Fiche N° 03 Chapitre 3 — Dérivation & Convexité
Dérivée composée, convexité, point d'inflexion

★

Ex.1 Dérivées usuelles — Rappel ★ 4 pts

Calculer la dérivée de chaque fonction.

1. f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 1
2. g(x) = √x + 1/x
3. h(x) = e^x − ln(x)
4. k(x) = sin(x) + cos(x)

Ex.2 Dérivée d'un produit ★ 4 pts

Calculer la dérivée (f×g)' = f'g + fg'.

1. f(x) = (2x + 1)(x² − 3)
2. g(x) = x·e^x
3. h(x) = (x² + 1)·ln(x)

Ex.3 Dérivée d'un quotient ★ 4 pts

Calculer la dérivée (f/g)' = f'g − fg'g².

1. f(x) = x + 1x − 2
2. g(x) = 3x² − 12x + 5

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Fiche N° 03

★★

Ex.4 Dérivée composée ★ 4 pts

Calculer la dérivée [u(v(x))]' = u'(v(x)) × v'(x).

1. f(x) = (3x + 1)⁵
2. g(x) = e^2x−1
3. h(x) = ln(x² + 1)
4. k(x) = √2x + 3

Ex.5 Tableau de variation complet ★★ 5 pts

Soit f(x) = x³ − 6x² + 9x − 2.

1. Calculer f'(x).
2. Résoudre f'(x) = 0.
3. Dresser le tableau de variations de f.
4. Calculer les extrema locaux.

Ex.6 Convexité et point d'inflexion ★★ 4 pts

Soit f(x) = x⁴ − 6x².

1. Calculer f''(x).
2. Étudier la convexité.
3. Trouver les points d'inflexion.

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★★

Ex.7 Tangente à une courbe ★★ 4 pts

Soit f(x) = x² − 3x + 5.

1. Calculer l'équation de la tangente en x₀ = 2.
2. La tangente en x₀ = 1 est-elle croissante ou décroissante ?
3. En quel point la tangente est-elle horizontale ?

Ex.8 Optimisation — Problème de clôture ★★ 5 pts

Un agriculteur veut clôturer un terrain rectangulaire avec 120 m de grillage, contre un mur (un côté n'a pas besoin de clôture).

1. Appeler x la longueur perpendiculaire au mur. Exprimer l'aire A(x).
2. Maximiser A(x) par dérivation.

Ex.9 Étude complète — Exponentielle ★★★ 5 pts

f(x) = (x − 1)e^x.

1. Calculer f'(x) et f''(x).
2. Étudier les variations et la convexité.
3. Trouver le(s) point(s) d'inflexion.
4. Tracer l'allure de la courbe.

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Ex.10 Étude complète — Logarithme ★★★ 4 pts

g(x) = x·ln(x) définie sur ]0; +∞[.

1. Calculer g'(x) et g''(x).
2. Dresser le tableau de variations.
3. Calculer le minimum de g.

Ex.11 Approximation affine (linéarisation) ★★★ 4 pts

f(x) = e^x. En x₀ = 0 :

1. Écrire l'approximation affine de f au voisinage de 0.
2. Approcher e^0,1 par cette méthode.
3. Comparer avec la valeur réelle (e^0,1 ≈ 1,105).

Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★ 6 pts

h(x) = (x² − 2x + 2)e^−x.

1. Calculer h'(x) et simplifier.
2. Étudier les variations sur ℝ.
3. Calculer h''(x) et étudier la convexité.
4. Montrer que (0, 2) et (4, 10e⁻⁴) sont des points d'inflexion.

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