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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
Primitives, intégrale, aire, valeur moyenne

Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Primitives usuelles ★ 4 pts
Donner une primitive de chaque fonction.
  1. f(x) = 4x³ − 2x + 5
  2. g(x) = ex + 1/x
  3. h(x) = cos(x) − sin(x)
  4. k(x) = 1/x²
Réponse  
Ex.2 Calculer une intégrale définie ★ 4 pts
Calculer les intégrales.
  1. ∫₀² (2x + 1) dx
  2. ∫₁ᵉ (1/x) dx
  3. ∫₀π/2 cos(x) dx
Réponse  
Ex.3 Aire sous une courbe ★ 4 pts
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de f(x) = x² et l'axe des abscisses entre x = 0 et x = 3.
Réponse  
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Signe et orientation de l'intégrale ★ 3 pts
  1. Si f(x) < 0 sur [a, b], que dire du signe de ∫ₐᵇ f(x) dx ?
  2. Calculer ∫₀¹ (x − 2) dx et interpréter géométriquement.
Réponse  
Ex.5 Primitive d'une composée ★★ 4 pts
Trouver une primitive F de f sur l'intervalle indiqué.
  1. f(x) = (2x + 1)³ sur ℝ
  2. f(x) = e3x−1 sur ℝ
  3. f(x) = 12x + 1 sur ]−12 ; +∞[
Réponse  
Ex.6 Intégrale et valeur moyenne ★★ 4 pts
Rappel : La valeur moyenne de f sur [a,b] est : m = (1b−a) × ∫ₐᵇ f(x) dx
Calculer la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0, 3].
Réponse  
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
Fiche N° 05
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Aire entre deux courbes ★★ 5 pts
f(x) = x² et g(x) = x + 2.
  1. Trouver les points d'intersection de (Cf) et (Cg).
  2. Sur quel intervalle a-t-on g(x) ≥ f(x) ?
  3. Calculer l'aire entre les deux courbes.
Réponse  
Ex.8 Intégration par parties (si vue) ★★ 4 pts
Calculer ∫₀¹ x·ex dx en utilisant la formule ∫ u'v = [uv] − ∫ uv'.
Prendre u'=ex et v=x.
Réponse  
Ex.9 Aire et valeur absolue ★★★ 5 pts
Calculer l'aire totale délimitée par f(x) = x² − x et l'axe des abscisses entre x = −1 et x = 2.
  1. Trouver les zéros de f.
  2. Calculer séparément les intégrales sur chaque sous-intervalle.
  3. Sommer les valeurs absolues.
Réponse  
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Fiche N° 05 Chapitre 5 — Primitives & Calcul intégral
Fiche N° 05
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Équation différentielle simple ★★★ 4 pts
Trouver la fonction f telle que f'(x) = 3e2x − 1 et f(0) = 2.
  1. Trouver la primitive générale.
  2. Utiliser la condition initiale pour trouver la constante.
Réponse  
Ex.11 Intégrale et distance ★★★ 4 pts
Un mobile se déplace avec la vitesse v(t) = t² − 4t + 3 m/s (t en secondes, t ∈ [0, 4]).
  1. Quand le mobile est-il à l'arrêt ?
  2. Calculer la distance totale parcourue.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
f(x) = xe−x sur [0; +∞[.
  1. Calculer f'(x) et étudier les variations.
  2. Calculer ∫₀ᵃ xe−x dx par intégration par parties.
  3. Calculer ∫₀+∞ xe−x dx (limite quand a→+∞).
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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✦ CORRIGÉ Ch5 — Primitives & Calcul intégral
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Primitives usuelles ★
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C
→ ∫x²dx=x³/3+C
→ ∫(2x+1)dx=x²+x+C
= Ajouter +C (constante d'intégration)
Ex.2 Calcul d'intégrale ★
∫₁³(2x+1)dx
→ F(x)=x²+x
→ [x²+x]₁³=(9+3)−(1+1)=12−2
= = 10
Ex.3 Interprétation géométrique ★
Aire sous la courbe
→ A = ∫ₐᵇ f(x)dx si f≥0
→ Si f change de signe : séparer les intégrales
= Aire = valeur absolue de l'intégrale
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Primitive d'une composée ★★
∫u'(x)×eᵘ⁽ˣ⁾dx
→ Reconnaître la forme u'×g(u)
→ ∫u'eᵘdx = eᵘ+C
= Ex: ∫2x×ex²dx = ex²+C
Ex.5 Valeur moyenne ★★
f̄ = (1/(b−a))×∫ₐᵇf(x)dx
→ Calculer l'intégrale
→ Diviser par la longueur de l'intervalle
= Valeur moyenne de f sur [a;b]
Ex.6 Intégration par parties ★★
∫udv = uv − ∫vdu
→ ∫x×eˣdx · u=x, dv=eˣdx
→ = x×eˣ − ∫eˣdx = xeˣ−eˣ
= = eˣ(x−1) + C
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✦ CORRIGÉ Ch5 — Primitives & Calcul intégral
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🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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