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TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 01 Chapitre 1 — Suites et récurrence
Limite, récurrence, suites géométriques

Chapitre 1 — Suites et récurrence

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Suite arithmétique — Définitions ★ 4 pts
La suite (uₙ) est arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de raison r = 5.
  1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
  2. Donner la formule explicite de uₙ.
  3. Calculer u₁₀.
Réponse  
Ex.2 Suite géométrique — Définitions ★ 4 pts
La suite (vₙ) est géométrique de premier terme v₀ = 2 et de raison q = 3.
  1. Calculer v₁, v₂ et v₃.
  2. Donner la formule explicite de vₙ.
  3. Calculer v₅.
Réponse  
Ex.3 Limites de suites classiques ★ 4 pts
Déterminer la limite de chaque suite quand n → +∞ (justifier).
  1. uₙ = 3n² − 7n + 2
  2. vₙ = 2n + 1n − 3
  3. wₙ = (0,5)ⁿ
  4. tₙ = (−2)ⁿ
Réponse  
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Fiche N° 01 Chapitre 1 — Suites et récurrence
Fiche N° 01
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Raisonnement par récurrence — Introduction ★ 4 pts
Rappel : Pour démontrer P(n) par récurrence : 1) Initialisation (vérifier P(0)), 2) Hérédité (si P(n) vraie alors P(n+1) vraie), 3) Conclusion.
Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
Réponse  
Ex.5 Suite définie par récurrence ★★ 4 pts
On définit la suite par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3.
  1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
  2. On pose vₙ = uₙ + 3. Montrer que (vₙ) est géométrique.
  3. En déduire l'expression de uₙ.
Réponse  
Ex.6 Somme des termes ★★ 4 pts
Suite arithmétique : u₁ = 4, raison r = 3.
  1. Calculer la somme S = u₁ + u₂ + ... + u₂₀.
  2. Suite géométrique : v₁ = 2, q = 3. Calculer S₁₀ = v₁ + ... + v₁₀.
Réponse  
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Fiche N° 01 Chapitre 1 — Suites et récurrence
Fiche N° 01
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Étude du signe et monotonie ★★ 4 pts
Suite définie par uₙ = 3n − 2n + 1.
  1. Calculer u₀, u₁, u₂.
  2. Étudier la monotonie en calculant uₙ₊₁ − uₙ.
  3. Calculer lim uₙ quand n → +∞.
Réponse  
Ex.8 Modèle de population ★★ 5 pts
Une population de bactéries passe de Pₙ à Pₙ₊₁ = 1,5 × Pₙ − 200. P₀ = 1000.
  1. Calculer P₁, P₂.
  2. On pose Qₙ = Pₙ − 400. Montrer que (Qₙ) est géométrique.
  3. En déduire Pₙ puis la limite.
Réponse  
Ex.9 Récurrence — Inégalité ★★★ 5 pts
Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 : 2ⁿ ≥ n + 1.
Réponse  
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Fiche N° 01 Chapitre 1 — Suites et récurrence
Fiche N° 01
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Suite et fonction ★★★ 4 pts
On pose f(x) = √2x + 3 et u₀ = 1, uₙ₊₁ = f(uₙ).
  1. Montrer que f est croissante sur [−32 ; +∞).
  2. Calculer u₁, u₂ (arrondir à 10⁻²).
  3. Si (uₙ) converge vers ℓ, trouver ℓ.
Réponse  
Ex.11 Problème de placements ★★★ 4 pts
On place 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 3%. On note Cₙ le capital après n années.
  1. Écrire la relation entre Cₙ₊₁ et Cₙ.
  2. Donner l'expression de Cₙ.
  3. Après combien d'années le capital dépasse-t-il 7 000 € ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
Suite (uₙ) définie par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = uₙ + 2uₙ + 3.
  1. Calculer u₁, u₂.
  2. Montrer que si uₙ ∈ [0,1] alors uₙ₊₁ ∈ [0,1].
  3. Si la suite converge vers ℓ, montrer que ℓ² + 2ℓ − 2 = 0 et calculer ℓ.
Réponse  
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✦ CORRIGÉ Ch1 — Suites et récurrence
✦ Corrigé — Ch1 — Suites et récurrence
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Suite arithmétique ★
uₙ=u₀+nr · vérifier
→ u₀=3 r=5 · uₙ=3+5n
→ u₁=8 · u₅=28
= uₙ = 5n + 3
Ex.2 Suite géométrique ★
vₙ=v₀×qⁿ
→ v₀=2 q=3 · vₙ=2×3ⁿ
→ v₃=2×27=54
= vₙ = 2×3ⁿ
Ex.3 Limite de suite ★
lim3n+1n+2 quand n→+∞
→ Diviser par n: 3+1/n1+2/n
→ → 31
= Limite = 3
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Récurrence — 3ⁿ≥2n+1 ★★
Init + Hérédité
→ Init(n=0): 1≥1 ✓
→ Hérédité: supposer 3ⁿ≥2n+1
→ 3ⁿ⁺¹=3×3ⁿ≥3(2n+1)=6n+3≥2(n+1)+1=2n+3 ✓
= Prouvé par récurrence ✓
Ex.5 Somme suite arithmétique ★★
1+2+...+n
→ Sₙ = n×1+n2
= Sₙ = nn+12
Ex.6 Suite définie par récurrence ★★
uₙ₊₁=0,9uₙ+200, u₀=3000
→ vₙ=uₙ−2000 → géométrique raison 0,9
→ v₀=1000 · vₙ=1000×0,9ⁿ
→ uₙ=1000×0,9ⁿ+2000
= lim uₙ = 2000
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✦ CORRIGÉ Ch1 — Suites et récurrence
✦ Corrigé — Ch1 — Suites et récurrence
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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