00:00
Score : / 52
0%
⏱ Temps de travail
00:00
M
MathsOtop®
TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 01 Chapitre 1 — Suites et récurrence
Limite, récurrence, suites géométriques

Chapitre 1 — Suites et récurrence

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Suite arithmétique — Définitions ★ 4 pts
La suite (uₙ) est arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de raison r = 5.
  1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
  2. Donner la formule explicite de uₙ.
  3. Calculer u₁₀.
Réponse  
Ex.2 Suite géométrique — Définitions ★ 4 pts
La suite (vₙ) est géométrique de premier terme v₀ = 2 et de raison q = 3.
  1. Calculer v₁, v₂ et v₃.
  2. Donner la formule explicite de vₙ.
  3. Calculer v₅.
Réponse  
Ex.3 Limites de suites classiques ★ 4 pts
Déterminer la limite de chaque suite quand n → +∞ (justifier).
  1. uₙ = 3n² − 7n + 2
  2. vₙ = 2n + 1n − 3
  3. wₙ = (0,5)ⁿ
  4. tₙ = (−2)ⁿ
Réponse  
mathsotop.frCh1 — Suites et récurrence1 / 4
M
MathsOtop®
TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 01 Chapitre 1 — Suites et récurrence
Fiche N° 01
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Raisonnement par récurrence — Introduction ★ 4 pts
Rappel : Pour démontrer P(n) par récurrence : 1) Initialisation (vérifier P(0)), 2) Hérédité (si P(n) vraie alors P(n+1) vraie), 3) Conclusion.
Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ : 1 + 2 + 3 + ... + n = nn+12.
Réponse  
Ex.5 Suite définie par récurrence ★★ 4 pts
On définit la suite par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3.
  1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
  2. On pose vₙ = uₙ + 3. Montrer que (vₙ) est géométrique.
  3. En déduire l'expression de uₙ.
Réponse  
Ex.6 Somme des termes ★★ 4 pts
Suite arithmétique : u₁ = 4, raison r = 3.
  1. Calculer la somme S = u₁ + u₂ + ... + u₂₀.
  2. Suite géométrique : v₁ = 2, q = 3. Calculer S₁₀ = v₁ + ... + v₁₀.
Réponse  
mathsotop.frCh1 — Suites et récurrence2 / 4
M
MathsOtop®
TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 01 Chapitre 1 — Suites et récurrence
Fiche N° 01
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Étude du signe et monotonie ★★ 4 pts
Suite définie par uₙ = 3n − 2n + 1.
  1. Calculer u₀, u₁, u₂.
  2. Étudier la monotonie en calculant uₙ₊₁ − uₙ.
  3. Calculer lim uₙ quand n → +∞.
Réponse  
Ex.8 Modèle de population ★★ 5 pts
Une population de bactéries passe de Pₙ à Pₙ₊₁ = 1,5 × Pₙ − 200. P₀ = 1000.
  1. Calculer P₁, P₂.
  2. On pose Qₙ = Pₙ − 400. Montrer que (Qₙ) est géométrique.
  3. En déduire Pₙ puis la limite.
Réponse  
Ex.9 Récurrence — Inégalité ★★★ 5 pts
Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 : 2ⁿ ≥ n + 1.
Réponse  
mathsotop.frCh1 — Suites et récurrence3 / 4
M
MathsOtop®
TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 01 Chapitre 1 — Suites et récurrence
Fiche N° 01
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Suite et fonction ★★★ 4 pts
On pose f(x) = √2x + 3 et u₀ = 1, uₙ₊₁ = f(uₙ).
  1. Montrer que f est croissante sur [−32 ; +∞).
  2. Calculer u₁, u₂ (arrondir à 10⁻²).
  3. Si (uₙ) converge vers ℓ, trouver ℓ.
Réponse  
Ex.11 Problème de placements ★★★ 4 pts
On place 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 3%. On note Cₙ le capital après n années.
  1. Écrire la relation entre Cₙ₊₁ et Cₙ.
  2. Donner l'expression de Cₙ.
  3. Après combien d'années le capital dépasse-t-il 7 000 € ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
Suite (uₙ) définie par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = uₙ + 2uₙ + 3.
