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Fiche N° 06 Chapitre 6 — Dénombrement
Arrangements, permutations, combinaisons

Chapitre 6 — Dénombrement

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Principes de comptage ★ 3 pts
Un restaurant propose 4 entrées, 6 plats et 3 desserts.
  1. Combien de menus (entrée + plat + dessert) sont possibles ?
  2. Combien si on peut aussi choisir seulement plat + dessert ?
Réponse  
Ex.2 Factorielles ★ 3 pts
Calculer sans calculatrice.
  1. 5!
  2. 7!/5!
  3. n!/(n−2)! (simplifier)
Réponse  
Ex.3 Arrangements — A(n, k) ★ 4 pts
A(n,k) = n!/(n−k)! = nb d'arrangements de k éléments parmi n (ordre compte)
  1. Calculer A(8, 3).
  2. Combien de podiums (or, argent, bronze) parmi 10 athlètes ?
Réponse  
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Fiche N° 06 Chapitre 6 — Dénombrement
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Combinaisons — C(n, k) ★ 4 pts
C(n,k) = n!/[k!(n−k)!] = nb de façons de choisir k éléments parmi n (ordre ne compte pas)
  1. Calculer C(8, 3) et C(8, 5).
  2. Combien de délégations de 3 personnes parmi 10 ?
Réponse  
Ex.5 Triangle de Pascal ★★ 4 pts
  1. Calculer C(5,0), C(5,1), C(5,2), C(5,3), C(5,4), C(5,5).
  2. Vérifier que C(5,k) = C(5, 5−k).
  3. Vérifier la relation C(4,2) + C(4,3) = C(5,3).
Réponse  
Ex.6 Problème de codes ★★ 4 pts
Un code PIN est composé de 4 chiffres (de 0 à 9).
  1. Combien de codes différents existe-t-il si les répétitions sont autorisées ?
  2. Si toutes les chiffres sont différents ?
  3. Si les chiffres sont différents et croissants ?
Réponse  
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Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Dénombrement avec contraintes ★★ 4 pts
On forme un comité de 4 personnes parmi 5 hommes et 4 femmes.
  1. Combien de comités sans contrainte ?
  2. Combien avec au moins une femme ?
  3. Combien avec exactement 2 femmes ?
Réponse  
Ex.8 Anagrammes ★★ 4 pts
  1. Combien d'anagrammes du mot MATHS ?
  2. Combien d'anagrammes du mot NIVEAU ? (Attention aux lettres répétées.)
  3. Combien commencent par une voyelle ?
Réponse  
Ex.9 Probabilités et dénombrement ★★★ 5 pts
On tire 5 cartes d'un jeu de 52.
  1. Combien de mains de 5 cartes différentes ?
  2. Probabilité d'obtenir exactement 2 as (il y en a 4 dans le jeu) ?
Réponse  
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Fiche N° 06 Chapitre 6 — Dénombrement
Fiche N° 06
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Formule du binôme de Newton ★★★ 4 pts
(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·an−k·bk pour k de 0 à n
  1. Développer (x+1)⁴.
  2. Développer (2x−1)³.
Réponse  
Ex.11 Dénombrement avancé ★★★ 4 pts
On dispose de 3 lettres distinctes et 4 chiffres distincts. On veut former des codes de longueur 5.
  1. Commençant par une lettre.
  2. Avec au moins une lettre.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
Dans une classe de 15 filles et 10 garçons :
  1. On choisit 5 élèves. Combien de choix possibles ?
  2. Combien de choix avec exactement 3 filles ?
  3. Probabilité d'avoir strictement plus de filles que de garçons ?
Réponse  
✦ Auto-évaluation
✅ Maîtrisé
⚠️ À retravailler
❓ Non acquis
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch6 — Dénombrement
✦ Corrigé — Ch6 — Dénombrement
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Principe multiplicatif ★
k₁ × k₂ × ... choix successifs
→ 3 chemises × 4 pantalons
= = 12 tenues
Ex.2 Permutations ★
Arrangements de n éléments
→ n! = n×(n−1)×...×1
→ 5! = 120
= Ex: 5 personnes → 5!=120 arrangements
Ex.3 Arrangements ★
Aⁿₚ = n!/(n−p)!
→ 5 personnes, 3 podiums
→ A⁵₃=5!/(5−3)!=5×4×3
= = 60
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Combinaisons ★★
C(n,p) = n!/(p!(n−p)!)
→ Choisir 3 parmi 5
→ C(5,3)=5!/(3!×2!)=10
= = 10
Ex.5 Formule du triangle de Pascal ★★
C(n,p)+C(n,p+1)=C(n+1,p+1)
→ C(5,2)+C(5,3)=10+10=20
→ C(6,3)=20 ✓
= Relation de Pascal vérifiée
Ex.6 Dénombrement avec contraintes ★★
Compter en séparant les cas
→ Total − cas interdits
→ Ou additionner les cas possibles
= Utiliser inclusion-exclusion
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LYCÉE
✦ CORRIGÉ Ch6 — Dénombrement
✦ Corrigé — Ch6 — Dénombrement
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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