Fiche N° 11 Chapitre 11 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Concentration, intervalles de fluctuation

★

Ex.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★ 4 pts

X a E(X) = 10 et σ(X) = 2. Majorer :

1. P(|X − 10| ≥ 6)
2. P(|X − 10| ≥ 4)
3. P(X ≥ 14)

Ex.2 Intervalle de concentration ★ 4 pts

X a E(X) = 50 et V(X) = 16.

1. Calculer σ(X).
2. Donner l'intervalle [E(X) − 2σ ; E(X) + 2σ].
3. Quelle probabilité est au moins égale à 75% d'être dans cet intervalle ?

Ex.3 Fréquence observée ★ 4 pts

On lance une pièce 400 fois. On note f₄₀₀ la fréquence d'obtention de face.

1. E(f₄₀₀) = p = 0,5 et σ(f₄₀₀) = √(p1−pn). Calculer σ(f₄₀₀).
2. Donner l'intervalle de fluctuation à 95% (approximé : [p − 2σ ; p + 2σ]).

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Fiche N° 11

★★

Ex.4 Interpréter un intervalle de fluctuation ★ 3 pts

On observe une fréquence f = 0,38 sur 400 essais, pour p = 0,5 théorique.

1. L'intervalle de fluctuation à 95% est [0,45 ; 0,55].
2. Est-ce que f = 0,38 appartient à cet intervalle ?
3. Que peut-on conclure sur la pièce ?

Ex.5 Calculer n pour une précision donnée ★★ 4 pts

On veut que P(|X̄ₙ − μ| ≤ 0,1) ≥ 0,95 avec σ = 3.

1. D'après Bienaymé-Tchebychev, quelle condition sur n ?
2. Calculer le n minimal.

Ex.6 Application — Sondage ★★ 5 pts

On sonde n personnes pour estimer p, la proportion de supporters d'une équipe. On note fₙ la fréquence observée.

1. Exprimer E(fₙ) et σ(fₙ) en fonction de p et n.
2. Pour p = 0,5 et n = 1000, calculer l'intervalle de fluctuation à 95%.
3. La fréquence observée f = 0,51 est-elle compatible avec p = 0,5 ?

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★★

Ex.7 Niveau de confiance ★★ 4 pts

X̄₁₀₀₀ avec μ = 20 et σ = 5.

1. Calculer σ(X̄₁₀₀₀).
2. Donner l'intervalle [μ − 3σ̄ ; μ + 3σ̄] (niveau 99% approx.).
3. Que garantit-on avec ce niveau de confiance ?

Ex.8 Comparer les intervalles ★★ 4 pts

Pour p = 0,5 :

1. Calculer la largeur de l'intervalle de fluctuation à 95% pour n = 100.
2. Pour n = 400.
3. Pour n = 1600.
4. Quelle relation observes-tu entre n et la largeur ?

Ex.9 Test de conformité ★★★ 5 pts

Un dé est supposé équilibré (p = 16 pour chaque face). On lance 600 fois et obtient le 6 à 120 reprises.

1. Calculer la fréquence observée f₆₀₀.
2. Calculer l'intervalle de fluctuation à 95% pour p = 16 et n = 600.
3. Le dé est-il équilibré ? Conclure.

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★★★

Ex.10 Bienaymé-Tchebychev vs 95% ★★★ 4 pts

X avec E(X) = 30 et σ = 5, n = 100 observations.

1. Par B-T, donner une borne supérieure de P(|X̄₁₀₀ − 30| ≥ 1).
2. Par la loi normale approchée (si vue), donner une approximation plus précise.
3. Comparer les deux résultats.

Ex.11 Problème de qualité — Décision ★★★ 4 pts

Une machine produit des pièces dont 3% sont défectueuses. On contrôle 500 pièces.

1. Donner l'intervalle de fluctuation à 95% de la proportion défectueuse.
2. Si on observe 30 pièces défectueuses, doit-on alerter ? Justifier.

Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts

On estime une proportion p inconnue avec n = 400 sondages.

1. En utilisant σ(fₙ) ≤ 12√n (majorant universel), donner l'intervalle de confiance universel à 95%.
2. La fréquence observée est 0,42. Construire l'intervalle de confiance de p.
3. Peut-on affirmer que p > 0,5 au niveau de confiance 95% ?

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