  1. Calculer u₁, u₂.
  2. Montrer que si uₙ ∈ [0,1] alors uₙ₊₁ ∈ [0,1].
  3. Si la suite converge vers ℓ, montrer que ℓ² + 2ℓ − 2 = 0 et calculer ℓ.
Réponse  
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
Mon score : _____ / 52 pts
mathsotop.frCh1 — Suites et récurrence4 / 4
M
MathsOtop®
LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch1 — Suites et récurrence
✦ Corrigé — Ch1 — Suites et récurrence
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Suite arithmétique — Définitions ★
uₙ₊₁ = uₙ + r
→ u₁=u₀+r=3+5=8 · u₂=u₁+r=13 · u₃=u₂+r=18
→ Formule explicite : uₙ = u₀+nr = 3+5n
= u₁₀ = 3+5×10 = 53
Ex.2 Suite géométrique — Définitions ★
vₙ₊₁ = vₙ × q
→ v₁=v₀×q=2×3=6 · v₂=v₁×q=18 · v₃=v₂×q=54
→ Formule explicite : vₙ = v₀×qⁿ = 2×3ⁿ
= v₅ = 2×3⁵ = 2×243 = 486
Ex.3 Limites de suites classiques ★
Termes dominants & raison
→ uₙ=3n²−7n+2 : terme dominant 3n² → lim = +∞
→ vₙ=2n+1n−3 : on divise par n → lim = 2
→ wₙ=(0,5)ⁿ : |q|<1 donc → lim = 0
= tₙ=(−2)ⁿ : |q|=2>1 avec q<0 → la suite diverge, pas de limite
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Raisonnement par récurrence — Introduction ★★
1+2+...+n = nn+12
→ Initialisation : n=0, somme vide =0 et 00+12=0 ✓
→ Hérédité : on suppose 1+2+...+n = nn+12, alors 1+...+n+(n+1) = nn+12+(n+1) = (n+1)(n+2)2
= Conclusion : la propriété est vraie pour tout n∈ℕ (initialisation + hérédité)
Ex.5 Suite définie par récurrence ★★
uₙ₊₁=2uₙ+3, vₙ=uₙ+3
→ u₁=2×1+3=5 · u₂=2×5+3=13 · u₃=2×13+3=29
→ vₙ₊₁=uₙ₊₁+3=2uₙ+6=2(uₙ+3)=2vₙ → (vₙ) est géométrique de raison 2, v₀=u₀+3=4
= vₙ=4×2ⁿ donc uₙ=vₙ−3=4×2ⁿ−3
Ex.6 Somme des termes ★★
Sommes arithmétique et géométrique
→ Arithmétique : u₂₀=u₁+19r=4+57=61 · S=n×u₁+uₙ2=20×4+612=650
= Géométrique : S₁₀=v₁×q10−1q−1=2×310−12=310−1=59 048
mathsotop.frCorrigé — Ch1 — Suites et récurrence 5 / 6
M
MathsOtop®
LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch1 — Suites et récurrence
✦ Corrigé — Ch1 — Suites et récurrence
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Étude du signe et monotonie ★★
→ u₀=0−21=−2 ; u₁=3−22=0,5 ; u₂=6−23=43≈1,33
→ u_{n+1}−u_n = 3n+1n+2 − 3n−2n+1 = [(3n+1)(n+1)−(3n−2)(n+2)]/[(n+1)(n+2)] = 5/[(n+1)(n+2)] > 0
→ u_n = 3n−2n+1 = 3 − 5n+1 → 3 quand n→+∞
= u₀=−2, u₁=0,5, u₂≈1,33 ; suite strictement croissante ; lim u_n = 3
Ex.8 Modèle de population ★★
→ P₁ = 1,5×1000−200 = 1300 ; P₂ = 1,5×1300−200 = 1750
→ Q_{n+1} = P_{n+1}−400 = 1,5P_n−600 = 1,5(P_n−400) = 1,5Q_n : (Q_n) est géométrique de raison 1,5
→ Q₀=600, donc Q_n=600×1,5ⁿ, d'où P_n = 600×1,5ⁿ+400
= P₁=1300, P₂=1750 ; P_n = 600×1,5ⁿ+400 ; comme 1,5>1, P_n → +∞
Ex.9 Récurrence — Inégalité ★★★
→ Initialisation (n=1) : 2¹=2 et 1+1=2, donc 2≥2, vrai
→ Hérédité : on suppose 2ⁿ≥n+1. Alors 2n+1=2×2ⁿ≥2(n+1)=2n+2
→ Or 2n+2≥n+2 ⟺ n≥0, toujours vrai pour n≥1. Donc 2n+1≥n+2
= Par récurrence, 2ⁿ≥n+1 pour tout n≥1
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Suite et fonction ★★★
→ f'(x)=1√(2x+3) > 0 sur [−32;+∞[ : f est strictement croissante
→ u₁=f(1)=√5≈2,24 ; u₂=f(u₁)=√(2×2,236+3)=√7,47≈2,73
→ Si u_n→ℓ, alors ℓ=√(2ℓ+3) ⟹ ℓ²=2ℓ+3 ⟹ ℓ²−2ℓ−3=0 ⟹ (ℓ−3)(ℓ+1)=0
= u₁≈2,24 ; u₂≈2,73 ; comme (u_n) reste positive, ℓ=3 (la solution −1 est rejetée)
Ex.11 Problème de placements ★★★
→ C_{n+1} = 1,03×C_n
→ C_n = 5000×1,03ⁿ
→ 5000×1,03ⁿ > 7000 ⟺ 1,03ⁿ > 1,4 ⟺ n > ln(1,4)ln(1,03) ≈ 11,38
= C_n=5000×1,03ⁿ ; le capital dépasse 7000€ au bout de 12 ans
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★
→ u₁=0+20+3=23 ; u₂=23+223+3=83113=811
→ g(x)=x+2x+3 : g'(x)=1(x+3)²>0, g croissante sur [0,1] ; g(0)=23 et g(1)=34, donc g([0,1])=[23;34]⊂[0,1]
→ Si u_n→ℓ : ℓ=ℓ+2ℓ+3 ⟹ ℓ(ℓ+3)=ℓ+2 ⟹ ℓ²+3ℓ=ℓ+2 ⟹ ℓ²+2ℓ−2=0
→ Δ=4+8=12 ⟹ ℓ=−2±2√32=−1±√3 ; comme ℓ∈[0,1], on garde ℓ=√3−1≈0,73
= u₁=23, u₂=811 ; si u_n∈[0,1] alors u_{n+1}∈[23;34]⊂[0,1] ; ℓ²+2ℓ−2=0 donne ℓ=√3−1
mathsotop.frCorrigé — Ch1 — Suites et récurrence 6 / 6