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Fiche N° 11 Chapitre 11 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Concentration, intervalles de fluctuation

Chapitre 11 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★ 4 pts
P(|X − E(X)| ≥ k·σ(X)) ≤ 1/k²
X a E(X) = 10 et σ(X) = 2. Majorer :
  1. P(|X − 10| ≥ 6)
  2. P(|X − 10| ≥ 4)
  3. P(X ≥ 14)
Réponse  
Ex.2 Intervalle de concentration ★ 4 pts
X a E(X) = 50 et V(X) = 16.
  1. Calculer σ(X).
  2. Donner l'intervalle [E(X) − 2σ ; E(X) + 2σ].
  3. Quelle probabilité est au moins égale à 75% d'être dans cet intervalle ?
Réponse  
Ex.3 Fréquence observée ★ 4 pts
On lance une pièce 400 fois. On note f₄₀₀ la fréquence d'obtention de face.
  1. E(f₄₀₀) = p = 0,5 et σ(f₄₀₀) = √(p1−pn). Calculer σ(f₄₀₀).
  2. Donner l'intervalle de fluctuation à 95% (approximé : [p − 2σ ; p + 2σ]).
Réponse  
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Fiche N° 11
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Interpréter un intervalle de fluctuation ★ 3 pts
On observe une fréquence f = 0,38 sur 400 essais, pour p = 0,5 théorique.
  1. L'intervalle de fluctuation à 95% est [0,45 ; 0,55].
  2. Est-ce que f = 0,38 appartient à cet intervalle ?
  3. Que peut-on conclure sur la pièce ?
Réponse  
Ex.5 Calculer n pour une précision donnée ★★ 4 pts
On veut que P(|X̄ₙ − μ| ≤ 0,1) ≥ 0,95 avec σ = 3.
  1. D'après Bienaymé-Tchebychev, quelle condition sur n ?
  2. Calculer le n minimal.
Réponse  
Ex.6 Application — Sondage ★★ 5 pts
On sonde n personnes pour estimer p, la proportion de supporters d'une équipe. On note fₙ la fréquence observée.
  1. Exprimer E(fₙ) et σ(fₙ) en fonction de p et n.
  2. Pour p = 0,5 et n = 1000, calculer l'intervalle de fluctuation à 95%.
  3. La fréquence observée f = 0,51 est-elle compatible avec p = 0,5 ?
Réponse  
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Fiche N° 11
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Niveau de confiance ★★ 4 pts
X̄₁₀₀₀ avec μ = 20 et σ = 5.
  1. Calculer σ(X̄₁₀₀₀).
  2. Donner l'intervalle [μ − 3σ̄ ; μ + 3σ̄] (borne B-T avec k=3).
  3. Que garantit-on avec ce niveau de confiance ?
Réponse  
Ex.8 Comparer les intervalles ★★ 4 pts
Pour p = 0,5 :
  1. Calculer la largeur de l'intervalle de fluctuation à 95% pour n = 100.
  2. Pour n = 400.
  3. Pour n = 1600.
  4. Quelle relation observes-tu entre n et la largeur ?
Réponse  
Ex.9 Test de conformité ★★★ 5 pts
Un dé est supposé équilibré (p = 16 pour chaque face). On lance 600 fois et obtient le 6 à 120 reprises.
  1. Calculer la fréquence observée f₆₀₀.
  2. Calculer l'intervalle de fluctuation à 95% pour p = 16 et n = 600.
  3. Le dé est-il équilibré ? Conclure.
Réponse  
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Fiche N° 11
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Bienaymé-Tchebychev vs 95% ★★★ 4 pts
X avec E(X) = 30 et σ = 5, n = 100 observations.
  1. Par B-T, donner une borne supérieure de P(|X̄₁₀₀ − 30| ≥ 1).
  2. Par la loi normale approchée (si vue), donner une approximation plus précise.
  3. Comparer les deux résultats.
Réponse  
Ex.11 Problème de qualité — Décision ★★★ 4 pts
Une machine produit des pièces dont 3% sont défectueuses. On contrôle 500 pièces.
  1. Donner l'intervalle de fluctuation à 95% de la proportion défectueuse.
  2. Si on observe 30 pièces défectueuses, doit-on alerter ? Justifier.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
On estime une proportion p inconnue avec n = 400 sondages.
