✨ Identités remarquables
Les 3 formules à connaître
- Carré d'une somme
- Carré d'une différence
- Produit de la somme par la différence
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
Développer une expression
- Identifier la forme \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) ou \((a+b)(a-b)\)
- Repérer \(a\) et \(b\)
- Appliquer la formule correspondante
- Simplifier si possible
Factoriser une expression
- Chercher la forme \(a^2 - b^2\) → factoriser en \((a+b)(a-b)\)
- Chercher \(a^2 + 2ab + b^2\) → \((a+b)^2\)
- Chercher \(a^2 - 2ab + b^2\) → \((a-b)^2\)
- Vérifier en développant
Pièges fréquents
- \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\) — on oublie souvent le terme \(2ab\)
- \((a-b)^2 \neq a^2 - b^2\) — attention à la confusion avec \((a+b)(a-b)\)
- Ne pas confondre développer (supprimer les parenthèses) et factoriser (mettre des parenthèses)
- Toujours vérifier en re-développant
✏️ Exemples types Brevet
Développer : \((3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4\)
Factoriser : \(4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x+3)(2x-3)\)
Calculer astucieux : \(99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801\)
⚖️ Équations du 1er et 2nd degré
Équation du 1er degré
- Forme : \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\)
- Solution unique : \(x = -\dfrac{b}{a}\)
- Règle : on peut ajouter/soustraire la même chose des deux côtés
- Règle : on peut multiplier/diviser (sauf par 0) les deux côtés
Si \(ax + b = cx + d\) alors \(x = \dfrac{d - b}{a - c}\)
Résoudre \(ax + b = 0\)
- Développer et regrouper les \(x\) à gauche
- Mettre les constantes à droite
- Diviser par le coefficient de \(x\)
- Vérifier en remplaçant
Équation produit nul
- Si \(A \times B = 0\) alors \(A = 0\) ou \(B = 0\)
- Clé pour résoudre les équations factorisées
- Permet de trouver 2 solutions
\(A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ ou } B = 0\)
Systèmes d'équations
- Substitution : exprimer \(x\) en fonction de \(y\) puis substituer
- Combinaison : additionner/soustraire les équations pour éliminer une inconnue
- Vérifier la solution dans les 2 équations
Pièges fréquents
- Oublier de distribuer le signe \(-\) dans les parenthèses
- Diviser par un facteur qui peut être nul
- Oublier une des deux solutions dans une équation produit
- Ne pas vérifier la solution dans l'équation de départ
✏️ Exemples types Brevet
Équation produit : \((x-3)(2x+1) = 0\)
→ \(x - 3 = 0\) donc \(x = 3\), ou \(2x + 1 = 0\) donc \(x = -\frac{1}{2}\)
Identité + équation : Résoudre \((x+2)^2 = (x-1)^2 + 12\)
→ \(x^2 + 4x + 4 = x^2 - 2x + 1 + 12\) → \(6x = 9\) → \(x = \frac{3}{2}\)
🔗 Identités + Équations au Brevet
Stratégie au Brevet
- Factoriser pour simplifier une fraction ou résoudre une équation
- Développer pour comparer des expressions ou trouver \(x\)
- Utiliser \(a^2-b^2\) pour des calculs astucieux
- Souvent les deux chapitres sont liés dans un même exercice
Calcul astucieux
- \(51 \times 49 = (50+1)(50-1) = 2500 - 1 = 2499\)
- \(101^2 = (100+1)^2 = 10201\)
- \(98^2 = (100-2)^2 = 9604\)
- Ces astuces tombent souvent au Brevet !
4 séries progressives · 10 exercices chacune · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte · Identités remarquables
Exercice 1★ Facile
Développer et réduire : \((x+3)^2\)
~3 lignes
Exercice 2★ Facile
Développer et réduire : \((x-5)^2\)
~3 lignes
Exercice 3★ Facile
Développer et réduire : \((x+4)(x-4)\)
~2 lignes
Exercice 4★ Facile
Développer et réduire : \((2x+1)^2\)
~3 lignes
Exercice 5★ Facile
Factoriser : \(x^2 - 16\)
~2 lignes
Exercice 6★ Facile
Factoriser : \(x^2 + 6x + 9\)
~3 lignes
Exercice 7★ Facile
Calculer astucieusement \(101^2\) en utilisant une identité remarquable.
~3 lignes
Exercice 8★ Facile
Résoudre : \(3x + 7 = 22\)
~2 lignes
Exercice 9★★ Intermédiaire
Résoudre : \(2(x-3) = x + 4\)
~4 lignes
Exercice 10★★ Intermédiaire
Résoudre par la méthode du produit nul : \((x-2)(x+5) = 0\)
~3 lignes · 2 solutions
📘 Série 2 — Application · Développer, factoriser, équations
Exercice 1★★ Intermédiaire
Développer et réduire : \((3x-2)^2 - (3x+2)(3x-2)\)
~5 lignes · 2 étapes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Factoriser : \(4x^2 - 20x + 25\)
~4 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Calculer astucieusement \(99 \times 101\).
