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Fiche N° 02 Chapitre 2 — Limites de fonctions
Limites en ±∞, formes indéterminées, asymptotes

Chapitre 2 — Limites de fonctions

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Limites en l'infini — Fonctions usuelles ★ 4 pts
Calculer les limites suivantes.
  1. lim(x→+∞) de 3x² − 5x + 2
  2. lim(x→−∞) de −2x³ + x
  3. lim(x→+∞) de 1x
  4. lim(x→+∞) de ex
Réponse  
Ex.2 Asymptotes horizontales et verticales ★ 4 pts
Pour f(x) = 2x+1x−3 :
  1. Calculer lim(x→+∞) f(x). En déduire une asymptote horizontale.
  2. Calculer lim (x→3⁺) f(x) et lim (x→3⁻) f(x). En déduire une asymptote verticale.
Réponse  
Ex.3 Limites et opérations ★ 4 pts
Calculer (en précisant les théorèmes utilisés).
  1. lim(x→+∞) de (3x² + 2x + 1)
  2. lim(x→+∞) de (2x − 1)(x + 5)
  3. lim(x→+∞) de x + 1x
Réponse  
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Fiche N° 02 Chapitre 2 — Limites de fonctions
Fiche N° 02
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Formes indéterminées — ∞ − ∞ ★ 4 pts
Lever les formes indéterminées suivantes.
  1. lim(x→+∞) de (x² − 3x) — factoriser par x²
  2. lim(x→+∞) de (√x − x) — factoriser par √x
Réponse  
Ex.5 Formes indéterminées — ∞/∞ ★★ 4 pts
Calculer les limites en levant la forme indéterminée.
  1. lim(x→+∞) de 3x² + xx² − 4
  2. lim(x→+∞) de x³ − 12x² + x
  3. lim(x→−∞) de −x + 2x + 1
Réponse  
Ex.6 Comparaison — Croissances comparées ★★ 4 pts
Utiliser les résultats de croissances comparées.
  1. lim(x→+∞) de x²/ex
  2. lim(x→+∞) de ex/x³
  3. lim(x→+∞) de ln(x)x
Réponse  
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Fiche N° 02 Chapitre 2 — Limites de fonctions
Fiche N° 02
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Asymptote oblique ★★ 5 pts
Soit f(x) = x² + 3x − 1x + 2.
  1. Effectuer la division euclidienne de x² + 3x − 1 par x + 2.
  2. En déduire une asymptote oblique à la courbe de f.
  3. Calculer lim (x→−2⁺) f(x).
Réponse  
Ex.8 Étude complète des branches infinies ★★ 4 pts
Soit f(x) = 2x² − x + 1x − 1.
  1. Calculer la limite en +∞ et en −∞.
  2. Montrer qu'il existe une asymptote oblique.
  3. Identifier l'asymptote verticale.
Réponse  
Ex.9 Limite et continuité ★★★ 5 pts
Soit f(x) = x² − 4x − 2 si x ≠ 2 et f(2) = k.
  1. Simplifier f(x) pour x ≠ 2.
  2. Calculer lim(x→2) f(x).
  3. Quelle valeur de k rend f continue en 2 ?
Réponse  
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Fiche N° 02 Chapitre 2 — Limites de fonctions
Fiche N° 02
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Problème complet de limites ★★★ 4 pts
f(x) = x + 2x définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer lim (x→0⁺) f(x) et lim(x→+∞) f(x).
  2. Identifier les asymptotes.
  3. Montrer que f admet un minimum et le calculer.
Réponse  
Ex.11 Règle de L'Hôpital (si vue) ★★★ 4 pts
Calculer les limites en 00 ou ∞/∞ par développement ou factorisation.
  1. lim(x→1) de x³ − 1x − 1
  2. lim(x→0) de ex − 1x (résultat classique)
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★ 6 pts
f(x) = 2x² + 3x − 2x² − 1 définie sur ℝ\{−1, 1}.
  1. Factoriser numérateur et dénominateur.
  2. Calculer toutes les limites aux bornes du domaine.
  3. En déduire toutes les asymptotes.
  4. Étudier le signe de f sur chaque intervalle de définition.
