→ Somme de n Bernoulli indépendantes de même p : Sₙ ~ B(n; 0,4)
→ E(Sₙ)=0,4n ; V(Sₙ)=n×0,4×0,6=0,24n
→ Pour n=100 : E(S₁₀₀)=40, σ=√24≈4,90 ; Z=35−404,90≈−1,02 et Z=45−404,90≈1,02 ⟹ P≈69%
= Sₙ~B(n;0,4) ; E(S₁₀₀)=40, σ≈4,9 ; P(35≤S₁₀₀≤45) ≈ 69%
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Application — Assurances ★★★
→ S = 5000×N, où N (nombre de sinistres) suit B(1000; 0,02)
→ E(N)=1000×0,02=20 ⟹ E(S)=5000×20=100 000 € ; V(N)=1000×0,02×0,98=19,6 ⟹ σ(N)≈4,43 ⟹ σ(S)=5000×4,43≈22 135 €
→ Réserve = E(S)+3σ(S) = 100000+3×22135
= E(S)=100 000 € ; σ(S)≈22 135 € ; réserve à constituer ≈ 166 405 €
Ex.11 Estimation de proportion ★★★
→ E(X̄ₙ)=p=0,6 ; V(X̄ₙ)=p1−pn=0,24n
→ Pour n=100 : V=0,0024 ⟹ σ≈0,049
→ Z=0,050,049≈1,02 ⟹ P(|X̄₁₀₀−0,6|≤0,05) ≈ 69%
= E(X̄ₙ)=0,6 ; V(X̄ₙ)=0,24n ; pour n=100, P(|X̄₁₀₀−0,6|≤0,05) ≈ 69%
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★
→ E(X̄ₙ)=μ (estimateur non biaisé) ; σ(X̄ₙ)=σ√n = 2√n
→ 2√n < 0,1 ⟺ √n > 20 ⟺ n > 400 : il faut donc n=401 mesures au minimum
→ Intervalle de confiance à 95% (approximation normale, z≈1,96) : μ ∈ [X̄ₙ − 1,96×σ(X̄ₙ) ; X̄ₙ + 1,96×σ(X̄ₙ)] = [X̄ₙ − 3,92√n ; X̄ₙ + 3,92√n]
= E(X̄ₙ)=μ, σ(X̄ₙ)=2√n ; n minimal = 401 ; intervalle de confiance à 95% : [X̄ₙ−3,92√n ; X̄ₙ+3,92√n]
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