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Fiche N° 08 Chapitre 8 — Géométrie de l'espace
Produit scalaire 3D, plans, droites

Chapitre 8 — Géométrie de l'espace

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FondamentauxEx. 1 à 3
Ex.1 Coordonnées et vecteurs dans l'espace ★ 4 pts
A(1,2,3), B(4,0,−1), C(2,5,1).
  1. Calculer les coordonnées du vecteur AB.
  2. Calculer la longueur AB.
  3. Calculer le milieu M de [AB].
Réponse  
Ex.2 Produit scalaire 3D ★ 4 pts
u = (2,−1,3) et v = (1,4,−2).
  1. Calculer u·v.
  2. Calculer |u| et |v|.
  3. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Réponse  
Ex.3 Équation d'un plan ★ 4 pts
Un plan de vecteur normal n=(a,b,c) passant par A(x₀,y₀,z₀) a pour équation : a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0
Trouver l'équation du plan passant par A(1,2,3) de vecteur normal n = (2,−1,4).
Réponse  
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Fiche N° 08 Chapitre 8 — Géométrie de l'espace
Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Représentation paramétrique d'une droite ★ 4 pts
Droite passant par A(1,0,−2) avec direction d = (3,1,−1).
  1. Écrire la représentation paramétrique.
  2. Vérifier que B(4,1,−3) appartient à cette droite.
Réponse  
Ex.5 Position relative — droite et plan ★★ 4 pts
Plan P : 2x − y + 3z = 5. Droite D : x=1+t, y=2−t, z=t.
  1. Déterminer si D est parallèle à P, sécante, ou dans P.
  2. Si sécante, calculer le point d'intersection.
Réponse  
Ex.6 Vecteur normal à un plan ★★ 4 pts
Trois points A(0,1,2), B(1,3,1), C(2,1,4).
  1. Calculer AB et AC.
  2. Vérifier si n=(5,−2,−2) est orthogonal à AB et AC (puis c'est le vecteur normal).
  3. Écrire l'équation du plan ABC.
Réponse  
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Fiche N° 08
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Distance d'un point à un plan ★★ 4 pts
d(M, P) = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√a²+b²+c² si P : ax+by+cz+d=0 et M(x₀,y₀,z₀)
Calculer la distance de M(3,1,−2) au plan P : x − 2y + 2z − 3 = 0.
Réponse  
Ex.8 Plans parallèles et perpendiculaires ★★ 4 pts
Plan P : 3x − y + 2z = 5.
  1. Donner l'équation d'un plan parallèle à P passant par O.
  2. Deux plans sont perpendiculaires si leurs normales sont orthogonales. Vérifier que Q : x + y + z = 1 est perpendiculaire à P.
Réponse  
Ex.9 Droites dans l'espace — positions relatives ★★★ 5 pts
D₁ : (x,y,z)=(1+t, 2t, 3−t) et D₂ : (x,y,z)=(2+s, 1−s, 1+2s).
  1. Les directions sont-elles colinéaires (droites parallèles) ?
  2. Chercher s'il existe (t,s) tel que D₁ et D₂ se croisent.
  3. Conclure sur la position relative.
Réponse  
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Fiche N° 08
★★★
Niveau 3 — Type BACEx. 10 à 12
Ex.10 Volume d'un tétraèdre ★★★ 4 pts
Tétraèdre OABC avec O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
  1. Calculer le volume V = (16)|OA·(OB × OC)| (ou par la formule directe).
  2. Calculer l'aire de la face OAB.
Réponse  
Ex.11 Sphère ★★★ 4 pts
Sphère S de centre Ω(1,2,−1) et de rayon r=3.
  1. Écrire l'équation de S.
  2. M(2,4,−1) appartient-il à S ?
  3. L'intersection de S avec le plan z=0 est-elle vide, un point ou un cercle ?
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
Plan P : 2x + y − 2z = 3 et droite D : x=t, y=1+2t, z=−1+t.
  1. Montrer que D est sécante à P et trouver le point I d'intersection.
  2. Calculer la distance de I à l'origine.
  3. Trouver le pied de la perpendiculaire de O(0,0,0) sur P.
Réponse  
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✦ CORRIGÉ Ch8 — Géométrie de l'espace
✦ Corrigé — Ch8 — Géométrie de l'espace
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Fondamentaux Ex. 1 à 3
Ex.1 Distance dans l'espace ★
AB avec A(x₁,y₁,z₁) B(x₂,y₂,z₂)
→ AB=√(x₂−x₁²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²)
= Pythagore généralisé en 3D
Ex.2 Vecteur dans l'espace ★
AB=(x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)
→ A(1,2,3) B(4,0,−1)
→ AB=(3,−2,−4)
= AB = (3, −2, −4)
Ex.3 Produit scalaire en 3D ★
u·v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
→ (1,2,−1)·(3,0,2)=3+0−2
= = 1
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Équation d'un plan ★★
ax+by+cz+d=0
→ Vecteur normal n=(a,b,c)
→ Point M₀ sur le plan
→ a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0
= Équation cartésienne du plan
Ex.5 Droites dans l'espace ★★
Représentation paramétrique
→ Point A et vecteur directeur u
→ x=xA+t×ux · y=yA+t×uy · z=zA+t×uz
= t parcourt ℝ → points de la droite
Ex.6 Plan et orthogonalité ★★
Droite ⊥ plan ↔ vecteur directeur//normale
→ Droite de vecteur directeur u
→ Plan de normale n
→ ⊥ si u et n colinéaires
= Vérifier la colinéarité de u et n
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✦ CORRIGÉ Ch8 — Géométrie de l'espace
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🔒 PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — suite Ex. 7 à 9
Ex.7 Exercice 7
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Ex.8 Exercice 8
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Ex.9 Exercice 9
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★★★
Niveau 3 — Type Brevet/BAC Ex. 10 à 12
Ex.10 Exercice 10
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Ex.11 Exercice 11
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Ex.12 Exercice 12
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