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TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 07 Chapitre 7 — Loi binomiale
Bernoulli, binomiale, espérance, variance

Chapitre 7 — Loi binomiale

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Épreuve de Bernoulli ★ 3 pts
On lance un dé. On appelle succès l'obtention de 6.
  1. Quelle est la probabilité p de succès ?
  2. Quelle est la probabilité q = 1 − p d'échec ?
  3. Construire la loi de X (variable de Bernoulli).
Réponse  
Ex.2 Loi binomiale — Définition ★ 4 pts
X suit B(n, p) si X = nb de succès dans n épreuves indépendantes de Bernoulli de probabilité p.
P(X=k) = (nk) × pᵏ × (1−p)(n−k)
X suit B(10, 0,3). Calculer P(X=2) et P(X=0).
Réponse  
Ex.3 Espérance et variance ★ 4 pts
X suit B(n, p).
  1. E(X) = np. Si X ∼ B(20, 0,4), calculer E(X).
  2. V(X) = np(1−p). Calculer V(X) et σ(X).
Réponse  
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Fiche N° 07 Chapitre 7 — Loi binomiale
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Calculer des probabilités ★ 4 pts
X ∼ B(8, 0,5). Calculer :
  1. P(X = 4)
  2. P(X ≥ 7) = P(X=7) + P(X=8)
  3. P(X ≤ 1)
Réponse  
Ex.5 Modéliser par une loi binomiale ★★ 4 pts
Un médicament est efficace dans 70% des cas. On traite 15 patients.
  1. Quelle loi suit X (nb de patients guéris) ? Justifier.
  2. Calculer E(X).
  3. Calculer P(X ≥ 12).
Réponse  
Ex.6 Probabilité cumulée ★★ 4 pts
X ∼ B(12, 0,25). Calculer :
  1. P(X ≤ 3)
  2. P(X ≥ 4) = 1 − P(X ≤ 3)
  3. P(2 ≤ X ≤ 5)
Réponse  
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Fiche N° 07 Chapitre 7 — Loi binomiale
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Vérifier les hypothèses ★★ 4 pts
Pour chaque situation, dire si on peut utiliser une loi binomiale (justifier) :
  1. On tire 10 cartes sans remise dans un jeu de 52.
  2. On lance une pièce 20 fois.
  3. On sondage 50 personnes dans une ville de 1 million d'habitants.
Réponse  
Ex.8 Valeur de p inconnue ★★ 4 pts
X ∼ B(10, p). On sait que E(X) = 4.
  1. Trouver p.
  2. Calculer V(X) et σ(X).
  3. Calculer P(X = 4).
Réponse  
Ex.9 Problème de qualité ★★★ 5 pts
Une usine produit des pièces défectueuses avec une probabilité de 0,05. On contrôle un lot de 20 pièces.
  1. Quelle est la loi de X ?
  2. Calculer P(X = 0) (lot sans défaut).
  3. Calculer P(X ≥ 2).
  4. À partir de combien de défauts le lot est-il refusé si P(X ≥ k) < 0,01 ?
Réponse  
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Fiche N° 07 Chapitre 7 — Loi binomiale
Fiche N° 07
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Intervalle de fluctuation ★★★ 4 pts
X ∼ B(100, 0,4).
  1. Calculer E(X) et σ(X).
  2. Donner l'intervalle [E(X) − 2σ ; E(X) + 2σ].
  3. Interpréter cet intervalle.
Réponse  
Ex.11 Simulation ★★★ 4 pts
On simule 1000 fois une expérience binomiale B(10, 0,3). On observe X̄ = 3,08 comme moyenne des résultats.
  1. Comparer X̄ à E(X).
  2. Calculer l'écart relatif.
  3. Commenter (loi des grands nombres).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
Dans un QCM de 10 questions à 4 choix (une seule bonne réponse par question), un élève répond au hasard.
  1. Quelle est la loi de X (nb de bonnes réponses) ?
  2. Calculer E(X) et σ(X).
  3. Calculer P(X ≥ 5) (passer la moyenne).
  4. Pour quel nombre minimal de questions correctes l'élève est-il sûr à 95% d'avoir répondu au hasard (et non par connaissance) ?
