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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires
Espérance, variance, loi des grands nombres

Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Espérance et variance — Rappels ★ 4 pts
X est une variable aléatoire de loi :
x−1023
P(X=x)0,20,30,40,1
  1. Calculer E(X).
  2. Calculer V(X) = E(X²) − [E(X)]².
Réponse  
Ex.2 Linéarité de l'espérance ★ 3 pts
E(X) = 3 et E(Y) = 5.
  1. Calculer E(2X + 3).
  2. Calculer E(X + Y).
  3. Calculer E(4X − 2Y + 1).
Réponse  
Ex.3 Variance d'une combinaison linéaire ★ 4 pts
X et Y indépendantes avec V(X) = 4 et V(Y) = 9.
  1. Calculer V(2X).
  2. Calculer V(X + Y).
  3. Calculer V(3X − 2Y).
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires
Fiche N° 10
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Moyenne empirique ★ 4 pts
On lance 50 fois un dé équilibré. Xᵢ = résultat du i-ème lancer.
  1. Calculer E(Xᵢ) et V(Xᵢ) pour un dé équilibré.
  2. On pose X̄ = X₁+...+X₅₀50. Calculer E(X̄) et V(X̄).
Réponse  
Ex.5 Somme de variables indépendantes ★★ 4 pts
X₁, ..., Xₙ i.i.d. avec E(X) = μ et V(X) = σ².
  1. Calculer E(Sₙ) et V(Sₙ) où Sₙ = X₁+...+Xₙ.
  2. Calculer E(X̄ₙ) et V(X̄ₙ) où X̄ₙ = Sₙ/n.
Réponse  
Ex.6 Concentration — Inégalité de Markov ★★ 4 pts
Inégalité de Markov : si X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ EXa
X est positive avec E(X) = 5. Majorer P(X ≥ 25).
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires
Fiche N° 10
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Convergence — Loi des grands nombres ★★ 4 pts
On lance un dé 1000 fois. La moyenne observée X̄₁₀₀₀ = 3,42.
  1. Quelle est la valeur théorique de E(X̄₁₀₀₀) ?
  2. Calculer σ(X̄₁₀₀₀).
  3. Commenter selon la loi des grands nombres.
Réponse  
Ex.8 Variable de Bernoulli — moments ★★ 4 pts
X suit B(1, p) (Bernoulli).
  1. Calculer E(X) directement depuis la définition.
  2. Calculer E(X²).
  3. En déduire V(X) = E(X²) − [E(X)]².
Réponse  
Ex.9 Somme binomiale ★★★ 5 pts
Xᵢ ∼ B(1, 0,4) indépendantes. On pose Sₙ = X₁+...+Xₙ.
  1. Quelle est la loi de Sₙ ?
  2. Calculer E(Sₙ) et V(Sₙ).
  3. Pour n = 100, calculer P(35 ≤ S₁₀₀ ≤ 45) (utiliser E et σ).
Réponse  
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Fiche N° 10 Chapitre 10 — Somme de variables aléatoires
Fiche N° 10
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Application — Assurances ★★★ 4 pts
Une compagnie assure 1000 clients. Chaque client a proba 0,02 de faire un sinistre de 5000€.
  1. Modéliser S = somme des sinistres.
  2. Calculer E(S) et σ(S).
  3. La compagnie doit mettre en réserve E(S) + 3σ(S). Calculer cette réserve.
Réponse  
Ex.11 Estimation de proportion ★★★ 4 pts
On sonde n personnes. Chaque réponse favorable a proba p=0,6. X̄ₙ est la proportion observée.
  1. E(X̄ₙ) et V(X̄ₙ) ?
  2. Pour n=100, calculer P(|X̄₁₀₀ − 0,6| ≤ 0,05) (approche).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
On mesure une grandeur μ inconnue avec n mesures indépendantes X₁,...,Xₙ, chacune avec E(Xᵢ)=μ et σ(Xᵢ)=2.
  1. Calculer E(X̄ₙ) et σ(X̄ₙ).
  2. Pour que σ(X̄ₙ) < 0,1, quel n minimal faut-il ?
  3. Donner l'intervalle de confiance à 95% pour μ.
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Somme de V.A. indépendantes ★
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
→ Si X et Y indépendantes
→ V(X+Y)=V(X)+V(Y)
= Additivité de l'espérance toujours vraie
Ex.2 Fréquence et loi des grands nombres ★
fₙ → p quand n→+∞
→ fₙ = X₁+...+Xₙn
→ E(fₙ)=p · V(fₙ)=p1−pn
= La fréquence converge vers la probabilité
Ex.3 Intervalle de fluctuation ★
Iₙ = [p−1/√n ; p+1/√n]
→ Approximatif à 95%
→ P(fₙ∈Iₙ) ≈ 0,95
= Utilisé pour décider si écart acceptabledans un contrôle qualité
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Estimation par intervalle de confiance ★★
p̂ ± 1/√n
→ p̂ = fréquence observée
→ IC = ]p̂−1/√n ; p̂+1/√n[
→ Niveau de confiance ≈ 95%
= On est confiant à 95% que p∈IC
Ex.5 Test d'hypothèse ★★
H₀ : p=p₀
→ Calculer l'intervalle de fluctuation pour H₀
→ Si fₙ∉Iₙ → rejeter H₀
→ Si fₙ∈Iₙ → ne pas rejeter H₀
= Décision au seuil 5%
Ex.6 Application concrète ★★
Contrôle qualité
→ n=100, fréquence défauts=0,08, H₀: p=0,05
→ Iₙ=[0,05−0,1 ; 0,05+0,1]=[−0,05;0,15]
→ 0,08∈[−0,05;0,15] → ne pas rejeter H₀
= Pas de raison de rejeter H₀
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch10 — Somme de variables aléatoires
✦ Corrigé — Ch10 — Somme de variables aléatoires
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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