  1. En utilisant σ(fₙ) ≤ 12√n (majorant universel), donner l'intervalle de confiance universel à 95%.
  2. La fréquence observée est 0,42. Construire l'intervalle de confiance de p.
  3. Peut-on affirmer que p > 0,5 au niveau de confiance 95% ?
Réponse  
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch11 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★
E(X)=10, σ(X)=2
→ P(|X−10|≥6) : k=62=3 → P≤13²=19≈0,111
→ P(|X−10|≥4) : k=42=2 → P≤12²=14=0,25
= P(X≥14)⊂{|X−10|≥4} → P(X≥14)≤14=0,25
Ex.2 Intervalle de concentration ★
E(X)=50, V(X)=16
→ σ(X)=√16=4
→ Intervalle [E(X)−2σ ; E(X)+2σ] = [50−8 ; 50+8] = [42 ; 58]
= P(X∈[42;58])≥1−12²=1−14=0,75 soit au moins 75%
Ex.3 Fréquence observée ★
400 lancers, p=0,5
→ σ(f₄₀₀)=√(0,5×0,5400)=√0,000625=0,025
= Intervalle de fluctuation à 95% : [0,5−0,05 ; 0,5+0,05] = [0,45 ; 0,55]
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Interpréter un intervalle de fluctuation ★★
f=0,38 observée, intervalle [0,45;0,55]
→ f=0,38 ∉ [0,45 ; 0,55] (l'intervalle de fluctuation à 95%)
= On rejette l'hypothèse p=0,5 au risque 5% : la pièce semble truquée (déséquilibrée)
Ex.5 Calculer n pour une précision donnée ★★
σ=3, précision 0,1, confiance 95%
→ D'après B-T : P(|X̄ₙ−μ|≥0,1) ≤ VX̄ₙ0,1² = σ²/(n×0,01) = 90,01n
= On veut 90,01n ≤ 0,05 → n ≥ 90,01×0,05 = 18 000
Ex.6 Application — Sondage ★★
n=1000, p=0,5 théorique, f=0,51 observée
→ E(fₙ)=p et σ(fₙ)=√(p1−pn)
→ Pour p=0,5, n=1000 : σ=√(0,251000)≈0,0158 → intervalle de fluctuation à 95% ≈ [0,468 ; 0,532]
= f=0,51 ∈ [0,468 ; 0,532] → compatible avec p=0,5 (rien ne permet de rejeter cette hypothèse)
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✦ CORRIGÉ Ch11 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Niveau de confiance ★★
→ σ(X̄₁₀₀₀) = σ√n = 5√1000 ≈ 0,158
→ [μ−3σ̄ ; μ+3σ̄] = [20−0,474 ; 20+0,474] ≈ [19,53 ; 20,47]
→ Avec k=3, Bienaymé-Tchebychev garantit P(X̄∈intervalle) ≥ 1−19 ≈ 88,9% : ce n'est PAS un intervalle à 95%, mais une garantie plus faible (≈88,9%)
= σ(X̄₁₀₀₀)≈0,158 ; intervalle ≈[19,53;20,47] ; niveau de confiance garanti ≈88,9% (pas 95%)
Ex.8 Comparer les intervalles ★★
→ Largeur ≈ 2√n (formule approchée pour p proche de 0,5). Pour n=100 : 210 = 0,2
→ Pour n=400 : 220 = 0,1
→ Pour n=1600 : 240 = 0,05
= Largeurs : 0,2 (n=100), 0,1 (n=400), 0,05 (n=1600) : quand n est multiplié par 4, la largeur est divisée par 2 (proportionnelle à 1√n)
Ex.9 Test de conformité ★★★
→ f₆₀₀ = 120600 = 0,2
→ Intervalle : [16 − 1√600 ; 16 + 1√600] ≈ [0,1667−0,0408 ; 0,1667+0,0408] ≈ [0,126 ; 0,207]
→ f₆₀₀=0,2 appartient à cet intervalle [0,126;0,207]
= f₆₀₀=0,2 ; intervalle de fluctuation ≈[0,126;0,207] ; le dé semble bien équilibré (la fréquence observée reste dans l'intervalle attendu)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Bienaymé-Tchebychev vs 95% ★★★
→ B-T : V(X̄₁₀₀)=σ²/n=25100=0,25 ; P(|X̄₁₀₀−30|≥1) ≤ 0,251² = 0,25
→ Approximation normale : σ(X̄₁₀₀)=0,5 ; Z=10,5=2 ; P(|Z|≥2) ≈ 2×(1−0,9772) ≈ 0,0455
→ 0,0455 ≪ 0,25 : la borne de Bienaymé-Tchebychev est beaucoup plus large (moins précise) que l'approximation normale
= Borne B-T : ≤ 25% ; approximation normale : ≈ 4,55% — B-T est une borne universelle mais très large
Ex.11 Problème de qualité — Décision ★★★
→ p(1−p)n = 0,03×0,97500 ≈ 0,0000582 ; √0,0000582 ≈ 0,00763 ; 1,96×0,00763 ≈ 0,01495
→ Intervalle de fluctuation ≈ [0,03−0,015 ; 0,03+0,015] = [0,015 ; 0,045]
→ Proportion observée : 30500 = 0,06 > 0,045 (borne supérieure de l'intervalle)
= Intervalle ≈[1,5%;4,5%] ; 6% observé est HORS de l'intervalle : il faut alerter, le taux de défauts semble anormalement élevé
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★
→ Avec σ(fₙ)≤12√n, Bienaymé-Tchebychev avec k=√20 (car 1k²=0,05) donne un demi-intervalle ε=k×12√n=√5√n
→ Pour n=400 : ε=√520 ≈ 0,112
→ Avec fₙ=0,42 : intervalle = [0,42−0,112 ; 0,42+0,112] = [0,308 ; 0,532]
= Intervalle universel : [p−√5√n ; p+√5√n] ; pour n=400, ε≈0,112 ; intervalle de confiance de p : [0,308;0,532] — comme 0,5 appartient à cet intervalle, on NE peut PAS affirmer p>0,5 au niveau de confiance 95%
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