Réponse  
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✅ Maîtrisé
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❓ Non acquis
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Loi binomiale
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Épreuve de Bernoulli ★
Succès = obtention de 6
→ p = P(succès) = 16
→ q = 1−p = 56
= Loi de X : P(X=1)=16 (succès), P(X=0)=56 (échec)
Ex.2 Loi binomiale — Définition ★
X ∼ B(10 ; 0,3)
→ P(X=2)=(102)×0,3²×0,7⁸=45×0,09×0,0576≈0,2335
= P(X=0)=0,710≈0,0282
Ex.3 Espérance et variance ★
X ∼ B(20 ; 0,4)
→ E(X)=np=20×0,4=8
= V(X)=np(1−p)=20×0,4×0,6=4,8 et σ(X)=√4,8≈2,19
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Calculer des probabilités ★★
X ∼ B(8 ; 0,5)
→ P(X=4)=(84)×0,5⁸=70256≈0,2734
→ P(X≥7)=P(X=7)+P(X=8)=8+1256=9256≈0,0352
= P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=1+8256=9256≈0,0352
Ex.5 Modéliser par une loi binomiale ★★
15 patients, efficacité 70%
→ X ∼ B(15 ; 0,7) car 15 épreuves indépendantes, probabilité de succès 0,7 constante
→ E(X)=np=15×0,7=10,5
= P(X≥12)=P(12)+P(13)+P(14)+P(15)≈0,170+0,092+0,031+0,005≈0,297
Ex.6 Probabilité cumulée ★★
X ∼ B(12 ; 0,25)
→ P(X≤3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)≈0,0317+0,1267+0,2322+0,2581≈0,6487
→ P(X≥4)=1−P(X≤3)≈1−0,6487=0,3513
= P(2≤X≤5)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5)≈0,787
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Loi binomiale
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Vérifier les hypothèses ★★
→ Tirage sans remise : les tirages ne sont pas indépendants (la probabilité change à chaque tirage) — PAS une loi binomiale
→ Pile ou face 20 fois : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes — loi binomiale B(20 ; 0,5) valide
→ Sondage de 50 personnes dans une ville d'1 million d'habitants : tirage sans remise, mais population immense devant l'échantillon — approximation binomiale acceptable (quasi-indépendance)
= 1) Non (tirage sans remise) ; 2) Oui, B(20;0,5) ; 3) Approximativement oui (population très grande)
Ex.8 Valeur de p inconnue ★★
→ E(X)=10p=4 ⟹ p=0,4
→ V(X)=10×0,4×0,6=2,4 ; σ(X)=√2,4≈1,55
→ P(X=4)=C(10,4)×0,4⁴×0,6⁶=210×0,0256×0,046656
= p=0,4 ; V(X)=2,4, σ(X)≈1,55 ; P(X=4)≈0,251
Ex.9 Problème de qualité ★★★
→ X ~ B(20 ; 0,05)
→ P(X=0)=(0,95)20≈0,3585
→ P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)≈1−0,3585−0,3774≈0,2641
→ En calculant successivement P(X≥3)≈0,0754, P(X≥4)≈0,0158, P(X≥5)≈0,0025 : le seuil P(X≥k)<0,01 est franchi à k=5
= X~B(20;0,05) ; P(X=0)≈0,359 ; P(X≥2)≈0,264 ; le lot est refusé à partir de 5 pièces défectueuses
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Intervalle de fluctuation ★★★
→ E(X)=100×0,4=40 ; V(X)=100×0,4×0,6=24 ⟹ σ=√24≈4,90
→ [E(X)−2σ ; E(X)+2σ] = [40−9,80 ; 40+9,80] ≈ [30,2 ; 49,8]
→ Cet intervalle contient environ 95% des valeurs possibles de X (approximation empirique/normale) : c'est l'intervalle de fluctuation à environ 95%
= E(X)=40, σ≈4,9 ; intervalle ≈[30,2 ; 49,8] ; il contient X avec une probabilité d'environ 95%
Ex.11 Simulation ★★★
→ E(X)=10×0,3=3 ; X̄=3,08 observé sur 1000 simulations
→ Écart = 3,08−3 = 0,08 ; écart relatif = 0,083 ≈ 0,0267
→ Selon la loi des grands nombres, la moyenne observée doit se rapprocher de l'espérance théorique quand le nombre de répétitions augmente ; ici l'écart (≈2,7%) est faible, ce qui est cohérent
= E(X)=3 ; X̄=3,08 ; écart relatif ≈ 2,7 % — résultat cohérent avec la loi des grands nombres
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★
→ X ~ B(10 ; 0,25) (chaque question a 1 chance sur 4 d'être devinée correctement)
→ E(X)=10×0,25=2,5 ; V(X)=10×0,25×0,75=1,875 ⟹ σ=√1,875≈1,37
→ P(X≥5)=1−P(X≤4) ≈ 1−0,9219 ≈ 0,0781
→ En poursuivant le calcul, P(X≥6)≈0,0197<0,05 alors que P(X≥5)≈0,078>0,05 : le seuil de 95% de confiance est atteint à partir de 6 bonnes réponses
= X~B(10;0,25) ; E(X)=2,5, σ≈1,37 ; P(X≥5)≈7,8% ; à partir de 6 bonnes réponses, on peut être sûr à plus de 95% que ce n'est pas dû au seul hasard
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