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TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 05
Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
Primitives, intégrale, aire, valeur moyenne
Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
12 EXERCICES
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1
Primitives usuelles
★
4 pts
Donner une primitive de chaque fonction.
- f(x) = 4x³ − 2x + 5
- g(x) = ex + 1x
- h(x) = cos(x) − sin(x)
- k(x) = 1/x²
Réponse
Ex.2
Calculer une intégrale définie
★
4 pts
Calculer les intégrales.
- ∫₀² (2x + 1) dx
- ∫₁ᵉ (1x) dx
- ∫₀π2 cos(x) dx
Réponse
Ex.3
Aire sous une courbe
★
4 pts
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de f(x) = x² et l'axe des abscisses entre x = 0 et x = 3.
Réponse
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Fiche N° 05
Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4
Signe et orientation de l'intégrale
★
3 pts
- Si f(x) < 0 sur [a, b], que dire du signe de ∫ₐᵇ f(x) dx ?
- Calculer ∫₀¹ (x − 2) dx et interpréter géométriquement.
Réponse
Ex.5
Primitive d'une composée
★★
4 pts
Trouver une primitive F de f sur l'intervalle indiqué.
- f(x) = (2x + 1)³ sur ℝ
- f(x) = e3x−1 sur ℝ
- f(x) = 12x + 1 sur ]−12 ; +∞[
Réponse
Ex.6
Intégrale et valeur moyenne
★★
4 pts
Rappel : La valeur moyenne de f sur [a,b] est : m = (1b−a) × ∫ₐᵇ f(x) dx
Calculer la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0, 3].
Réponse
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Fiche N° 05
Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7
Aire entre deux courbes
★★
5 pts
f(x) = x² et g(x) = x + 2.
- Trouver les points d'intersection de (Cf) et (Cg).
- Sur quel intervalle a-t-on g(x) ≥ f(x) ?
- Calculer l'aire entre les deux courbes.
Réponse
Ex.8
Intégration par parties (si vue)
★★
4 pts
Calculer ∫₀¹ x·ex dx en utilisant la formule ∫ u'v = [uv] − ∫ uv'.
Prendre u'=ex et v=x.
Réponse
Ex.9
Aire et valeur absolue
★★★
5 pts
Calculer l'aire totale délimitée par f(x) = x² − x et l'axe des abscisses entre x = −1 et x = 2.
- Trouver les zéros de f.
- Calculer séparément les intégrales sur chaque sous-intervalle.
- Sommer les valeurs absolues.
Réponse
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Fiche N° 05
Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
Fiche N° 05
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10
Équation différentielle simple
★★★
4 pts
Trouver la fonction f telle que f'(x) = 3e
2x − 1 et f(0) = 2.
- Trouver la primitive générale.
- Utiliser la condition initiale pour trouver la constante.
Réponse
Ex.11
Intégrale et distance
★★★
4 pts
Un mobile se déplace avec la vitesse v(t) = t² − 4t + 3 m/s (t en secondes, t ∈ [0, 4]).
- Quand le mobile est-il à l'arrêt ?
- Calculer la distance totale parcourue.
Réponse
Ex.12
★ Défi BAC
★★★
6 pts
f(x) = xe
−x sur [0; +∞[.
- Calculer f'(x) et étudier les variations.
- Calculer ∫₀ᵃ xe−x dx par intégration par parties.
- Calculer ∫₀+∞ xe−x dx (limite quand a→+∞).