~3 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Résoudre : \((2x+3)(x-1) = 0\)
~4 lignes · 2 solutions
Exercice 5★★ Intermédiaire
Résoudre le système : \(\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}\)
~5 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Développer puis factoriser : \((x+3)^2 - 9\)
~5 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Montrer que pour tout entier \(n\), l'expression \((n+1)^2 - n^2\) est impaire.
~5 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
Résoudre : \(\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{x-2}{2}\)
~4 lignes
Exercice 9★★★ Difficile
Factoriser : \(x^2 - 5x + 6\) (indice : chercher \((x-a)(x-b)\) avec \(a+b=5\) et \(ab=6\))
~4 lignes
Exercice 10★★★ Difficile
Résoudre : \((x+2)^2 = 25\)
~4 lignes · 2 solutions
📙 Série 3 — Approfondissement · Combinaison des deux chapitres
Exercice 1★★ Intermédiaire
Soit \(A = (x+3)^2 - (x-3)^2\).
1. Développer et réduire \(A\).
2. Factoriser \(A\) directement (sans développer).
3. En déduire la valeur de \(A\) pour \(x = 10\).
1. Développer et réduire \(A\).
2. Factoriser \(A\) directement (sans développer).
3. En déduire la valeur de \(A\) pour \(x = 10\).
~7 lignes · 3 questions
Exercice 2★★★ Difficile
Montrer que \(n^2 - n\) est toujours un entier pair pour tout entier \(n\).
~6 lignes · Factoriser
Exercice 3★★★ Difficile
Résoudre : \((x+1)^2 = (x-2)^2\)
~6 lignes · Développer ou factoriser
Exercice 4★★★ Difficile
Résoudre le système : \(\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ x - y = 2 \end{cases}\)
~6 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Un carré a un côté de longueur \((x+3)\) cm et un rectangle a des dimensions \((x+5)\) cm et \((x+1)\) cm. Pour quelle valeur de \(x\) ont-ils la même aire ?
~6 lignes · Équation
Exercice 6★★★ Difficile
Simplifier la fraction : \(\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}\)
~5 lignes · Factoriser numérateur et dénominateur
Exercice 7★★★ Difficile
Démontrer que pour tout entier \(n\), \((n+1)^2 - (n-1)^2 = 4n\).
~5 lignes
Exercice 8★★★ Difficile
Résoudre : \(x^2 - 4x = 0\)
~4 lignes · Factoriser
Exercice 9★★★★ Expert
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 9\).
1. Factoriser \(f(x)\).
2. Résoudre \(f(x) = 0\).
3. Étudier le signe de \(f(x)\).
1. Factoriser \(f(x)\).
2. Résoudre \(f(x) = 0\).
3. Étudier le signe de \(f(x)\).
~8 lignes · 3 questions
Exercice 10★★★★ Expert
Le produit de deux entiers consécutifs est 56. Trouver ces entiers.
~6 lignes · Équation produit
📕 Série 4 — Entraînement Brevet
Exercice 1 — BrevetNiveau Brevet
(5 pts) Soit \(A = (x+5)^2 - (x+5)(x-5)\).
1. Développer et réduire \(A\). (2 pts)
2. Factoriser \(A\). (2 pts)
3. Calculer \(A\) pour \(x = -5\). (1 pt)
1. Développer et réduire \(A\). (2 pts)
2. Factoriser \(A\). (2 pts)
3. Calculer \(A\) pour \(x = -5\). (1 pt)
~9 lignes · 3 questions
Exercice 2 — BrevetNiveau Brevet
(4 pts) Un jardinier veut délimiter un carré et un rectangle adjacents avec 60 m de clôture. Le carré a un côté de \(x\) mètres, le rectangle a une largeur de \(x\) et une longueur de \(2x\).
1. Exprimer le périmètre total en fonction de \(x\). (2 pts)
2. Trouver \(x\). (2 pts)
1. Exprimer le périmètre total en fonction de \(x\). (2 pts)
2. Trouver \(x\). (2 pts)
~8 lignes
Exercice 3 — BrevetNiveau Brevet
(4 pts) Démontrer que l'expression \(B = (2n+1)^2 - 1\) est divisible par 4 pour tout entier \(n\).
~7 lignes · Développer + factoriser
Exercice 4 — BrevetNiveau Brevet
(5 pts) Un jeune entrepreneur vend des objets au prix \(p\) euros. Son bénéfice est \(B(p) = (p - 10)(50 - p)\).
