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Fiche N° 03 Chapitre 3 — Dérivation & Convexité
Dérivée composée, convexité, point d'inflexion

Chapitre 3 — Dérivation & Convexité

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Dérivées usuelles — Rappel ★ 4 pts
Calculer la dérivée de chaque fonction.
  1. f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 1
  2. g(x) = √x + 1x
  3. h(x) = ex − ln(x)
  4. k(x) = sin(x) + cos(x)
Réponse  
Ex.2 Dérivée d'un produit ★ 4 pts
Calculer la dérivée (f×g)' = f'g + fg'.
  1. f(x) = (2x + 1)(x² − 3)
  2. g(x) = x·ex
  3. h(x) = (x² + 1)·ln(x)
Réponse  
Ex.3 Dérivée d'un quotient ★ 4 pts
Calculer la dérivée (f/g)' = f'g − fg'g².
  1. f(x) = x + 1x − 2
  2. g(x) = 3x² − 12x + 5
Réponse  
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Fiche N° 03 Chapitre 3 — Dérivation & Convexité
Fiche N° 03
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Dérivée composée ★ 4 pts
Calculer la dérivée [u(v(x))]' = u'(v(x)) × v'(x).
  1. f(x) = (3x + 1)⁵
  2. g(x) = e2x−1
  3. h(x) = ln(x² + 1)
  4. k(x) = √2x + 3
Réponse  
Ex.5 Tableau de variation complet ★★ 5 pts
Soit f(x) = x³ − 6x² + 9x − 2.
  1. Calculer f'(x).
  2. Résoudre f'(x) = 0.
  3. Dresser le tableau de variations de f.
  4. Calculer les extrema locaux.
Réponse  
Ex.6 Convexité et point d'inflexion ★★ 4 pts
Rappel : f est convexe si f'' ≥ 0, concave si f'' ≤ 0. Un point d'inflexion est un point où f'' change de signe.
Soit f(x) = x⁴ − 6x².
  1. Calculer f''(x).
  2. Étudier la convexité.
  3. Trouver les points d'inflexion.
Réponse  
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Fiche N° 03 Chapitre 3 — Dérivation & Convexité
Fiche N° 03
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Tangente à une courbe ★★ 4 pts
Soit f(x) = x² − 3x + 5.
  1. Calculer l'équation de la tangente en x₀ = 2.
  2. La tangente en x₀ = 1 est-elle croissante ou décroissante ?
  3. En quel point la tangente est-elle horizontale ?
Réponse  
Ex.8 Optimisation — Problème de clôture ★★ 5 pts
Un agriculteur veut clôturer un terrain rectangulaire avec 120 m de grillage, contre un mur (un côté n'a pas besoin de clôture).
  1. Appeler x la longueur perpendiculaire au mur. Exprimer l'aire A(x).
  2. Maximiser A(x) par dérivation.
Réponse  
Ex.9 Étude complète — Exponentielle ★★★ 5 pts
f(x) = (x − 1)ex.
  1. Calculer f'(x) et f''(x).
  2. Étudier les variations et la convexité.
  3. Trouver le(s) point(s) d'inflexion.
  4. Tracer l'allure de la courbe.
Réponse  
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Fiche N° 03 Chapitre 3 — Dérivation & Convexité
Fiche N° 03
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Étude complète — Logarithme ★★★ 4 pts
g(x) = x·ln(x) définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer g'(x) et g''(x).
  2. Dresser le tableau de variations.
  3. Calculer le minimum de g.
Réponse  
Ex.11 Approximation affine (linéarisation) ★★★ 4 pts
f(x) = ex. En x₀ = 0 :
  1. Écrire l'approximation affine de f au voisinage de 0.
  2. Approcher e0,1 par cette méthode.
  3. Comparer avec la valeur réelle (e0,1 ≈ 1,105).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★ 6 pts
h(x) = (x² − 2x + 2)e−x.
  1. Calculer h'(x) et simplifier.
  2. Étudier les variations sur ℝ.
