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TERMINALE SPÉCIALITÉ
Fiche N° 07 Chapitre 7 — Loi binomiale
Bernoulli, binomiale, espérance, variance

Chapitre 7 — Loi binomiale

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Épreuve de Bernoulli ★ 3 pts
On lance un dé. On appelle succès l'obtention de 6.
  1. Quelle est la probabilité p de succès ?
  2. Quelle est la probabilité q = 1 − p d'échec ?
  3. Construire la loi de X (variable de Bernoulli).
Réponse  
Ex.2 Loi binomiale — Définition ★ 4 pts
X suit B(n, p) si X = nb de succès dans n épreuves indépendantes de Bernoulli de probabilité p.
P(X=k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)(n−k)
X suit B(10, 0,3). Calculer P(X=2) et P(X=0).
Réponse  
Ex.3 Espérance et variance ★ 4 pts
X suit B(n, p).
  1. E(X) = np. Si X ∼ B(20, 0,4), calculer E(X).
  2. V(X) = np(1−p). Calculer V(X) et σ(X).
Réponse  
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Fiche N° 07 Chapitre 7 — Loi binomiale
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Calculer des probabilités ★ 4 pts
X ∼ B(8, 0,5). Calculer :
  1. P(X = 4)
  2. P(X ≥ 7) = P(X=7) + P(X=8)
  3. P(X ≤ 1)
Réponse  
Ex.5 Modéliser par une loi binomiale ★★ 4 pts
Un médicament est efficace dans 70% des cas. On traite 15 patients.
  1. Quelle loi suit X (nb de patients guéris) ? Justifier.
  2. Calculer E(X).
  3. Calculer P(X ≥ 12).
Réponse  
Ex.6 Probabilité cumulée ★★ 4 pts
X ∼ B(12, 0,25). Calculer :
  1. P(X ≤ 3)
  2. P(X ≥ 4) = 1 − P(X ≤ 3)
  3. P(2 ≤ X ≤ 5)
Réponse  
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Fiche N° 07 Chapitre 7 — Loi binomiale
Fiche N° 07
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Vérifier les hypothèses ★★ 4 pts
Pour chaque situation, dire si on peut utiliser une loi binomiale (justifier) :
  1. On tire 10 cartes sans remise dans un jeu de 52.
  2. On lance une pièce 20 fois.
  3. On sondage 50 personnes dans une ville de 1 million d'habitants.
Réponse  
Ex.8 Valeur de p inconnue ★★ 4 pts
X ∼ B(10, p). On sait que E(X) = 4.
  1. Trouver p.
  2. Calculer V(X) et σ(X).
  3. Calculer P(X = 4).
Réponse  
Ex.9 Problème de qualité ★★★ 5 pts
Une usine produit des pièces défectueuses avec une probabilité de 0,05. On contrôle un lot de 20 pièces.
  1. Quelle est la loi de X ?
  2. Calculer P(X = 0) (lot sans défaut).
  3. Calculer P(X ≥ 2).
  4. À partir de combien de défauts le lot est-il refusé si P(X ≥ k) < 0,01 ?
Réponse  
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Fiche N° 07 Chapitre 7 — Loi binomiale
Fiche N° 07
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Intervalle de fluctuation ★★★ 4 pts
X ∼ B(100, 0,4).
  1. Calculer E(X) et σ(X).
  2. Donner l'intervalle [E(X) − 2σ ; E(X) + 2σ].
  3. Interpréter cet intervalle.
Réponse  
Ex.11 Simulation ★★★ 4 pts
On simule 1000 fois une expérience binomiale B(10, 0,3). On observe X̄ = 3,08 comme moyenne des résultats.
  1. Comparer X̄ à E(X).
  2. Calculer l'écart relatif.
  3. Commenter (loi des grands nombres).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
Dans un QCM de 10 questions à 4 choix (une seule bonne réponse par question), un élève répond au hasard.
  1. Quelle est la loi de X (nb de bonnes réponses) ?
  2. Calculer E(X) et σ(X).
  3. Calculer P(X ≥ 5) (passer la moyenne).
  4. Pour quel nombre minimal de questions correctes l'élève est-il sûr à 95% d'avoir répondu au hasard (et non par connaissance) ?
Réponse  
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Loi binomiale
✦ Corrigé — Ch7 — Loi binomiale
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Schéma de Bernoulli ★
Répétition de n épreuves indépendantes
→ Chaque épreuve : succès p, échec 1−p
→ Les épreuves sont indépendantes
= B(n,p) : n répétitions, proba p
Ex.2 P(X=k) ★
X ~ B(n,p) · P(X=k)=C(n,k)×pᵏ×(1−p)ⁿ⁻ᵏ
→ Ex: n=5, p=0,3, k=2
→ P(X=2)=C(5,2)×0,3²×0,7³=10×0,09×0,343
= ≈ 0,309
Ex.3 Espérance et variance ★
E(X)=np · V(X)=np(1−p)
→ X~B(10,0,4) · E(X)=10×0,4=4
→ V(X)=10×0,4×0,6=2,4
= E=4 · σ=√2,4≈1,55
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 P(X≥k) par complémentaire ★★
P(X≥2)=1−P(X<2)
→ P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)
→ P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)
= Calculer puis soustraire de 1
Ex.5 P(X≤k) cumulatif ★★
Calculer P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)
→ Additionner les probabilités
→ Ou utiliser la tablecalculatrice
= Somme des probabilités jusqu'à k
Ex.6 Modélisation ★★
Identifier n, p, k
→ n = nombre d'épreuves
→ p = probabilité de succès par épreuve
→ k = valeur ou événement cherché
= Calculer P(X=k) ou P(X≤k) ou P(X≥k)
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✦ CORRIGÉ Ch7 — Loi binomiale
✦ Corrigé — Ch7 — Loi binomiale
🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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