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Fiche N° 09 Chapitre 9 — Fonctions cos et sin
Cercle trigonométrique, dérivées, équations

Chapitre 9 — Fonctions cos et sin

12 EXERCICES
Nom — Prénom
Classe
Date
Niveau →
BAC
★
Niveau 1 — FacileEx. 1 à 3
Ex.1 Cercle trigonométrique — Valeurs remarquables ★ 4 pts
Compléter sans calculatrice.
x0π6π4π3π2π
cos(x)
sin(x)
Réponse  
Ex.2 Propriétés de parité et périodicité ★ 4 pts
Utiliser les propriétés (cos est paire, sin est impaire, période 2π) pour calculer :
  1. cos(−π3)
  2. sin(−π4)
  3. cos(7π/6)
  4. sin(5π/4)
Réponse  
Ex.3 Identité fondamentale ★ 3 pts
cos²(x) + sin²(x) = 1.
  1. Si cos(x) = 35 et x ∈ [0; π2], calculer sin(x).
  2. Si sin(x) = −12 et x ∈ [−π2; 0], calculer cos(x).
Réponse  
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Fiche N° 09 Chapitre 9 — Fonctions cos et sin
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 4 à 6
Ex.4 Résoudre des équations trigonométriques simples ★ 4 pts
Résoudre sur [0; 2π].
  1. cos(x) = 12
  2. sin(x) = −√22
  3. cos(x) = −1
Réponse  
Ex.5 Dérivées de cos et sin ★★ 4 pts
Calculer les dérivées (rappel : sin' = cos, cos' = −sin).
  1. f(x) = 3sin(x) − 2cos(x)
  2. g(x) = sin(2x) + cos(3x)
  3. h(x) = x·sin(x)
  4. k(x) = sin²(x)
Réponse  
Ex.6 Étude d'une fonction trigonométrique ★★ 5 pts
f(x) = 2sin(x) + cos(x) sur [0; 2π].
  1. Calculer f'(x).
  2. Résoudre f'(x) = 0 sur [0; 2π].
  3. Dresser le tableau de variations.
Réponse  
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Fiche N° 09 Chapitre 9 — Fonctions cos et sin
Fiche N° 09
★★
Niveau 2 — IntermédiaireEx. 7 à 9
Ex.7 Formules d'addition ★★ 4 pts
cos(a+b) = cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)
sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
  1. Calculer cos(π12) = cos(π4 − π6).
  2. Calculer sin(7π/12) = sin(π4 + π3).
Réponse  
Ex.8 Équation trigonométrique générale ★★ 4 pts
Résoudre sur ℝ.
  1. sin(x) = sin(π6) : solutions x = π6 + 2kπ ou x = π − π6 + 2kπ
  2. cos(x) = cos(π4)
  3. 2cos²(x) − 1 = 0
Réponse  
Ex.9 Équation a·cos(x) + b·sin(x) = 0 ★★★ 5 pts
Résoudre 3cos(x) − sin(x) = 0 sur [0; 2π].
  1. Diviser par cos(x) (ou factoriser).
  2. Résoudre l'équation en tan(x).
  3. Donner les solutions.
Réponse  
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Fiche N° 09 Chapitre 9 — Fonctions cos et sin
Fiche N° 09
★★★
Niveau 3 — DifficileEx. 10 à 12
Ex.10 Intégrale trigonométrique ★★★ 4 pts
Calculer les intégrales.
  1. ∫0π sin(x) dx
  2. ∫₀π2 cos(2x) dx
  3. ∫0π sin²(x) dx (utiliser sin²(x) = (1−cos(2x))2)
Réponse  
Ex.11 Étude d'une fonction modélisant un phénomène périodique ★★★ 4 pts
La température d'une ville est modélisée par T(t) = 10 + 12sin(πt6) où t est le mois (t=0 en janvier).
  1. Trouver la température minimale et maximale.
  2. Quand atteint-on le maximum ?
  3. Calculer la température moyenne sur une année (∫₀¹² T(t) dt12).
Réponse  
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★ 6 pts
f(x) = √3·cos(x) + sin(x) sur ℝ.
  1. Écrire f(x) sous la forme R·cos(x − φ) (avec R > 0 et φ ∈ [0; 2π[).
