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TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 04 Chapitre 4 — Logarithme népérien
Définition, propriétés, étude, ln(u)

Chapitre 4 — Logarithme népérien

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Propriétés algébriques du logarithme ★ 4 pts
Calculer sans calculatrice (simplifier).
  1. ln(e³) + ln(e)
  2. ln(1) + ln(e²) − ln(e)
  3. ln(e−2)
  4. eln 5
Réponse  
Ex.2 Transformer des expressions ★ 4 pts
Écrire sous la forme a·ln(b) ou ln(a).
  1. ln(8) = ln(2³) = ?
  2. ln(15) = ?
  3. ln(√3) = ?
  4. ln(12) = ln(4×3) = ?
Réponse  
Ex.3 Résoudre des équations avec ln ★ 4 pts
Résoudre sur ℝ⁺ (justifier les contraintes).
  1. ln(x) = 3
  2. ln(x + 1) = 0
  3. ln(2x − 3) = ln(5)
  4. 2ln(x) = ln(9)
Réponse  
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Logarithme népérien
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Étude d'une fonction avec ln ★ 4 pts
f(x) = ln(x) − x + 1, définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x).
  3. En déduire que f(x) ≤ 0 pour tout x > 0.
Réponse  
Ex.5 Dérivée de ln(u) ★★ 4 pts
Calculer la dérivée (rappel : [ln(u)]' = u'/u).
  1. f(x) = ln(3x + 1)
  2. g(x) = ln(x² − 2)
  3. h(x) = x·ln(x)
  4. k(x) = ln(x)x
Réponse  
Ex.6 Inéquation logarithmique ★★ 4 pts
Résoudre sur le domaine de définition.
  1. ln(x) > 2
  2. ln(x + 1) ≤ ln(3)
  3. 2ln(x) − ln(x+1) > 0
Réponse  
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Logarithme népérien
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Étude complète — x·ln(x) ★★ 5 pts
f(x) = x·ln(x) définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer lim(x→0⁺) f(x) (croissances comparées).
  2. Calculer f'(x) et étudier les variations.
  3. Dresser le tableau de variations.
Réponse  
Ex.8 Modèle de décroissance ★★ 4 pts
Une substance radioactive a une masse M(t) = 100·e−0,2t grammes (t en années).
  1. Calculer M(0) et M(10).
  2. Après combien d'années la masse est-elle divisée par 2 (demi-vie) ?
Réponse  
Ex.9 Étude f(x) = ln(x)x ★★★ 5 pts
f(x) = ln(x)x définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer f'(x) et étudier les variations.
  2. Trouver le maximum de f.
  3. Calculer lim(x→0⁺) f(x) et lim(x→+∞) f(x).
Réponse  
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Logarithme népérien
Fiche N° 04
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Résoudre avec substitution ★★★ 4 pts
Résoudre dans ℝ⁺ : (ln x)² − 3·ln x + 2 = 0
  1. Poser X = ln(x) et résoudre l'équation du 2nd degré.
  2. En déduire les solutions.
Réponse  
Ex.11 Comparaison — ln et exponentielle ★★★ 4 pts
Montrer que ex ≥ x + 1 pour tout x réel.
  1. Poser f(x) = ex − x − 1.
  2. Calculer f'(x) et étudier f.
  3. Conclure.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★ 6 pts
h(x) = x − 1 − ln(x) sur ]0; +∞[.
  1. Calculer h'(x) et h''(x).
  2. Étudier les variations et la convexité.