1. Développer \(B(p)\). (2 pts)
2. Pour quel prix le bénéfice est-il nul ? (2 pts)
3. Quel prix maximise le bénéfice ? (1 pt — indice : prix moyen des deux racines)
1. Développer \(B(p)\). (2 pts)
2. Pour quel prix le bénéfice est-il nul ? (2 pts)
3. Quel prix maximise le bénéfice ? (1 pt — indice : prix moyen des deux racines)
~9 lignes · 3 questions
Exercice 5 — BrevetNiveau Brevet
(3 pts) Résoudre le système et interpréter géométriquement : \(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 7 \end{cases}\)
~6 lignes
Exercice 6 — BrevetNiveau Brevet
(4 pts) Soit \(C = 9x^2 - 30x + 25\).
1. Reconnaître et factoriser \(C\). (2 pts)
2. Résoudre \(C = 0\). (1 pt)
3. Résoudre \(C = 4\). (1 pt)
1. Reconnaître et factoriser \(C\). (2 pts)
2. Résoudre \(C = 0\). (1 pt)
3. Résoudre \(C = 4\). (1 pt)
~8 lignes · 3 questions
Exercice 7 — BrevetNiveau Brevet
(4 pts) La somme de deux nombres est 15 et leur produit est 56.
1. Écrire un système d'équations. (1 pt)
2. En déduire que ces nombres sont racines de \(x^2 - 15x + 56 = 0\). (1 pt)
3. Trouver les deux nombres. (2 pts)
1. Écrire un système d'équations. (1 pt)
2. En déduire que ces nombres sont racines de \(x^2 - 15x + 56 = 0\). (1 pt)
3. Trouver les deux nombres. (2 pts)
~9 lignes · 3 questions
Exercice 8 — BrevetNiveau Brevet
(3 pts) Calculer de façon astucieuse, en justifiant :
a) \(2025 - 1975^2/2025 + 1975\) b) \(203 \times 197\) c) \(49^2 + 2 \times 49 + 1\)
a) \(2025 - 1975^2/2025 + 1975\) b) \(203 \times 197\) c) \(49^2 + 2 \times 49 + 1\)
~6 lignes · 3 calculs
Exercice 9 — Brevet★★★★ Expert
(5 pts) Soit \(f(x) = (x-3)^2 - (2x-1)(x-3)\).
1. Développer \(f(x)\). (2 pts)
2. Factoriser \(f(x)\). (2 pts)
3. Résoudre \(f(x) \leq 0\). (1 pt)
1. Développer \(f(x)\). (2 pts)
2. Factoriser \(f(x)\). (2 pts)
3. Résoudre \(f(x) \leq 0\). (1 pt)
~10 lignes · 3 questions
Exercice 10 — Brevet★★★★ Synthèse
(6 pts — synthèse) Un carré a un côté de \((a+b)\). Un autre carré a un côté \(a\), et un rectangle \(a \times b\).
1. Exprimer l'aire du grand carré. (1 pt)
2. Décomposer géométriquement : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). (3 pts)
3. Application : calculer \(37^2\) avec \(a=30, b=7\). (2 pts)
1. Exprimer l'aire du grand carré. (1 pt)
2. Décomposer géométriquement : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). (3 pts)
3. Application : calculer \(37^2\) avec \(a=30, b=7\). (2 pts)
~10 lignes · Géométrique + numérique
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · Développer \((x+3)^2\)
1Forme \((a+b)^2\) avec \(a=x\) et \(b=3\)
2\((x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)
✅ \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\)
Ex 2 · Développer \((x-5)^2\)
1Forme \((a-b)^2\) avec \(a=x\) et \(b=5\)
2\((x-5)^2 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25\)
✅ \((x-5)^2 = x^2 - 10x + 25\)
Ex 3 · Développer \((x+4)(x-4)\)
1Forme \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) avec \(a=x\) et \(b=4\)
2\((x+4)(x-4) = x^2 - 16\)
✅ \((x+4)(x-4) = x^2 - 16\)
Ex 5 · Factoriser \(x^2 - 16\)
1\(x^2 - 16 = x^2 - 4^2\) → forme \(a^2 - b^2\)
2\(x^2 - 16 = (x+4)(x-4)\)
✅ \(x^2-16 = (x+4)(x-4)\)
