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Fiche N° 02 Chapitre 2 — Limites de fonctions
Limites en ±∞, formes indéterminées, asymptotes

Chapitre 2 — Limites de fonctions

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Limites en l'infini — Fonctions usuelles ★ 4 pts
Calculer les limites suivantes.
  1. lim(x→+∞) de 3x² − 5x + 2
  2. lim(x→−∞) de −2x³ + x
  3. lim(x→+∞) de 1/x
  4. lim(x→+∞) de ex
Réponse  
Ex.2 Asymptotes horizontales et verticales ★ 4 pts
Pour f(x) = 2x+1x−3 :
  1. Calculer lim(x→+∞) f(x). En déduire une asymptote horizontale.
  2. Calculer lim (x→3⁺) f(x) et lim (x→3⁻) f(x). En déduire une asymptote verticale.
Réponse  
Ex.3 Limites et opérations ★ 4 pts
Calculer (en précisant les théorèmes utilisés).
  1. lim(x→+∞) de (3x² + 2x + 1)
  2. lim(x→+∞) de (2x − 1)(x + 5)
  3. lim(x→+∞) de x + 1x
Réponse  
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Fiche N° 02 Chapitre 2 — Limites de fonctions
Fiche N° 02
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Formes indéterminées — ∞ − ∞ ★ 4 pts
Lever les formes indéterminées suivantes.
  1. lim(x→+∞) de (x² − 3x) — factoriser par x²
  2. lim(x→+∞) de (√x − x) — factoriser par √x
Réponse  
Ex.5 Formes indéterminées — ∞/∞ ★★ 4 pts
Calculer les limites en levant la forme indéterminée.
  1. lim(x→+∞) de 3x² + xx² − 4
  2. lim(x→+∞) de x³ − 12x² + x
  3. lim(x→−∞) de −x + 2x + 1
Réponse  
Ex.6 Comparaison — Croissances comparées ★★ 4 pts
Utiliser les résultats de croissances comparées.
  1. lim(x→+∞) de x²/ex
  2. lim(x→+∞) de ex/x³
  3. lim(x→+∞) de ln(x)x
Réponse  
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Fiche N° 02 Chapitre 2 — Limites de fonctions
Fiche N° 02
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Asymptote oblique ★★ 5 pts
Soit f(x) = x² + 3x − 1x + 2.
  1. Effectuer la division euclidienne de x² + 3x − 1 par x + 2.
  2. En déduire une asymptote oblique à la courbe de f.
  3. Calculer lim (x→−2⁺) f(x).
Réponse  
Ex.8 Étude complète des branches infinies ★★ 4 pts
Soit f(x) = 2x² − x + 1x − 1.
  1. Calculer la limite en +∞ et en −∞.
  2. Montrer qu'il existe une asymptote oblique.
  3. Identifier l'asymptote verticale.
Réponse  
Ex.9 Limite et continuité ★★★ 5 pts
Soit f(x) = x² − 4x − 2 si x ≠ 2 et f(2) = k.
  1. Simplifier f(x) pour x ≠ 2.
  2. Calculer lim(x→2) f(x).
  3. Quelle valeur de k rend f continue en 2 ?
Réponse  
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Fiche N° 02 Chapitre 2 — Limites de fonctions
Fiche N° 02
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Problème complet de limites ★★★ 4 pts
f(x) = x + 1 − 2/x définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer lim (x→0⁺) f(x) et lim(x→+∞) f(x).
  2. Identifier les asymptotes.
  3. Montrer que f admet un minimum et le calculer.
Réponse  
Ex.11 Règle de L'Hôpital (si vue) ★★★ 4 pts
Calculer les limites en 00 ou ∞/∞ par développement ou factorisation.
  1. lim(x→1) de x³ − 1x − 1
  2. lim(x→0) de ex − 1x (résultat classique)
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★ 6 pts
f(x) = 2x² + 3x − 2x² − 1 définie sur ℝ\{−1, 1}.
  1. Factoriser numérateur et dénominateur.
  2. Calculer toutes les limites aux bornes du domaine.
  3. En déduire toutes les asymptotes.
  4. Étudier le signe de f sur chaque intervalle de définition.
Réponse  
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✦ Corrigé — Ch2 — Limites de fonctions
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Limites usuelles ★
lim xⁿ (x→+∞)
→ Polynôme → terme dominant
→ lim xⁿ = +∞ si n>0
= Exemples: lim x²=+∞ · lim x³=+∞
Ex.2 Formes indéterminées ★
∞/∞ : diviser par terme dominant
→ 3n²+1n²+2 = 3+1/n²1+2/n²
→ → 31
= Limite = 3
Ex.3 Limite en un point ★
Forme 00
→ Factoriser numérateur et dénominateur
→ Simplifier par le facteur commun
= Ex: x²−4x−2=(x+2)x−2x−2=x+2 → 4
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Asymptote horizontale ★★
lim f(x) = L quand x→±∞
→ Si lim f(x)=L → asymptote y=L
→ Calculer la limite à l'infini
= y=L est asymptote horizontale
Ex.5 Asymptote verticale ★★
lim f(x)=±∞ quand x→a
→ Valeur interdite a
→ Étudier le signe du dénominateur autour de a
= x=a est asymptote verticale
Ex.6 Croissances comparées ★★
lim eˣ/xⁿ (x→+∞)
→ L'exponentielle domine tout polynôme
→ lim eˣ/xⁿ = +∞
= eˣ >> xⁿ >> ln(x)
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✦ Corrigé — Ch2 — Limites de fonctions
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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