Réponse
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile
Ex. 1 à 3
Ex.1
Primitives usuelles
★
Primitives de référence
→ F(x)=x⁴−x²+5x
→ G(x)=eˣ+ln|x|
→ H(x)=sin(x)+cos(x)
= K(x)=−1x
Ex.2
Calculer une intégrale définie
★
Primitive puis évaluation aux bornes
→ ∫₀²(2x+1)dx=[x²+x]₀²=6
→ ∫₁ᵉ(1x)dx=[ln x]₁ᵉ=1
= ∫₀π2 cos(x)dx=[sin x]₀π2=1
Ex.3
Aire sous une courbe
★
Aire=∫f(x)dx pour f≥0
→ Aire=∫₀³x² dx=[x³/3]₀³
= Aire = 273 = 9 unités d'aire
★★
Niveau 2 — Intermédiaire
Ex. 4 à 6
Ex.4
Signe et orientation de l'intégrale
★★
Signe de f ⟹ signe de l'intégrale
→ Si f(x)<0 sur [a;b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx ≤0
= ∫₀¹(x−2)dx=[x²/2−2x]₀¹=−32 (négative : la courbe est sous l'axe des abscisses sur [0;1])
Ex.5
Primitive d'une composée
★★
Formules de primitives composées
→ (2x+1)³ a pour primitive (2x+1)⁴/8
→ e3x−1 a pour primitive e3x−1/3
= 12x+1 a pour primitive ½ln(2x+1) sur ]−½;+∞[
Ex.6
Intégrale et valeur moyenne
★★
m=1b−a×∫ₐᵇf(x)dx, f(x)=x² sur [0,3]
→ m = 13−0 × ∫₀³x² dx = 13 × [x³/3]₀³
= m = 13 × 9 = 3
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite)
Ex. 7 à 9
Ex.7
Aire entre deux courbes
★★
→ x²=x+2 ⟺ x²−x−2=0 ⟺ (x−2)(x+1)=0 ⟹ x=2 ou x=−1
→ g(x)−f(x)=−x²+x+2, positif entre les racines : g(x)≥f(x) sur [−1;2]
→ Aire = ∫₋₁² (x+2−x²)dx = [x²/2+2x−x³/3]₋₁² = 103 − (−76) = 276
= Intersections en x=−1 et x=2 ; g≥f sur [−1;2] ; aire = 92 unités d'aire
Ex.8
Intégration par parties (si vue)
★★
→ u'=eˣ ⟹ u=eˣ ; v=x ⟹ v'=1
→ ∫₀¹xeˣdx = [xeˣ]₀¹ − ∫₀¹eˣdx = (1×e−0) − [eˣ]₀¹ = e − (e−1)
= ∫₀¹ xeˣ dx = 1
Ex.9
Aire et valeur absolue
★★★
→ f(x)=x(x−1), zéros en x=0 et x=1 ; f≥0 sur [−1;0], f≤0 sur [0;1], f≥0 sur [1;2]
→ Primitive F(x)=x³/3−x²/2 : F(−1)=−56, F(0)=0, F(1)=−16, F(2)=23
→ ∫₋₁0f=56 ; ∫₀¹f=−16 (valeur absolue 16) ; ∫₁²f=56
= Aire totale = 56+16+56 = 116 unités d'aire
★★★
Niveau 3 — Difficile
Ex. 10 à 12
Ex.10
Équation différentielle simple
★★★
→ Primitive générale : f(x) = (32)e2x − x + C
→ f(0)=2 : (32)×1−0+C=2 ⟹ C=12
= f(x) = (32)e2x − x + 12
Ex.11
Intégrale et distance
★★★
→ v(t)=(t−1)(t−3), nul en t=1 et t=3 : le mobile est à l'arrêt à ces instants
→ v≥0 sur [0;1], v≤0 sur [1;3], v≥0 sur [3;4] ; primitive V(t)=t³/3−2t²+3t : V(0)=0, V(1)=43, V(3)=0, V(4)=43
→ Distance sur chaque intervalle : |V(1)−V(0)|=43 ; |V(3)−V(1)|=43 ; |V(4)−V(3)|=43
= Arrêts en t=1s et t=3s ; distance totale parcourue = 43+43+43 = 4 mètres
Ex.12
★ Défi BAC
★★★
→ f'(x) = e⁻ˣ − xe⁻ˣ = e⁻ˣ(1−x) ; f'>0 sur [0;1[, f'<0 sur ]1;+∞[ : maximum f(1)=1e
→ IBP avec u'=e⁻ˣ (u=−e⁻ˣ), v=x (v'=1) : ∫₀ᵃxe⁻ˣdx = [−xe⁻ˣ]₀ᵃ + ∫₀ᵃe⁻ˣdx = −ae⁻ᵃ + [−e⁻ˣ]₀ᵃ = 1−(a+1)e⁻ᵃ
→ Quand a→+∞, (a+1)e⁻ᵃ→0 (croissances comparées) : la limite vaut 1
= f'(x)=e⁻ˣ(1−x), max 1e en x=1 ; ∫₀ᵃxe⁻ˣdx=1−(a+1)e⁻ᵃ ; ∫₀+∞xe⁻ˣdx = 1
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