Ex 6 · Factoriser \(x^2 + 6x + 9\)
1On reconnaît \(a^2 + 2ab + b^2\) avec \(a=x\) et \(b=3\) car \(2 \times x \times 3 = 6x\) et \(3^2 = 9\)
2\(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\)
✅ \(x^2+6x+9 = (x+3)^2\)
Ex 7 · Calculer \(101^2\)
1\(101 = 100 + 1\) donc \(101^2 = (100+1)^2\)
2\((100+1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201\)
✅ \(101^2 = 10201\)
Ex 9 · Résoudre \(2(x-3) = x+4\)
1Développer : \(2x - 6 = x + 4\)
2Regrouper : \(2x - x = 4 + 6\) donc \(x = 10\)
3Vérification : \(2(10-3) = 14\) et \(10+4 = 14\) ✓
✅ x = 10
Ex 10 · \((x-2)(x+5) = 0\)
1Produit nul → \(x-2=0\) ou \(x+5=0\)
2\(x = 2\) ou \(x = -5\)
✅ S = {2 ; −5}
Ex 1 · \((3x-2)^2 - (3x+2)(3x-2)\)
1\((3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4\)
2\((3x+2)(3x-2) = 9x^2 - 4\)
3Différence : \(9x^2-12x+4 - (9x^2-4) = -12x + 8\)
✅ \(-12x + 8\)
Ex 2 · Factoriser \(4x^2 - 20x + 25\)
1\(4x^2 = (2x)^2\), \(25 = 5^2\), \(20x = 2 \times 2x \times 5\) → forme \((a-b)^2\)
2\(4x^2 - 20x + 25 = (2x-5)^2\)
✅ \((2x-5)^2\)
Ex 3 · Calculer \(99 \times 101\)
1\(99 \times 101 = (100-1)(100+1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1\)
✅ \(99 \times 101 = 9999\)
Ex 7 · Montrer que \((n+1)^2 - n^2\) est impair
1Factoriser : \((n+1)^2 - n^2 = (n+1+n)(n+1-n) = (2n+1)(1) = 2n+1\)
2\(2n+1\) est de la forme \(2k+1\) avec \(k=n\) → c'est un nombre impair.
✅ \((n+1)^2 - n^2 = 2n+1\) est toujours impair
Ex 10 · Résoudre \((x+2)^2 = 25\)
1\((x+2)^2 = 25 = 5^2\) donc \((x+2)^2 - 25 = 0\) → \((x+2-5)(x+2+5) = 0\)
2\((x-3)(x+7) = 0\) → \(x=3\) ou \(x=-7\)
✅ S = {3 ; −7}
Ex 2 · Montrer que \(n^2-n\) est pair
1Factoriser : \(n^2 - n = n(n-1)\)
2\(n\) et \(n-1\) sont deux entiers consécutifs → l'un des deux est pair
3Le produit de deux entiers dont l'un est pair est toujours pair.
✅ \(n^2-n = n(n-1)\) est toujours pair
Ex 8 · Résoudre \(x^2 - 4x = 0\)
1Factoriser : \(x^2 - 4x = x(x-4) = 0\)
2\(x=0\) ou \(x-4=0\) donc \(x=4\)
✅ S = {0 ; 4}
Ex 10 · Produit de deux entiers consécutifs = 56
1Entiers consécutifs : \(n\) et \(n+1\). Équation : \(n(n+1) = 56\)
2\(n^2 + n - 56 = 0\) → chercher \((n-a)(n-b)\) avec \(ab=-56\) et \(a+b=1\)
3\(7 \times 8 = 56\) et \(8-7=1\) → \((n-7)(n+8) = 0\) → \(n=7\) ou \(n=-8\)
4Si \(n=7\) : les deux entiers sont 7 et 8. Si \(n=-8\) : les deux entiers sont -8 et -7.
✅ Les paires sont (7, 8) et (-8, -7)
Ex 3 Brevet · \(B=(2n+1)^2-1\) divisible par 4
1Développer : \((2n+1)^2-1 = 4n^2+4n+1-1 = 4n^2+4n\)
2Factoriser : \(4n^2+4n = 4n(n+1)\)
3L'expression est \(4 \times n(n+1)\), donc elle est divisible par 4.
✅ \(B = 4n(n+1)\) → divisible par 4
Ex 4 Brevet · Bénéfice \(B(p)=(p-10)(50-p)\)
1Développer : \(B(p) = 50p - p^2 - 500 + 10p = -p^2 + 60p - 500\)
2Bénéfice nul : \((p-10)(50-p)=0\) → \(p=10\) ou \(p=50\)
3Prix optimal : moyenne des racines \(= \frac{10+50}{2} = 30\) €
✅ Racines : p=10 et p=50 · Prix optimal : 30€
Ex 6 Brevet · \(C=9x^2-30x+25\)
1\(9x^2=(3x)^2\), \(25=5^2\), \(30x=2\times3x\times5\) → \(C=(3x-5)^2\)
2\(C=0\) : \((3x-5)^2=0\) → \(3x-5=0\) → \(x=\frac{5}{3}\)
3\(C=4\) : \((3x-5)^2=4\) → \((3x-5-2)(3x-5+2)=0\) → \((3x-7)(3x-3)=0\) → \(x=\frac{7}{3}\) ou \(x=1\)
✅ C=(3x-5)² · x=5/3 (C=0) · x=7/3 ou x=1 (C=4)