  3. Calculer h''(x) et étudier la convexité.
  4. Montrer que (2, 2e⁻²) et (4, 10e⁻⁴) sont des points d'inflexion.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Dérivées usuelles — Rappel ★
Formules usuelles
→ f'(x)=12x³−4x+5
→ g'(x)=12√x − 1x²
→ h'(x)=eˣ−1x
= k'(x)=cos(x)−sin(x)
Ex.2 Dérivée d'un produit ★
(fg)'=f'g+fg'
→ f'(x)=2(x²−3)+(2x+1)(2x)=6x²+2x−6
→ g'(x)=eˣ+x·eˣ=(1+x)eˣ
= h'(x)=2x·ln(x)+x²+1x
Ex.3 Dérivée d'un quotient ★
(f/g)'=f'g−fg'g²
→ f'(x)=[(x−2)−(x+1)]/(x−2)² = −3(x−2)²
= g'(x)=[6x(2x+5)−2(3x²−1)]/(2x+5)² = 6x²+30x+2(2x+5)²
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Dérivée composée ★★
[u(v(x))]'=u'(v(x))×v'(x)
→ f'(x)=5×3×(3x+1)⁴=15(3x+1)⁴
→ g'(x)=2e2x−1
→ h'(x)=2xx²+1
= k'(x)=1√2x+3
Ex.5 Tableau de variation complet ★★
f(x)=x³−6x²+9x−2
→ f'(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)
→ f'(x)=0 pour x=1 ou x=3 ; f'>0 sur ]−∞;1[∪]3;+∞[, f'<0 sur ]1;3[
= f croît sur ]−∞;1], décroît sur [1;3], croît sur [3;+∞[ · max local f(1)=2, min local f(3)=−2
Ex.6 Convexité et point d'inflexion ★★
f(x)=x⁴−6x²
→ f''(x)=12x²−12=12(x−1)(x+1)
→ f''≥0 (convexe) sur ]−∞;−1]∪[1;+∞[ · f''≤0 (concave) sur [−1;1]
= Points d'inflexion en x=−1 et x=1 (où f'' change de signe), f(−1)=f(1)=−5
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Tangente à une courbe ★★
→ f'(x)=2x−3 ; f(2)=4−6+5=3, f'(2)=1 : tangente y−3=1(x−2), soit y=x+1
→ f'(1)=2−3=−1<0 : la tangente en x=1 est décroissante
→ Tangente horizontale : f'(x)=0 ⟺ x=1,5 ; f(1,5)=2,25−4,5+5=2,75
= Tangente en x=2 : y=x+1 ; décroissante en x=1 ; tangente horizontale au point (1,5 ; 2,75)
Ex.8 Optimisation — Problème de clôture ★★
→ Le mur fournit un côté gratuitement : 2x+y=120 ⟹ y=120−2x
→ A(x) = x(120−2x) = 120x−2x²
→ A'(x)=120−4x=0 ⟹ x=30 ; A(30)=30×60
= A(x)=120x−2x² ; aire maximale 1800 m² pour x=30 m
Ex.9 Étude complète — Exponentielle ★★★
→ f'(x) = eˣ+(x−1)eˣ = xeˣ ; f''(x) = eˣ+xeˣ = (1+x)eˣ
→ f'(x)=0 en x=0 (signe de x) : f décroît sur ]−∞;0], croît sur [0;+∞[, minimum f(0)=−1
→ f''(x) s'annule en x=−1 : concave avant (f''<0), convexe après (f''>0)
→ Point d'inflexion : f(−1)=(−2)e⁻¹=−2e
= f'(x)=xeˣ, f''(x)=(1+x)eˣ ; minimum −1 en x=0 ; point d'inflexion (−1 ; −2e)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Étude complète — Logarithme ★★★
→ g'(x)=ln(x)+1 ; g''(x)=1x
→ g'(x)=0 ⟺ ln(x)=−1 ⟺ x=1e ; g''(x)=1x>0 toujours : g convexe, donc x=1e est un minimum
→ g(1e) = (1e)×ln(1e) = (1e)×(−1)
= g'(x)=ln(x)+1 ; minimum de g = −1e, atteint en x=1e
Ex.11 Approximation affine (linéarisation) ★★★
→ f'(x)=eˣ, donc f'(0)=1 ; approximation affine : f(x) ≈ f(0)+f'(0)×x = 1+x
→ e0,1 ≈ 1+0,1 = 1,1
→ Valeur réelle ≈1,105 : l'approximation (1,1) est très proche, écart d'environ 0,005
= f(x)≈1+x près de 0 ; e0,1≈1,1 (valeur réelle ≈1,105, écart ≈0,005)
Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★
→ h'(x) = (2x−2)e⁻ˣ − (x²−2x+2)e⁻ˣ = e⁻ˣ[−x²+4x−4] = −(x−2)²e⁻ˣ
→ h'(x) ≤ 0 pour tout x (nul seulement en x=2) : h est décroissante sur ℝ tout entier (x=2 est un point stationnaire, pas un extremum)
→ h''(x) = −e⁻ˣ[2(x−2)−(x−2)²] = e⁻ˣ(x−2)(x−4)
→ h(2)=(4−4+2)e⁻²=2e⁻² ; h(4)=(16−8+2)e⁻⁴=10e⁻⁴, ces valeurs correspondent exactement aux points où h'' change de signe (en x=2 et x=4)
= h'(x)=−(x−2)²e⁻ˣ ; h décroissante sur ℝ ; h''(x)=e⁻ˣ(x−2)(x−4), convexe hors de ]2;4[, concave sur ]2;4[ ; points d'inflexion (2;2e⁻²) et (4;10e⁻⁴) confirmés
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