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Fiche N° 08 Chapitre 8 — Géométrie de l'espace
Produit scalaire 3D, plans, droites

Chapitre 8 — Géométrie de l'espace

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Coordonnées et vecteurs dans l'espace ★ 4 pts
A(1,2,3), B(4,0,−1), C(2,5,1).
  1. Calculer les coordonnées du vecteur AB.
  2. Calculer la longueur AB.
  3. Calculer le milieu M de [AB].
Réponse  
Ex.2 Produit scalaire 3D ★ 4 pts
u = (2,−1,3) et v = (1,4,−2).
  1. Calculer u·v.
  2. Calculer |u| et |v|.
  3. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Réponse  
Ex.3 Équation d'un plan ★ 4 pts
Un plan de vecteur normal n=(a,b,c) passant par A(x₀,y₀,z₀) a pour équation : a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0
Trouver l'équation du plan passant par A(1,2,3) de vecteur normal n = (2,−1,4).
Réponse  
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Fiche N° 08 Chapitre 8 — Géométrie de l'espace
Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Représentation paramétrique d'une droite ★ 4 pts
Droite passant par A(1,0,−2) avec direction d = (3,1,−1).
  1. Écrire la représentation paramétrique.
  2. Vérifier que B(4,1,−3) appartient à cette droite.
Réponse  
Ex.5 Position relative — droite et plan ★★ 4 pts
Plan P : 2x − y + 3z = 5. Droite D : x=1+t, y=2−t, z=t.
  1. Déterminer si D est parallèle à P, sécante, ou dans P.
  2. Si sécante, calculer le point d'intersection.
Réponse  
Ex.6 Vecteur normal à un plan ★★ 4 pts
Trois points A(0,1,2), B(1,3,1), C(2,1,4).
  1. Calculer AB et AC.
  2. Vérifier si n=(1,−1,−1) est orthogonal à AB et AC (puis c'est le vecteur normal).
  3. Écrire l'équation du plan ABC.
Réponse  
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★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Distance d'un point à un plan ★★ 4 pts
d(M, P) = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√a²+b²+c² si P : ax+by+cz+d=0 et M(x₀,y₀,z₀)
Calculer la distance de M(3,1,−2) au plan P : x − 2y + 2z − 3 = 0.
Réponse  
Ex.8 Plans parallèles et perpendiculaires ★★ 4 pts
Plan P : 3x − y + 2z = 5.
  1. Donner l'équation d'un plan parallèle à P passant par O.
  2. Deux plans sont perpendiculaires si leurs normales sont orthogonales. Vérifier que Q : x + y − z = 1 est perpendiculaire à P.
Réponse  
Ex.9 Droites dans l'espace — positions relatives ★★★ 5 pts
D₁ : (x,y,z)=(1+t, 2t, 3−t) et D₂ : (x,y,z)=(2+s, 1−s, 1+2s).
  1. Les directions sont-elles colinéaires (droites parallèles) ?
  2. Chercher s'il existe (t,s) tel que D₁ et D₂ se croisent.
  3. Conclure sur la position relative.
Réponse  
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Fiche N° 08
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Volume d'un tétraèdre ★★★ 4 pts
Tétraèdre OABC avec O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
  1. Calculer le volume V = (16)|OA·(OB × OC)| (ou par la formule directe).
  2. Calculer l'aire de la face OAB.
Réponse  
Ex.11 Sphère ★★★ 4 pts
Sphère S de centre Ω(1,2,−1) et de rayon r=3.
  1. Écrire l'équation de S.
  2. M(2,4,−1) appartient-il à S ?
  3. L'intersection de S avec le plan z=0 est-elle vide, un point ou un cercle ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
Plan P : 2x + y − 2z = 3 et droite D : x=t, y=1+2t, z=−1+t.
