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TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 04 Chapitre 4 — Logarithme népérien
Définition, propriétés, étude, ln(u)

Chapitre 4 — Logarithme népérien

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Propriétés algébriques du logarithme ★ 4 pts
Calculer sans calculatrice (simplifier).
  1. ln(e³) + ln(e)
  2. ln(1) + ln(e²) − ln(e)
  3. ln(e−2)
  4. eln 5
Réponse  
Ex.2 Transformer des expressions ★ 4 pts
Écrire sous la forme a·ln(b) ou ln(a).
  1. ln(8) = ln(2³) = ?
  2. ln(15) = ?
  3. ln(√3) = ?
  4. ln(12) = ln(4×3) = ?
Réponse  
Ex.3 Résoudre des équations avec ln ★ 4 pts
Résoudre sur ℝ⁺ (justifier les contraintes).
  1. ln(x) = 3
  2. ln(x + 1) = 0
  3. ln(2x − 3) = ln(5)
  4. 2ln(x) = ln(9)
Réponse  
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Logarithme népérien
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Étude d'une fonction avec ln ★ 4 pts
f(x) = ln(x) − x + 1, définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x).
  3. En déduire que f(x) ≤ 0 pour tout x > 0.
Réponse  
Ex.5 Dérivée de ln(u) ★★ 4 pts
Calculer la dérivée (rappel : [ln(u)]' = u'/u).
  1. f(x) = ln(3x + 1)
  2. g(x) = ln(x² − 2)
  3. h(x) = x·ln(x)
  4. k(x) = ln(x)x
Réponse  
Ex.6 Inéquation logarithmique ★★ 4 pts
Résoudre sur le domaine de définition.
  1. ln(x) > 2
  2. ln(x + 1) ≤ ln(3)
  3. 2ln(x) − ln(x+1) > 0
Réponse  
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Logarithme népérien
Fiche N° 04
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Étude complète — x·ln(x) ★★ 5 pts
f(x) = x·ln(x) définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer lim(x→0⁺) f(x) (croissances comparées).
  2. Calculer f'(x) et étudier les variations.
  3. Dresser le tableau de variations.
Réponse  
Ex.8 Modèle de décroissance ★★ 4 pts
Une substance radioactive a une masse M(t) = 100·e−0,2t grammes (t en années).
  1. Calculer M(0) et M(10).
  2. Après combien d'années la masse est-elle divisée par 2 (demi-vie) ?
Réponse  
Ex.9 Étude f(x) = ln(x)x ★★★ 5 pts
f(x) = ln(x)x définie sur ]0; +∞[.
  1. Calculer f'(x) et étudier les variations.
  2. Trouver le maximum de f.
  3. Calculer lim(x→0⁺) f(x) et lim(x→+∞) f(x).
Réponse  
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Fiche N° 04 Chapitre 4 — Logarithme népérien
Fiche N° 04
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Résoudre avec substitution ★★★ 4 pts
Résoudre dans ℝ⁺ : (ln x)² − 3·ln x + 2 = 0
  1. Poser X = ln(x) et résoudre l'équation du 2nd degré.
  2. En déduire les solutions.
Réponse  
Ex.11 Comparaison — ln et exponentielle ★★★ 4 pts
Montrer que ex ≥ x + 1 pour tout x réel.
  1. Poser f(x) = ex − x − 1.
  2. Calculer f'(x) et étudier f.
  3. Conclure.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC — Étude complète ★★★ 6 pts
h(x) = x − 1 − ln(x) sur ]0; +∞[.
  1. Calculer h'(x) et h''(x).
  2. Étudier les variations et la convexité.
  3. Démontrer que h(x) ≥ 0 pour tout x > 0 (inégalité classique).
  4. En déduire que ln(x) ≤ x − 1.
Réponse  
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✦ CORRIGÉ Ch4 — Logarithme népérien
✦ Corrigé — Ch4 — Logarithme népérien
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Propriétés de ln ★
ln(ab)=ln a+ln b · ln(ab)=ln a−ln b · ln(aⁿ)=n ln a
→ ln(6)=ln(2×3)=ln 2+ln 3
→ ln(e²)=2
= ln(6)=ln2+ln3 · ln(e²)=2
Ex.2 Résoudre ln(x)=k ★
ln(2x−1)=3
→ 2x−1=e³
→ 2x=e³+1
→ x=e³+12
= x = e³+12 ≈ 10,04
Ex.3 Dérivée de ln(u) ★
f(x)=ln(x²+3x)
→ u=x²+3x · u'=2x+3
→ f'=2x+3x²+3x
= f'(x) = 2x+3x²+3x
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Limite de ln ★★
lim ln x (x→+∞ et x→0⁺)
→ lim ln x (x→+∞)=+∞
→ lim ln x (x→0⁺)=−∞
= ln x→+∞ · ln x→−∞ près de 0
Ex.5 Comparaison ln et xⁿ ★★
lim ln xx (x→+∞)
→ L'Hôpital ou croissances comparées
→ ln xx → 0
= ln(x) << x << eˣ
Ex.6 Équation avec exp et ln ★★
e2x=5
→ ln(e2x)=ln 5
→ 2x=ln 5
→ x=ln52
= x = ln52 ≈ 0,805
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✦ CORRIGÉ Ch4 — Logarithme népérien
✦ Corrigé — Ch4 — Logarithme népérien
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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