  2. En déduire les extrema de f et les points où ils sont atteints.
  3. Résoudre f(x) = 1 sur [0; 2π].
Réponse  
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✦ CORRIGÉ Ch9 — Fonctions cos et sin
✦ Corrigé — Ch9 — Fonctions cos et sin
ACCÈS LIBRE — Ex. 1 à 6
★
Niveau 1 — Facile Ex. 1 à 3
Ex.1 Cercle trigonométrique — Valeurs remarquables ★
Valeurs remarquables
→ cos(0)=1 · sin(0)=0
→ cos(π6)=√32 · sin(π6)=12
→ cos(π4)=√22 · sin(π4)=√22
→ cos(π3)=12 · sin(π3)=√32
→ cos(π2)=0 · sin(π2)=1
= Tableau à mémoriser
Ex.2 Propriétés de parité et périodicité ★
Parité (cos paire, sin impaire) + périodicité
→ cos(−π3)=cos(π3)=12 (parité) · sin(−π4)=−sin(π4)=−√22 (imparité)
= cos(7π6)=−cos(π6)=−√32 · sin(5π4)=−sin(π4)=−√22 (symétrie par rapport à π)
Ex.3 Identité fondamentale ★
cos²(x)+sin²(x)=1
→ cos(x)=35 et x∈[0;π2] (sin≥0) : sin²x=1−925=1625 → sin(x)=45
= sin(x)=−12 et x∈[−π2;0] (cos≥0) : cos²x=1−14=34 → cos(x)=√32
★★
Niveau 2 — Intermédiaire Ex. 4 à 6
Ex.4 Résoudre des équations trigonométriques simples ★★
Résoudre sur [0;2π]
→ cos(x)=12 → x=π3 ou x=5π3
→ sin(x)=−√22 → x=5π4 ou x=7π4
= cos(x)=−1 → x=π (unique solution)
Ex.5 Dérivées de cos et sin ★★
sin'=cos, cos'=−sin
→ f'(x)=3cos(x)+2sin(x)
→ g'(x)=2cos(2x)−3sin(3x)
→ h'(x)=sin(x)+x·cos(x)
= k'(x)=2sin(x)cos(x)=sin(2x)
Ex.6 Étude d'une fonction trigonométrique ★★
f(x)=2sin(x)+cos(x) sur [0;2π]
→ f'(x)=2cos(x)−sin(x)
→ f'(x)=0 → tan(x)=2 → x≈1,107 (=arctan 2) ou x≈4,249 (=arctan 2+π) sur [0;2π]
= f croît sur [0;1,107], décroît sur [1,107;4,249], croît sur [4,249;2π]
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✦ CORRIGÉ Ch9 — Fonctions cos et sin
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ACCÈS PREMIUM — Ex. 7 à 12
★★
Niveau 2 — Intermédiaire (suite) Ex. 7 à 9
Ex.7 Formules d'addition ★★
→ cos(π12)=cos(π4−π6)=cos(π4)cos(π6)+sin(π4)sin(π6) = (√22)(√32)+(√22)(12) = √6+√24
→ sin(7π12)=sin(π4+π3)=sin(π4)cos(π3)+cos(π4)sin(π3) = (√22)(12)+(√22)(√32) = √2+√64
= cos(π12) = √6+√24 ; sin(7π12) = √2+√64
Ex.8 Équation trigonométrique générale ★★
→ sin(x)=sin(π6) ⟺ x=π6+2kπ ou x=5π6+2kπ
→ cos(x)=cos(π4) ⟺ x=π4+2kπ ou x=−π4+2kπ
→ 2cos²(x)−1=0 ⟺ cos(2x)=0 (identité du double angle) ⟺ 2x=π2+kπ ⟺ x=π4+kπ2
= x=π6+2kπ ou 5π6+2kπ ; x=±π4+2kπ ; x=π4+kπ2
Ex.9 Équation a·cos(x) + b·sin(x) = 0 ★★★
→ Si cos(x)=0 alors sin(x) devrait aussi être nul (impossible simultanément) : on peut diviser par cos(x) sans risque
→ 3−tan(x)=0 ⟺ tan(x)=3
→ x = arctan(3)+kπ ≈ 1,249+kπ
= Sur [0;2π] : x ≈ 1,25 rad ou x ≈ 4,39 rad (x=arctan(3) et x=arctan(3)+π)
★★★
Niveau 3 — Difficile Ex. 10 à 12
Ex.10 Intégrale trigonométrique ★★★
→ ∫₀π sin(x)dx = [−cos(x)]₀π = −(−1)−(−1) = 2
→ ∫₀π2 cos(2x)dx = [sin2x2]₀π2 = sinπ2−sin02 = 0
→ ∫₀π sin²(x)dx = (12)∫₀π(1−cos(2x))dx = (12)[x−sin2x2]₀π = (12)(π−0)
= ∫₀π sin(x)dx = 2 ; ∫₀π2 cos(2x)dx = 0 ; ∫₀π sin²(x)dx = π2
Ex.11 Étude d'une fonction modélisant un phénomène périodique ★★★
→ sin varie entre −1 et 1, donc T(t) varie entre 10−12=−2 et 10+12=22
→ Maximum atteint quand sin(πt6)=1, soit πt6=π2 ⟹ t=3 (avril, puisque t=0 est janvier)
→ ∫₀¹²12sin(πt6)dt = [−72π cos(πt6)]₀¹² = −72π[cos(2π)−cos(0)] = 0 (le terme sinusoïdal s'annule sur une période complète)
→ Moyenne = ∫₀¹²10dt + 012 = 120+012
= T_min=−2°C, T_max=22°C (atteint en avril, t=3) ; température moyenne sur l'année = 10°C
Ex.12 ★ Défi BAC ★★★
→ R cos(x−φ)=R cos(φ)cos(x)+R sin(φ)sin(x) ; par identification : R cos(φ)=√3, R sin(φ)=1
→ R=√(3+1)=2 ; cos(φ)=√32 et sin(φ)=12 ⟹ φ=π6
→ f(x)=2cos(x−π6) : maximum 2 en x=π6+2kπ, minimum −2 en x=7π6+2kπ
→ f(x)=1 ⟺ cos(x−π6)=12 ⟺ x−π6=±π3+2kπ ⟺ x=π2+2kπ ou x=−π6+2kπ
= f(x)=2cos(x−π6) ; maximum 2 en x=π6, minimum −2 en x=7π6 ; sur [0;2π], f(x)=1 pour x=π2 ou x=11π6
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