  1. Montrer que D est sécante à P et trouver le point I d'intersection.
  2. Calculer la distance de I à l'origine.
  3. Trouver le pied de la perpendiculaire de O(0,0,0) sur P.
Réponse  
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ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Coordonnées et vecteurs dans l'espace ★
A(1,2,3), B(4,0,−1)
→ Vecteur AB = B−A = (3;−2;−4)
→ AB = √(3²+(−2)²+(−4)²) = √29
= Milieu M de [AB] = (1+42 ; 2+02 ; 3−12) = (2,5 ; 1 ; 1)
Ex.2 Produit scalaire 3D ★
u=(2,−1,3), v=(1,4,−2)
→ u·v = 2×1+(−1)×4+3×(−2) = 2−4−6 = −8
→ |u|=√(4+1+9)=√14 ≈3,74 · |v|=√(1+16+4)=√21≈4,58
= u·v=−8≠0 donc u et v ne sont pas orthogonaux
Ex.3 Équation d'un plan ★
Plan par A(1,2,3), normal n=(2,−1,4)
→ Équation : 2(x−1)−1(y−2)+4(z−3)=0
= 2x−y+4z−12=0
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Représentation paramétrique d'une droite ★★
A(1,0,−2), direction d=(3,1,−1)
→ Représentation paramétrique : x=1+3t, y=t, z=−2−t (t∈ℝ)
= Pour B(4,1,−3) : t=1 donne x=4,y=1,z=−3 ✓ → B appartient à la droite
Ex.5 Position relative — droite et plan ★★
Plan P: 2x−y+3z=5, droite D
→ Vecteur directeur de D : (1;−1;1). Vecteur normal de P : (2;−1;3). Produit scalaire = 2+1+3=6≠0 → D n'est pas parallèle à P → D est sécante à P
= Substituer dans P : 2(1+t)−(2−t)+3t=5 → 6t=5 → t=56 → point d'intersection (116 ; 76 ; 56)
Ex.6 Vecteur normal à un plan ★★
A(0,1,2), B(1,3,1), C(2,1,4)
→ AB = B−A = (1;2;−1) · AC = C−A = (2;0;2)
→ n·AB = 1−2+1=0 et n·AC = 2−0−2=0 → n est orthogonal à AB et AC → n est normal au plan (ABC)
= Équation du plan (ABC) : 1(x−0)−1(y−1)−1(z−2)=0 → x−y−z+3=0
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Distance d'un point à un plan ★★
→ P : x−2y+2z−3=0, donc a=1, b=−2, c=2, d=−3
→ d(M,P) = |1×3−2×1+2×(−2)−3| / √(1+4+4) = |3−2−4−3| / √9 = |−6|/3
= d(M, P) = 2
Ex.8 Plans parallèles et perpendiculaires ★★
→ Plan parallèle à P passant par O : même vecteur normal (3,−1,2), donc 3x−y+2z=0
→ Normale de P : (3,−1,2) ; normale de Q : (1,1,−1)
→ Produit scalaire : 3×1+(−1)×1+2×(−1) = 3−1−2 = 0 : les normales sont orthogonales
= Plan parallèle : 3x−y+2z=0 ; P et Q sont bien perpendiculaires (produit scalaire des normales nul)
Ex.9 Droites dans l'espace — positions relatives ★★★
→ Vecteur directeur de D₁ : (1;2;−1) ; vecteur directeur de D₂ : (1;−1;2) — pas proportionnels : les droites ne sont pas parallèles
→ Intersection : 1+t=2+s et 2t=1−s donnent t=23, s=−13 ; en vérifiant la 3ᵉ équation : 3−t=73 alors que 1+2s=13
→ 73 ≠ 13 : le système est incompatible, il n'existe pas de point commun
= D₁ et D₂ ne sont ni parallèles ni sécantes : ce sont des droites gauches (non coplanaires)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Volume d'un tétraèdre ★★★
→ OB×OC = (2×3−0×0 ; 0×0−0×3 ; 0×0−2×0) = (6;0;0)
→ OA·(OB×OC) = (1;0;0)·(6;0;0) = 6 ; V = (16)×|6|
→ Aire OAB : OA×OB = (0;0;2), norme 2, aire = (12)×2
= Volume du tétraèdre = 1 ; aire de la face OAB = 1
Ex.11 Sphère ★★★
→ Équation de S : (x−1)²+(y−2)²+(z+1)²=9
→ Pour M(2,4,−1) : (2−1)²+(4−2)²+(−1+1)² = 1+4+0 = 5 ≠ 9 : M n'appartient PAS à S (distance au centre = √5 ≈ 2,24 ≠ 3)
→ Intersection avec z=0 : (x−1)²+(y−2)²+1=9 ⟹ (x−1)²+(y−2)²=8 > 0
= S : (x−1)²+(y−2)²+(z+1)²=9 ; M n'est pas sur S ; l'intersection avec z=0 est un cercle de rayon 2√2 centré en (1;2;0)
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★
→ En substituant dans P : 2t+(1+2t)−2(−1+t)=3 ⟹ 2t+2t−2t+3=3 ⟹ 2t=0 ⟹ t=0
→ Point d'intersection I = (0;1;−1) ; vérification : 2×0+1−2×(−1)=3 ✓
→ OI = √(0²+1²+(−1)²) = √2
→ Pied de la perpendiculaire de O sur P : (2k;k;−2k) (direction de la normale), 2(2k)+k−2(−2k)=3 ⟹ 9k=3 ⟹ k=13 ⟹ H=(23;13;−23)
= D sécante à P en I(0;1;−1) ; OI=√2 ; pied de la perpendiculaire de O sur P : H(23;13;−23)
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