  3. Démontrer que h(x) ≥ 0 pour tout x > 0 (inégalité classique).
  4. En déduire que ln(x) ≤ x − 1.
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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✦ CORRIGÉ Ch4 — Logarithme népérien
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Propriétés algébriques du logarithme ★
ln(eᵏ)=k
→ ln(e³)+ln(e) = 3+1 = 4
→ ln(1)+ln(e²)−ln(e) = 0+2−1 = 1
→ ln(e⁻²) = −2
= eln 5 = 5
Ex.2 Transformer des expressions ★
Propriétés algébriques de ln
→ ln(8)=ln(2³)=3ln(2)
→ ln(15)=−ln(5)
→ ln(√3)=½ln(3)
= ln(12)=ln(4×3)=2ln(2)+ln(3)
Ex.3 Résoudre des équations avec ln ★
Résoudre sur le domaine ln(x) défini
→ ln(x)=3 → x=e³
→ ln(x+1)=0 → x+1=1 → x=0
→ ln(2x−3)=ln(5) → 2x−3=5 → x=4 (vérifier 2x−3>0 ✓)
= 2ln(x)=ln(9) → x²=9 et x>0 → x=3
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Étude d'une fonction avec ln ★★
f(x)=ln(x)−x+1 sur ]0;+∞[
→ f'(x)=1x−1=1−xx
→ f'(x)=0 en x=1 ; f'>0 sur ]0;1[, f'<0 sur ]1;+∞[ → f admet un maximum en x=1
= f(1)=ln(1)−1+1=0, donc f(x)≤0 pour tout x>0 (maximum global = 0)
Ex.5 Dérivée de ln(u) ★★
[ln(u)]'=u'/u
→ f'(x)=33x+1
→ g'(x)=2xx²−2
→ h'(x)=ln(x)+1
= k'(x)=1−ln(x)x²
Ex.6 Inéquation logarithmique ★★
Résoudre sur le domaine de définition
→ ln(x)>2 → x>e²
→ ln(x+1)≤ln(3) → 0
= 2ln(x)−ln(x+1)>0 → x²>x+1 → x>1+√52 (avec x>0)
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✦ CORRIGÉ Ch4 — Logarithme népérien
✦ Corrigé — Ch4 — Logarithme népérien
ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Étude complète — x·ln(x) ★★
→ lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0 (croissances comparées : x « l'emporte » sur ln(x) près de 0)
→ f'(x) = ln(x)+1 ; f'(x)=0 ⟺ x=1e ; f'<0 sur ]0;1e[, f'>0 sur ]1e;+∞[
→ Minimum : f(1e) = (1e)×(−1) = −1e
= lim(x→0⁺) f(x)=0 ; minimum de f = −1e en x=1e ; f croît ensuite vers +∞
Ex.8 Modèle de décroissance ★★
→ M(0) = 100 ; M(10) = 100×e⁻² ≈ 13,53 g
→ Demi-vie : 50 = 100×e−0,2t ⟺ e−0,2t=0,5 ⟺ −0,2t=−ln2
→ t = ln20,2 ≈ 3,47
= M(0)=100 g ; M(10)≈13,53 g ; demi-vie ≈ 3,47 ans
Ex.9 Étude f(x) = ln xx ★★★
→ f'(x) = 1−ln(x)x² ; f'(x)=0 ⟺ ln(x)=1 ⟺ x=e
→ f'>0 pour x<e, f'<0 pour x>e : maximum en x=e, f(e)=ln ee=1e
→ lim(x→0⁺) f(x) = ln(x)×(1x) → (−∞)×(+∞) = −∞ ; lim(x→+∞) f(x) = ln xx → 0 (croissances comparées)
= Maximum = 1e en x=e ; lim(x→0⁺) f(x)=−∞ ; lim(x→+∞) f(x)=0
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Résoudre avec substitution ★★★
→ X²−3X+2=0 ⟹ (X−1)(X−2)=0 ⟹ X=1 ou X=2
→ ln(x)=1 ⟹ x=e ; ln(x)=2 ⟹ x=e²
= x = e ou x = e²
Ex.11 Comparaison — ln et exponentielle ★★★
→ f'(x)=eˣ−1 ; f'(x)=0 en x=0, f'<0 avant, f'>0 après : minimum en x=0
→ f(0) = 1−0−1 = 0 : c'est le minimum de f
→ Donc f(x)≥0 pour tout x, soit eˣ−x−1≥0
= Minimum de f = 0 en x=0, donc eˣ ≥ x+1 pour tout x réel
Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★
→ h'(x) = 1−1x ; h''(x) = 1x²
→ h'(x)=0 ⟺ x=1 ; h'<0 sur ]0;1[, h'>0 sur ]1;+∞[ : minimum en x=1. h''(x)>0 toujours : h est convexe sur tout son domaine
→ h(1) = 1−1−ln(1) = 0 : comme h est convexe avec ce minimum global nul, h(x)≥0 pour tout x>0
→ De h(x)≥0 : x−1−ln(x)≥0 ⟺ ln(x)≤x−1
= h'(x)=1−1x ; minimum global h(1)=0 ; donc h(x)≥0 pour tout x>0, ce qui donne ln(x) ≤ x−1
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