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Fiche N° 06 Chapitre 6 — Dénombrement
Arrangements, permutations, combinaisons

Chapitre 6 — Dénombrement

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Principes de comptage ★ 3 pts
Un restaurant propose 4 entrées, 6 plats et 3 desserts.
  1. Combien de menus (entrée + plat + dessert) sont possibles ?
  2. Combien si on peut aussi choisir seulement plat + dessert ?
Réponse  
Ex.2 Factorielles ★ 3 pts
Calculer sans calculatrice.
  1. 5!
  2. 7!÷5!
  3. n!÷(n−2)! (simplifier)
Réponse  
Ex.3 Arrangements — Ank ★ 4 pts
Ank = n!÷(n−k)! = nb d'arrangements de k éléments parmi n (ordre compte)
  1. Calculer A83.
  2. Combien de podiums (or, argent, bronze) parmi 10 athlètes ?
Réponse  
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Fiche N° 06 Chapitre 6 — Dénombrement
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Combinaisons — (nk) ★ 4 pts
(nk) = n!÷[k!(n−k)!] = nb de façons de choisir k éléments parmi n (ordre ne compte pas)
  1. Calculer (83) et (85).
  2. Combien de délégations de 3 personnes parmi 10 ?
Réponse  
Ex.5 Triangle de Pascal ★★ 4 pts
  1. Calculer (50), (51), (52), (53), (54), (55).
  2. Vérifier que (5k) = (55−k).
  3. Vérifier la relation (42) + (43) = (53).
Réponse  
Ex.6 Problème de codes ★★ 4 pts
Un code PIN est composé de 4 chiffres (de 0 à 9).
  1. Combien de codes différents existe-t-il si les répétitions sont autorisées ?
  2. Si toutes les chiffres sont différents ?
  3. Si les chiffres sont différents et croissants ?
Réponse  
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Fiche N° 06 Chapitre 6 — Dénombrement
Fiche N° 06
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Dénombrement avec contraintes ★★ 4 pts
On forme un comité de 4 personnes parmi 5 hommes et 4 femmes.
  1. Combien de comités sans contrainte ?
  2. Combien avec au moins une femme ?
  3. Combien avec exactement 2 femmes ?
Réponse  
Ex.8 Anagrammes ★★ 4 pts
  1. Combien d'anagrammes du mot MATHS ?
  2. Combien d'anagrammes du mot NIVEAU ? (Attention aux lettres répétées.)
  3. Combien commencent par une voyelle ?
Réponse  
Ex.9 Probabilités et dénombrement ★★★ 5 pts
On tire 5 cartes d'un jeu de 52.
  1. Combien de mains de 5 cartes différentes ?
  2. Probabilité d'obtenir exactement 2 as (il y en a 4 dans le jeu) ?
Réponse  
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Fiche N° 06 Chapitre 6 — Dénombrement
Fiche N° 06
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Formule du binôme de Newton ★★★ 4 pts
(a+b)ⁿ = Σ (nk)·an−k·bk pour k de 0 à n
  1. Développer (x+1)⁴.
  2. Développer (2x−1)³.
Réponse  
Ex.11 Dénombrement avancé ★★★ 4 pts
On dispose de 3 lettres distinctes et 4 chiffres distincts. On veut former des codes de longueur 5, sans répétition (chaque symbole utilisé au plus une fois).
  1. Commençant par une lettre.
  2. Avec au moins une lettre.
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
Dans une classe de 15 filles et 10 garçons :
  1. On choisit 5 élèves. Combien de choix possibles ?
  2. Combien de choix avec exactement 3 filles ?
  3. Probabilité d'avoir strictement plus de filles que de garçons ?
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch6 — Dénombrement
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Principes de comptage ★
Principe multiplicatif
→ Menu complet (entrée+plat+dessert) : 4×6×3 = 72
= Menu plat+dessert seul : 6×3 = 18
Ex.2 Factorielles ★
n!=n×(n−1)×...×1
→ 5! = 120
→ 7!/5! = 7×6 = 42
= n!/(n−2)! = n×(n−1)
Ex.3 Arrangements — Ank ★
Ank=n!/(n−k)!