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Limites en l'infini — Fonctions usuelles ★
Termes dominants
→ lim(x→+∞) 3x²−5x+2 : terme dominant 3x² → +∞
→ lim(x→−∞) −2x³+x : terme dominant −2x³ → +∞
→ lim(x→+∞) 1x = 0
= lim(x→+∞) eˣ = +∞
Ex.2 Asymptotes horizontales et verticales ★
f(x)=2x+1x−3
→ lim(x→+∞) f(x) = 2xx = 2 → asymptote horizontale y=2
→ lim(x→3⁺) f(x) : numérateur→7, dénominateur→0⁺ → +∞
= lim(x→3⁻) f(x) = −∞ → asymptote verticale x=3
Ex.3 Limites et opérations ★
Somme, produit, quotient de limites
→ lim(x→+∞)(3x²+2x+1) = +∞ (somme de limites +∞)
→ lim(x→+∞)(2x−1)(x+5) : (2x−1)→+∞ et (x+5)→+∞ → produit = +∞
= lim(x→+∞) x+1x = 1 (on divise par x)
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Formes indéterminées — ∞ − ∞ ★★
Factoriser par le terme dominant
→ x²−3x = x²(1−3x), et 1−3x→1, x²→+∞ → lim = +∞
= √x−x = √x(1−√x), √x→+∞ et (1−√x)→−∞ → lim = −∞
Ex.5 Formes indéterminées — ∞/∞ ★★
Diviser par la puissance dominante
→ 3x²+xx²−4 : diviser par x² → lim = 3
→ x³−12x²+x : degré num > degré dénom → lim = +∞
= −x+2x+1 en −∞ : diviser par x → lim = −1
Ex.6 Comparaison — Croissances comparées ★★
L'exponentielle l'emporte toujours
→ x²eˣ → 0 (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x)
→ eˣx³ → +∞ (l'exponentielle l'emporte)
= ln xx → 0 (toute puissance de x l'emporte sur ln)
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✦ CORRIGÉ Ch2 — Limites de fonctions
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Asymptote oblique ★★
→ x²+3x−1 = (x+2)(x+1) − 3, donc f(x) = x+1 − 3x+2
→ Comme −3x+2→0 quand x→±∞, la droite y=x+1 est asymptote oblique à la courbe
→ Quand x→−2⁺ : (x+2)→0⁺, donc −3x+2→−∞, et f(x)→−∞
= f(x)=x+1−3x+2 ; asymptote oblique y=x+1 ; lim(x→−2⁺) f(x) = −∞
Ex.8 Étude complète des branches infinies ★★
→ 2x²−x+1 = (x−1)(2x+1) + 2, donc f(x) = 2x+1 + 2x−1
→ lim(x→+∞) f(x) = +∞ ; lim(x→−∞) f(x) = −∞ (le terme dominant 2x l'emporte)
→ Comme 2x−1→0 en ±∞, y=2x+1 est asymptote oblique ; en x=1, le dénominateur s'annule (numérateur=2≠0) : x=1 est asymptote verticale
= f(x)=2x+1+2x−1 ; asymptote oblique y=2x+1 ; asymptote verticale x=1
Ex.9 Limite et continuité ★★★
→ x²−4 = (x−2)(x+2), donc f(x) = x+2 pour x≠2
→ lim(x→2) f(x) = 2+2 = 4
→ Pour que f soit continue en 2, il faut f(2)=k égal à cette limite
= f(x)=x+2 (x≠2) ; lim(x→2) f(x) = 4 ; k = 4 rend f continue en 2
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Problème complet de limites ★★★
→ lim(x→0⁺) f(x) = +∞ (car 2x→+∞) ; lim(x→+∞) f(x) = +∞ (terme x dominant)
→ Asymptote verticale x=0 ; comme f(x)−x = 2x → 0 quand x→+∞, y=x est asymptote oblique
→ f'(x)=1−2x² ; f'(x)=0 ⟺ x=√2 ; f'<0 avant, >0 après : minimum en x=√2
= Asymptotes x=0 et y=x ; minimum de f atteint en x=√2, valeur f(√2)=2√2
Ex.11 Règle de L'Hôpital (si vue) ★★★
→ x³−1 = (x−1)(x²+x+1), donc x³−1x−1 = x²+x+1 pour x≠1 : la limite en x=1 vaut 1+1+1
→ eˣ−1x est le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en 0 : sa limite est e0 = 1 (nombre dérivé de exp en 0)
= lim(x→1) x³−1x−1 = 3 ; lim(x→0) eˣ−1x = 1
Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★
→ 2x²+3x−2 : Δ=9+16=25 ⟹ racines 12 et −2, donc 2x²+3x−2=(2x−1)(x+2). Dénominateur : x²−1=(x−1)(x+1)
→ En ±∞ : f(x)→2 (rapport des coefficients dominants) : asymptote horizontale y=2
→ En x=1 (numérateur=3≠0) et x=−1 (numérateur=−3≠0) : asymptotes verticales x=1 et x=−1 (f tend vers ±∞ de chaque côté)
→ Signe de f = (2x−1)(x+2)/[(x−1)(x+1)] : tableau de signes avec les 4 valeurs clés −2,−1,0.5,1 → positif sur ]−∞;−2[, négatif sur ]−2;−1[, positif sur ]−1;0,5[, négatif sur ]0,5;1[, positif sur ]1;+∞[
= f(x)=(2x−1)(x+2)/[(x−1)(x+1)] ; asymptote horizontale y=2, asymptotes verticales x=±1 ; f alterne de signe entre chaque valeur clé (−2, −1, 0,5, 1), en commençant positif sur ]−∞;−2[
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