→ A83=8×7×6=336
= Podiums (or,argent,bronze) parmi 10 athlètes : A103=10×9×8=720
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Combinaisons — (nk) ★★
(nk)=n!/[k!(n−k)!]
→ (83)=8!/[3!5!]=56 · (85)=(83)=56 (symétrie)
= Délégations de 3 personnes parmi 10 : (103)=120
Ex.5 Triangle de Pascal ★★
(nk) et relation de Pascal
→ (50)=1, (51)=5, (52)=10, (53)=10, (54)=5, (55)=1
→ Symétrie : (5k)=(55−k) ✓ (ex: (51)=(54)=5)
= Relation de Pascal : (42)+(43)=6+4=10=(53) ✓
Ex.6 Problème de codes ★★
Répétitions, arrangements, choix ordonné
→ Avec répétitions : 10⁴ = 10 000
→ Chiffres tous différents : 10×9×8×7 = 5 040 (arrangement)
= Différents et croissants : (104) = 210 (un seul ordre croissant possible par choix de 4 chiffres)
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Dénombrement avec contraintes ★★
→ Sans contrainte : C(9,4) = 126
→ Au moins une femme = total − (aucune femme) = C(9,4)−C(5,4) = 126−5 = 121
→ Exactement 2 femmes : C(4,2)×C(5,2) = 6×10 = 60
= 126 comités possibles ; 121 avec au moins une femme ; 60 avec exactement 2 femmes
Ex.8 Anagrammes ★★
→ MATHS a 5 lettres toutes distinctes : nombre d'anagrammes = 5! = 120
→ NIVEAU (N,I,V,E,A,U) a en réalité 6 lettres toutes distinctes (pas de répétition) : nombre d'anagrammes = 6! = 720
→ Voyelles de NIVEAU : I, E, A, U (4 voyelles). Anagrammes commençant par une voyelle : 4 choix pour la 1ère lettre × 5! pour le reste = 4×120
= MATHS : 120 anagrammes ; NIVEAU : 720 anagrammes (toutes lettres distinctes) ; 480 commencent par une voyelle
Ex.9 Probabilités et dénombrement ★★★
→ Nombre total de mains de 5 cartes : C(52,5) = 2 598 960
→ Exactement 2 as parmi les 4 : C(4,2)×C(48,3) = 6×17296 = 103 776
→ Probabilité = 1037762598960 ≈ 0,0399
= C(52,5)=2 598 960 mains possibles ; probabilité d'exactement 2 as ≈ 3,99 %
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Formule du binôme de Newton ★★★
→ (x+1)⁴ = C(4,0)x⁴+C(4,1)x³+C(4,2)x²+C(4,3)x+C(4,4) = x⁴+4x³+6x²+4x+1
→ (2x−1)³ = (2x)³−3(2x)²+3(2x)−1 = 8x³−12x²+6x−1
= (x+1)⁴ = x⁴+4x³+6x²+4x+1 ; (2x−1)³ = 8x³−12x²+6x−1
Ex.11 Dénombrement avancé ★★★
→ 7 symboles distincts (3 lettres+4 chiffres), codes de 5 symboles sans répétition : P(7,5)=7×6×5×4×3=2520 codes au total
→ Commençant par une lettre : 3 choix pour la 1ère position, puis P(6,4)=6×5×4×3=360 pour le reste : 3×360=1080
→ Comme il n'y a que 4 chiffres disponibles, il est impossible de former un code de 5 symboles avec uniquement des chiffres (sans répétition) : TOUS les codes contiennent donc au moins une lettre
= 1080 codes commencent par une lettre ; les 2520 codes possibles contiennent tous au moins une lettre (« au moins une lettre » = 2520)
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★
→ Total : C(25,5) = 53130
→ Exactement 3 filles (et 2 garçons) : C(15,3)×C(10,2) = 455×45 = 20475
→ Plus de filles que de garçons parmi les 5 : répartitions possibles (3F,2G), (4F,1G), (5F,0G) : 20475 + C(15,4)×C(10,1) + C(15,5) = 20475+13650+3003 = 37128
= 53130 choix possibles ; 20475 avec exactement 3 filles ; P(plus de filles que de garçons) = 3712853130 ≈ 69,9 %
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